行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．
例1 计算行列式0
004003002001000.
解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑
1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有
41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故
004003002001000=()
()
241413223144321=-a a a a τ.
2.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n
n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn
333223221131211000000=，nn nn
n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ
M O M M M K K K 22113
2133323122211100
0000=. 例2 计算行列式n
n n
n
b a a a a a b a a a a ++=
+K
M O M M M K K 21
211211n 1
11
D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．
解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得
121n 11210000D 000n n n
a a a
b b b b b +=
=K
K M M M O M K
.
2.2.2 连加法
这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
例3 计算行列式m
x x x x m x x x x m
x D n n
n n ---=
Λ
M O M M ΛΛ
2
1
212
1. 解： m
x x m
x
x m x m x
x x m
x
n n
i i
n n
i i
n n
i i
-----=
∑∑∑===Λ
M O M M
Λ
Λ
2
1
212
1n D
m
x x x m x x x m x n n n n i i --⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=∑=Λ
M O M M ΛΛ
222
1111
m
m x x m x n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=Λ
M O
M M Λ
Λ
00001
2
1()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11
. 2.2.3 滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．
例4 计算行列式()21
2
21231
2
3
1
2212
1321
D n ≥-------=n n n n n n n n n
n Λ
M M O M M M Λ
ΛΛ. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有
1111
111111*********D n ---------=Λ
M M O M M M Λ
ΛΛn n 1
1
11120022200021321----=Λ
M M O M M M ΛΛΛn n 0
1
11100011000011
132122Λ
M M O M M M Λ
ΛΛ+-=-n n n ()
()21
211-++-=n n n .
2.2.4 逐行相加减
对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．
例5 计算行列式1
1
1
11
0000000
000
000D 32
211Λ
ΛM M O M M M
ΛM
Λn n a a a a a a a ----=
. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：
1
3
2
1
000000000
00
00000D 321+----=
n n
a a a a n Λ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ ()
()()()()n n n a a a n a a a n ΛΛ21n 21n 2
211111+-=+--=+.
2.3 降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解．
2.3.1 按某一行（或列）展开
例6 解行列式1
2
21
n 10
00000000100001D a a a a a x x x x n n n
K
K
M M O M M M O K K -----=
.
解：按最后一行展开，得
n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211K .
2.3.2 按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
n n 2211A M A M A M D +++=Λ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．
即
nn nn nn nn nn
B A B
C A •=0
， nn nn nn
nn nn B A B C A •=0
.
例7 解行列式γ
βββββγββββγλ
Λ
M
O M M M M Λ
ΛΛb b
b
a
a a a n =D .
解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加
到第二列，得
β
γβ
γγ
ββ
ββγλ
---=ΛM O M M M M ΛΛ
Λ00
000
D n b a
a a a
()()β
γβ
γβ
βββ
γλ
---+-=Λ
M O M M M M ΛΛ
Λ
00
000021n b a a a
a n ()()β
γβ
γβ
γλ
--•
-+-=
Λ
M
O M M Λ00
0021n b
a n ()()[]()
2
1n 2-----+=n ab n βγβλλγ.
2.4 升阶法
就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．
其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．
例8 解行列式D=
1111101111
10111110111110Λ
ΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即
1110101101
10101110011111D Λ
ΛM M O
M M M ΛΛΛ=
. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：
D=
1
1
0100100101000
1
11111
1--------Λ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：
1
00100000100000
1
1111)1n D ------=
Λ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ（ ()
()1n 11
n --=+.
2.5数学归纳法
有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．
例9 计算行列式β
ββββcos 21
1cos 20000
0cos 210001
cos 210001cos Λ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ=
n D . 解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，βββ
β2cos 1cos 2cos 21
1cos 22=-==
D .
猜想，βn D n cos =.
由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．
假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．
当1+=k n 时，β
ββββcos 21
1cos 200000cos 210
001
cos 210001cos 1Λ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ=
+k D .
将1+k D 按最后一行展开，得
()
ββββ
β
cos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 1
11k ΛM O M M M ΛΛΛ•-=++++k k
()
1
0cos 21001cos 2100
1cos 11Λ
M O M M M ΛΛΛ
βββk
k ++-+ 1cos 2--=k k D D β.
因为
βk D k cos =，
()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，
所以
1+k D 1cos 2--=k k D D β
ββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .
这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.
2.6 递推法
技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式
021=++--n n n cD bD aD .
则作特征方程
02=++c bx ax .
① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1
211--+=n n n Bx Ax D ．
② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．
例10 计算行列式9
40000059400000
00594000005940000059D n Λ
ΛM M M O M M M M Λ
ΛΛ=
.
解：按第一列展开，得
21209---=n n n D D D .
即
020921=+---n n n D D D ．
作特征方程
02092=+-x x .
解得
5,421==x x .
则
1154--•+•=n n n B A D .
当1=n 时，B A +=9；
当2=n 时，B A 5461+=. 解得
25,16=-=B A ，
所以
1145++-=n n n D .
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1 拆行（列）法
3.1.1 概念及计算方法
拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析
例11 计算行列式n
n n n a a a a a a a a --------=
-11
10000011000110001D 1
33221Λ
ΛM M O M M M Λ
ΛΛ.
解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得
n
n n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=
-11
010000001100001010001D 1
3
322
1Λ
ΛM M O M M M ΛΛΛ .
110
10000011000100001100010000011
00
0110001
1332211
33
22n
n
n n
n n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--Λ
ΛM M
O M M M Λ
ΛΛΛΛM M O M M M ΛΛ
Λ
上面第一个行列式的值为1，所以
n
n
n n a a a a a a a ------=-1100
100001
0011D 1332
1Λ
ΛM M O M M
ΛΛ 111--=n D a .
这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有
111--=n n D a D
()()n n n a a a a a a D a a ΛΛΛ211
2112211111---+++-==--=
()∏∑==-+=i
j j i
i a 1
n
1
11.
3.2 构造法
3.2.1 概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析
例12 求行列式n n
n n
n n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x D Λ
ΛM
M M
M ΛΛΛ2
122221222
212
1111---=
.
解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得
()n
n n
n n
n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f Λ
ΛΛM M O M M
ΛΛΛ2
11112112222212
2222
1211111
--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得
()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，
其中，1
-n x
的系数为
()
()
n n n n n n D D A -=-=+++11,1.
又根据范德蒙德行列式的结果知
()()()()
()∏≤<≤----=n
i j j i
n x x
x x x x x x x f 121Λ.
由上式可求得1-n x 的系数为
()
()∏≤<≤-+-n
i j j i
n x x
x x x 121Λ.
故有
()
()∏≤<≤-+++=n
i j j i
n n x x
x x x D 121Λ.
3.3 特征值法
3.3.1 概念及计算方法
设n λλλΛ，
，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλΛ21=.
故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．
3.3.2 例题解析
例13 若n λλλΛ，
，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλΛ21=，则
A 可逆()n i i n ΛΛ2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.
即
A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法
4.1 三角形行列式
4.1.1 概念
形如
nn n n
n a a a a a a a a a a M O
K
K K 33322322
1131211
，nn
n n n a a a a a a a a a a Λ
O M M M 32133
323122
2111
这样的行列式，
形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，
nn nn
n n
n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211333223221131211000000=,nn nn
n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ
M O M M M K K K 22113
2133323122211100
0000=. 4.2 “爪”字型行列式
4.2.1 概念
形如n
n n
a c a c a c
b b b a O
M Λ
2
2
1
1210，
n
n
n
c a c a c a a b b b M N Λ
22
1
1
012，n
n
n b b b a a c a c a c Λ
N
M 2
1
01122
，
1
2
1122
a b b b c a c a c a n
n n
Λ
M
O
这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析
例14 计算行列式n
a a a a 1
1
11
11
3
2
1O
M Λ，其中.,2,1,0n i a i Λ=≠
分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第
.),3,2(n i i Λ=列元素乘以i
a 1
-
后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．
解:n
a a a a 1
1
11113
2
1O
M Λ n
n
i i
a a a a a 0
0011113
2
2
1O
M Λ∑
=-=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∑=n
i i n a
a a a a 21321
Λ. 4.3 “么”字型行列式
4.3.1 概念
形如
n n
n b b b a a c a c a c ΛN
N 210
1122，n
n n a b c a b c a b c a O
O
22
2
1
110，
n n n
c a c a c a a b b b N N Λ
2
21
1012，
01
112
22a c b a c b a c b a n n n O
M O ，1
02
112
2c a c a b a b c a b n
n n N
N M ，
n n
n
a c a c a c
b b b a O O
Λ
22
11
210，
01
2
1122a b b b c a c a c a n
n n
Λ
O O
，
n
n
n b a b c b a b a c a c 122
1
1
201N
N 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法
利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．
注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析
例15 计算1+n 阶行列式n
n n b b b D 1
1
11
1
11111----=
-+M N
N M N
N .
解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得
n
n
n n
i i
n
i i
n b b b b
b D 1
11
111
11-+--+-=
-==+∑∑M
N M
N
()
()
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+n
i i n
n n b 12
1111
()
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+n
i i n n b 12
311.
4.4 “两线”型行列式
4.4.1 概念
形如n
n
n a b b b a b a ΛΛM M M M M
ΛΛ0
00000
00012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法
对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析
例16 求行列式n
n n n a b b b a b a ΛΛM M M M M
ΛΛ0
000000
00D 12211-=. 解：按第一列展开，得
()
1
221
1
122
1
1
00010
000-+-+-+=n n n n
n n b b a b b a b b a a D Λ
M O M M ΛΛΛ
Λ
M O M M Λ
()n n n b b b a a a ΛΛ211
211+-+=.
4.5 “三对角”型行列式
4.5.1 概念
形如
b
a a
b b a ab b a ab
b a ab b a +++++1
00
000000
00100
000
100000Λ
ΛM M O M M M M M ΛΛ
Λ 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．
4.5.2 计算方法
对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析
例17 求行列式b
a a
b b a ab b a ab
b a ab b a n +++++=
100000
000000
00100000
100000D ΛΛM M O M M M M M ΛΛ
Λ. 解：按第一列展开，得
()b
a a
b b a b a ab b a ab
b a ab D b a n n +++++-
+=-1
00000
10000
1
00000D 1Λ
ΛM M O M M M ΛΛ
Λ ()21---+=n n abD D b a .
变形，得
()211D ----=-n n n n aD D b aD .
由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得
()
211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322Λ.
故
()
n
n n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121ΛΛn n n n b ab b a a ++++=--11Λ.
4.6 Vandermonde 行列式
4.6.1 概念
形如113
12112
23222
1321
1111----n n
n n n n n a a a a a a a a a a a a Λ
M O M M M ΛΛΛ这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．
4.6.2 计算方法
通过数学归纳法证明，可得
()∏≤<≤-----=1
1113
12112
2322213211111i j j i n n
n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a Λ
M O M M M ΛΛΛ. 4.6.3 例题解析
例18 求行列式n n
n n
n n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x D Λ
ΛM
M M
M ΛΛΛ2
122221222
212
1111---=
.
解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德
行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得
()n
n n
n n
n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f Λ
ΛΛM M O M M
ΛΛΛ2
11112112222212
2222
1211111
--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得
()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ， 其中，1-n x 的系数为
()
()
n n n n n n D D A -=-=+++11,1.
又根据范德蒙德行列式的结果知
()()()()
()∏≤<≤----=n
i j j i
n x x
x x x x x x x f 121Λ.
由上式可求得1-n x 的系数为
()
()∏≤<≤-+-n
i j j i
n x x
x x x 121Λ,
故有
()
()∏≤<≤-+++=n
i j j i
n n x x
x x x D 121Λ.
5、行列式的计算方法的综合运用
有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合
多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．
5.1 降阶法和递推法
例19 计算行列式2
1000120000
02100012100012D Λ
ΛM M O M M M ΛΛΛ=
n . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．
解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即
211D ----=-n n n n D D D .
∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n Λ. ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D ΛΛ
()121+=+-=n n .
5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式
例20 计算行列式
4
3423
3322
3221
3124243232221
214
3
2
1
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111
D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=
解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相
加，得
4
33
32
31
3423222124
321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=
D .
再由范德蒙德行列式，得
()∏≤<≤-==
414
33
32
31
3423222124
321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1
111
i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.
5.3 构造法和套用范德蒙德行列式
例21 求行列式n n
n n
n n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x D Λ
ΛM
M M
M ΛΛΛ2
122221222
212
1111---=
.
解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得
()n
n n
n n
n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f Λ
ΛΛM M O M M
ΛΛΛ2
11112112222212
2222
1211111
--------=.
将()x f 按第1+n 列展开，得
()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，
其中，1-n x 的系数为
()
()
n n n n n n D D A -=-=+++11,1.
又根据范德蒙德行列式的结果知
()()()()
()∏≤<≤----=n
i j j i
n x x
x x x x x x x f 121Λ.
由上式可求得1-n x 的系数为
()
()∏≤<≤-+-n
i j j i
n x x
x x x 121Λ.
故有
()
()∏≤<≤-+++=n
i j j i
n n x x
x x x D 121Λ.。