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第3章 数字滤波器
传统数字滤波器
应用：对模拟滤波器的功能进行模拟。
功能：频率选择。
可用频域特性表示： Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)
X(ejω)
H(ejω)
Y(ejω)
只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择 H(ejω)，使滤波后的结果 H(ejω)X(ejω)符合人 们的要求，即达到了滤波的目的。这就是传统数字滤 波器的基本滤波原理，又称传统滤波思想。
IIR与FIR滤波器在设计方法上有明显的不同。
9
第3章 数字滤波器
3. 按实现方法 (或结构形式) 分类
数字滤波器可用常系数线性差分方程表示：
N
M
y(n) ak y(n k) br x(n r)
k 1
r 0
如果滤波器的当前输出y(n)由输入的当前值x(n)与过去值 x(n-1), x(n-2),…, x(n-M)和输出的过去值y(n-1), y(n-2),…, y(n-N)确定，该滤波器称为递归滤波器；如果滤波器的当 前输出y(n)仅由输入的当前值x(n)和过去值x(n-1), x(n2),…确定，与输出y(n)的过去值无关，该滤波器称为非递 归滤波器。
12
第3章 数字滤波器
1. 方框图与信号流图
数字滤波器通常有三种基本运算，即乘法、加法和单 位延迟，三种基本运算用方框图与流图表示如图所示。
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
ax(n)
x(n) a ax(n)
a
x1(n)
x1(n)＋x2(n)
x1(n)
x1(n)＋x2(n)
4
3.1.1 数字滤波器分类
第3章 数字滤波器
1. 按频率响应幅度特性分类
按传统的滤波概念，数字滤波器也像模拟滤波 器一样，根据其频率响应振幅的通带特性，分为低 通、高通、带通、带阻4种类型。
H (e j ) H (e j ) e j( )
5
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
第3章 数字滤波器
通带： 0<ω<ωp 阻带： ωs<ω< π 过渡带： ωp<ω<ωs ωc：截止频率 δ1：通带幅度误差容限 δ2：阻带幅度误差容限
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求
7
第3章 数字滤波器
通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示。通带内允
许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示：
H (e j0)
W2(z) X (z) a1W2 (z) a2W1(z)
Y (z) b2W1(z) b1W2 (z) b0W2(z)
H (z)
Y (z) X (z)
b0 b1z1 b2z2 1 a1z1 a2z2
第3章 数字滤波器
第 3 章 数字滤波器
3.1 数字滤波器概述 3.2 数字滤波器分析 3.3 数字滤波器设计
1
第3章 数字滤波器
3.1 数字滤波器概述
数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信 号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。
数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时 不变离散系统，它实质就是一个运算过程，可以实现 各种变换和处理。它将输入的数字信号 (序列) 通过特 定的运算转变为输出的数字序列，因此，任何一个线 性时不变系统都可以看作是数字滤波器。
(6.1.6)
幅度下降到0.707时，ω=ωc，αp=3dB，称ωc为3dB通带
截止频率。
8
第3章 数字滤波器
2. 按冲激响应h(n)长度分类
将数字滤波器看作线性时不变系统时，可以用冲 激响应描述它。
如果冲激响应h(n)(即单位脉冲响应)为无限长序列， 则由该h(n)确定的滤波器称为无限冲激(脉冲)响应(IIR) 滤波器；如果冲激响应h(n)(即单位脉冲响应)为有限长 序列，则由该h(n)确定的滤波器称为有限冲激(脉冲)响 应(FIR)滤波器。
通常，IIR用递归结构实现较容易，FIR用非递归 结构实现较容易。
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3.1.2 数字滤波器结构
第3章 数字滤波器
数字滤波器结构常用方框图、信号流图和矩阵 表示。当用计算机实现滤波器时，可以把滤波器结 构看作软件算法说明，依此编写程序；当用专用数 字硬件实现滤波器时，可将滤波器结构作为硬件实 现的逻辑框图，依此设计硬件。
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第3章 数字滤波器
从结构上看，递归滤波器系统必有反馈回路，而非 递归滤波器系统无反馈回路，其系统函数为：
M
br zr
H(z)
r0 N
1 ak zk
k 1
(6Βιβλιοθήκη Baidu1.1)
N 1
H (z) h(n)zn
n0
(6.1.2)
作为递归系统，H(z)在Z平面上有不在原点上的极点。
而非递归系统可以在时域直接用卷积描述。
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e js ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为 1 ，(6.1.3) 和 (6.1.4) 式则表示成：
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.5)
s 20 lg H (e js ) dB
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
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第3章 数字滤波器
显然，数字滤波器的频带限于|ω|<π（即|f|<1/(2T)） 的范围，幅频特性从通带到止带(阻带)的交界点是其重 要参数。
由于各种因素及误差的存在，实际的滤波器特性不 可能达到理想化的要求，具有误差容限。
3
第3章 数字滤波器
现代数字滤波器 数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使
数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器 时，既可以在频域中进行 (如频率选择) ，也可以在 时域中进行。这使得许多非频域滤波算法产生，将 滤波的概念从狭义的频率选择与处理功能扩展为任 何可实现的变换与处理，也因此产生了现代数字滤 波器。
x2(n)
x2(n)
图5.2.1 三种基本运算的方框图、流图表示
13
方框图可 以直观地展示 滤波器的组成 部件及它们的 连接关系，便 于实现。信号 流图与方框图 等效，但表示 方法简单，又 便于应用较完 善的数字网络 理论，故常被 采用。
第3章 数字滤波器
W1(z) W2 (z)z1
W2 (z) W2(z)z1
第3章 数字滤波器
传统数字滤波器
应用：对模拟滤波器的功能进行模拟。
功能：频率选择。
可用频域特性表示： Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)
X(ejω)
H(ejω)
Y(ejω)
只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择 H(ejω)，使滤波后的结果 H(ejω)X(ejω)符合人 们的要求，即达到了滤波的目的。这就是传统数字滤 波器的基本滤波原理，又称传统滤波思想。
IIR与FIR滤波器在设计方法上有明显的不同。
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第3章 数字滤波器
3. 按实现方法 (或结构形式) 分类
数字滤波器可用常系数线性差分方程表示：
N
M
y(n) ak y(n k) br x(n r)
k 1
r 0
如果滤波器的当前输出y(n)由输入的当前值x(n)与过去值 x(n-1), x(n-2),…, x(n-M)和输出的过去值y(n-1), y(n-2),…, y(n-N)确定，该滤波器称为递归滤波器；如果滤波器的当 前输出y(n)仅由输入的当前值x(n)和过去值x(n-1), x(n2),…确定，与输出y(n)的过去值无关，该滤波器称为非递 归滤波器。
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第3章 数字滤波器
1. 方框图与信号流图
数字滤波器通常有三种基本运算，即乘法、加法和单 位延迟，三种基本运算用方框图与流图表示如图所示。
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
ax(n)
x(n) a ax(n)
a
x1(n)
x1(n)＋x2(n)
x1(n)
x1(n)＋x2(n)
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3.1.1 数字滤波器分类
第3章 数字滤波器
1. 按频率响应幅度特性分类
按传统的滤波概念，数字滤波器也像模拟滤波 器一样，根据其频率响应振幅的通带特性，分为低 通、高通、带通、带阻4种类型。
H (e j ) H (e j ) e j( )
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低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
第3章 数字滤波器
通带： 0<ω<ωp 阻带： ωs<ω< π 过渡带： ωp<ω<ωs ωc：截止频率 δ1：通带幅度误差容限 δ2：阻带幅度误差容限
图 6.1.2 低通滤波器的技术要求
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第3章 数字滤波器
通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示。通带内允
许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示：
H (e j0)
W2(z) X (z) a1W2 (z) a2W1(z)
Y (z) b2W1(z) b1W2 (z) b0W2(z)
H (z)
Y (z) X (z)
b0 b1z1 b2z2 1 a1z1 a2z2
第3章 数字滤波器
第 3 章 数字滤波器
3.1 数字滤波器概述 3.2 数字滤波器分析 3.3 数字滤波器设计
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第3章 数字滤波器
3.1 数字滤波器概述
数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信 号过滤、检测、参数估计等处理中，有着广泛的应用。
数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时 不变离散系统，它实质就是一个运算过程，可以实现 各种变换和处理。它将输入的数字信号 (序列) 通过特 定的运算转变为输出的数字序列，因此，任何一个线 性时不变系统都可以看作是数字滤波器。
(6.1.6)
幅度下降到0.707时，ω=ωc，αp=3dB，称ωc为3dB通带
截止频率。
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第3章 数字滤波器
2. 按冲激响应h(n)长度分类
将数字滤波器看作线性时不变系统时，可以用冲 激响应描述它。
如果冲激响应h(n)(即单位脉冲响应)为无限长序列， 则由该h(n)确定的滤波器称为无限冲激(脉冲)响应(IIR) 滤波器；如果冲激响应h(n)(即单位脉冲响应)为有限长 序列，则由该h(n)确定的滤波器称为有限冲激(脉冲)响 应(FIR)滤波器。
通常，IIR用递归结构实现较容易，FIR用非递归 结构实现较容易。
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3.1.2 数字滤波器结构
第3章 数字滤波器
数字滤波器结构常用方框图、信号流图和矩阵 表示。当用计算机实现滤波器时，可以把滤波器结 构看作软件算法说明，依此编写程序；当用专用数 字硬件实现滤波器时，可将滤波器结构作为硬件实 现的逻辑框图，依此设计硬件。
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第3章 数字滤波器
从结构上看，递归滤波器系统必有反馈回路，而非 递归滤波器系统无反馈回路，其系统函数为：
M
br zr
H(z)
r0 N
1 ak zk
k 1
(6Βιβλιοθήκη Baidu1.1)
N 1
H (z) h(n)zn
n0
(6.1.2)
作为递归系统，H(z)在Z平面上有不在原点上的极点。
而非递归系统可以在时域直接用卷积描述。
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e js ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为 1 ，(6.1.3) 和 (6.1.4) 式则表示成：
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.5)
s 20 lg H (e js ) dB
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
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第3章 数字滤波器
显然，数字滤波器的频带限于|ω|<π（即|f|<1/(2T)） 的范围，幅频特性从通带到止带(阻带)的交界点是其重 要参数。
由于各种因素及误差的存在，实际的滤波器特性不 可能达到理想化的要求，具有误差容限。
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第3章 数字滤波器
现代数字滤波器 数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使
数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器 时，既可以在频域中进行 (如频率选择) ，也可以在 时域中进行。这使得许多非频域滤波算法产生，将 滤波的概念从狭义的频率选择与处理功能扩展为任 何可实现的变换与处理，也因此产生了现代数字滤 波器。
x2(n)
x2(n)
图5.2.1 三种基本运算的方框图、流图表示
13
方框图可 以直观地展示 滤波器的组成 部件及它们的 连接关系，便 于实现。信号 流图与方框图 等效，但表示 方法简单，又 便于应用较完 善的数字网络 理论，故常被 采用。
第3章 数字滤波器
W1(z) W2 (z)z1
W2 (z) W2(z)z1