导数与函数单调性的关系

导数与函数单调性的关系

教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。若函数)(x f y =在某个区间I 上可导（对于区间端点，只要求它存在左（或右）导数）则称)(x f 为区间I 上的可导函数。那么区间I 上的可导函数与函数单调性有什么关系呢？

一、 0>)('x f （或0<)('x f ）是)(x f y =在某个区间I 上为增（或减）函数的充分不必要条件

设函数)(x f y =在某个区间I 上可导，如果0>)('x f ，则)(x f 为增函数；如果

0<)('x f ，则)(x f 为减函数。

（参考书目（1）第127页） 但当)(x f y =在某个区间I 上为增（或减）函数时，并不能得到0>)('x f （或

0<)('x f ）

。例如：3x x f y ==)(在),(+∞-∞上单调递增，但032≥=x x f )('。即0>)('x f （或0<)('x f ）是)(x f y =在某个区间I 上为增（或减）函数的充分不必要条件。

二、若函数)(x f y =为区间(a,b)内的可导函数，则0≥)('x f （或0≤)('x f ）是)(x f y =在区间（a ，b ）内为增（或减）函数的必要不充分条件。 证明：设x 为区间(a,b)内任一点，当x ∆充分小时仍有),(b a x x ∈∆+，由于)(x f y =在区间（a ，b ）内为增函数，所以0>∆-∆+x

x f x x f )()(，即0≥)('x f 。 但0≥)('x f 时，)(x f y =在区间（a ，b ）内不一定为增函数。

例如：⎩⎨⎧≥-<=)

()()()(b x b x b x x f 20则0≥)('x f 但)(x f 在),(+∞-∞上不是增函数。 三、 函数)(x f y =在某个区间I 上可导，则)(x f y =在区间I 上为增（或减）函数的充要条件为：

（1）对一切I x ∈都有0≥)('x f （或0≤)('x f ）

（2）使得0=)('x f 的点x 不连续。

证明见参考书目（2）第187页。

值得注意的是单调函数可以在无穷多个点处使得0=)('

x f 。

例如：k k x x f 2+-=)sin()(π ),[22ππππ+-

∈k k x Z k ∈在R 上单调递增，

当πk x =，Z k ∈时0=)('x f 。 有了前面的充要条件，我们来解答2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学19题：已知函数1323+-+=x x ax x f )(在R 上单调递减，求实数a 的取值范围。

解： 1632-+=x ax x f )('，

令0≤)('x f 在R 上恒成立得⎩

⎨

⎧≤+=∆<0a 12360a 解得3a -≤， 当且仅当⎪⎩

⎪⎨⎧=-=31x 3a 时0=)('x f ， ∴实数a 的取值范围是],(3--∞。

参考书目：

（1）《数学》第三册（选修Ⅱ） 人民教育出版社中学数学室 编著 人民教育出版社出版。

（2）《数学分析》上册 华东师范大学数学系 编 高等教育出版社出版。