圆周角定理 课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AE AB
2.(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°， ∴∠CAB=60° 又OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOD=60°，∴∠CAB=∠BOD．
(2)在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=1 AB，
2
又OB=1 AB，∴AC=OB．
2
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°．
2
2
答案：35°
对圆周角的两点认识 (1)圆周角的度数不等于它所对弧的度数.由圆周角定理和圆心 角定理综合知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. (2)圆上的一条弦所对的圆周角不一定相等.一般有两种情况： 相等或互补，弦所对的优弧与所对的劣弧上的点所成的圆周角 互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既 相等又互补.
2.如图，在⊙O中，弦AB=16，点C在⊙O上，且sin C= 4 . 求
5
⊙O的半径长.
【解析】1.连接CD, ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°. ∵BC=1,AB= 3, ∴AC=2, ∵BD平分∠ABC,∴ AD DC, ∴AD=CD,在Rt△ACD中,由勾股定理得,AD=2. 答案： 2
运用圆周角定理及推论进行证明
利用圆中角的关系证明时的关注点 (1)分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆 上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁去求解. (2)当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,然后在 直角三角形中处理相关问题.
【典例训练】
1.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,
在△ABC和△ODB中，
CAB BOD ACB OBD AC OB
∴△ABC≌△ODB.
2.对推论2的理解 (1)在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆. (2)利用上述性质便可得到直角三角形,然后利用直角三角形解 决相关问题.
【典例训练】 1.如图,AC是⊙O的直径,B是圆上一点,∠ABC的平分线与⊙O相 交于点D,已知BC=1,AB= 3, 则AD=_____.
圆周角定理和圆心角定理的有关计算 运用圆周角定理和圆心角定理解题时的三个步骤
【典例训练】 1.如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )
(A)15°(B)30°( Nhomakorabea)45°
(D)60°
2.如图,点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于 _______. 3.如图,在⊙O中,∠A=α,则∠OBC=_________.
2.作直径AD，连接BD，
则∠ABD=90°，∠D=∠C.
∵sin C= 4，∴sin D= 4 .
5
5
在Rt△ABD中，sin D=AB 4，
AD 5
又∵AB=16,∴AD=16×5 =20，
4
∴OA=1 AD=10,
2
即⊙O的半径长为10.
A
O·
C
B
D
【想一想】解答题2的突破口是什么? 提示：解答题2的突破口是利用题中已知sin C，并作辅助线找 到直径,进而利用推论求出半径长.
D为BC上一点,E是直线AD和⊙O的交
点,则AB2等于( )
(A)AC·BC
(B)AD·AE
(C)AD·DE
(D)BD·DC
2.如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC=30°，⊙O 过点B的切线与CO的延长线交于点D．
求证：(1)∠CAB=∠BOD； (2)△ABC≌△ODB．
【解析】1.选B.连接BE,则∠C=∠AEB, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ABC=∠AEB, 又∵∠BAE=∠BAE,∴△ABD∽△AEB, ∴ AB ∴AADB, 2=AD·AE.
【解析】1.选B. ∵OA=OC,∠C=15°, ∴∠A=∠C=15°, ∴∠BOC=2∠A=30°. 2.∠AOB=2∠ACB=60°. 答案：60° 3.连接OC,则∠BOC=2∠A=2α.∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=180 2=90°-α.
2
答案：90°-α
两个推论的运用
1.对推论1的理解 (1)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆 和等圆中”. (2)在推论“同弧或等弧所对的圆周角相等”中，注意：“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”后，结论不成立，因为一条弦 所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的.
圆周角定理
1.两个定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的_一__半___. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对_弧___的度数. 2.两个推论 (1)推论1：_同__弧__或__等__弧___所对的圆周角相等；同__圆__或__等__圆___ 中，相等的圆周角所对的__弧____也相等. (2)推论2： __半__圆___(或__直__径___)所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是__直__径___.
1.圆内的任一弦所对的圆周角是否惟一? 提示:不惟一.分圆周角的顶点在优弧上和劣弧上两种情况进行 讨论. 2.圆内的任一弦所对的圆心角是否惟一？ 提示：惟一.由圆的性质知，一条弦有惟一的圆心角与其对应.
3.如图,在⊙O中,∠AOB=70°,则∠ACB=______.
【解析】∠ACB= 1 ∠AOB= 1 ×70°=35°.
2.(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°， ∴∠CAB=60° 又OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOD=60°，∴∠CAB=∠BOD．
(2)在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=1 AB，
2
又OB=1 AB，∴AC=OB．
2
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°．
2
2
答案：35°
对圆周角的两点认识 (1)圆周角的度数不等于它所对弧的度数.由圆周角定理和圆心 角定理综合知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. (2)圆上的一条弦所对的圆周角不一定相等.一般有两种情况： 相等或互补，弦所对的优弧与所对的劣弧上的点所成的圆周角 互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既 相等又互补.
2.如图，在⊙O中，弦AB=16，点C在⊙O上，且sin C= 4 . 求
5
⊙O的半径长.
【解析】1.连接CD, ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°. ∵BC=1,AB= 3, ∴AC=2, ∵BD平分∠ABC,∴ AD DC, ∴AD=CD,在Rt△ACD中,由勾股定理得,AD=2. 答案： 2
运用圆周角定理及推论进行证明
利用圆中角的关系证明时的关注点 (1)分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆 上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁去求解. (2)当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,然后在 直角三角形中处理相关问题.
【典例训练】
1.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,
在△ABC和△ODB中，
CAB BOD ACB OBD AC OB
∴△ABC≌△ODB.
2.对推论2的理解 (1)在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆. (2)利用上述性质便可得到直角三角形,然后利用直角三角形解 决相关问题.
【典例训练】 1.如图,AC是⊙O的直径,B是圆上一点,∠ABC的平分线与⊙O相 交于点D,已知BC=1,AB= 3, 则AD=_____.
圆周角定理和圆心角定理的有关计算 运用圆周角定理和圆心角定理解题时的三个步骤
【典例训练】 1.如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )
(A)15°(B)30°( Nhomakorabea)45°
(D)60°
2.如图,点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于 _______. 3.如图,在⊙O中,∠A=α,则∠OBC=_________.
2.作直径AD，连接BD，
则∠ABD=90°，∠D=∠C.
∵sin C= 4，∴sin D= 4 .
5
5
在Rt△ABD中，sin D=AB 4，
AD 5
又∵AB=16,∴AD=16×5 =20，
4
∴OA=1 AD=10,
2
即⊙O的半径长为10.
A
O·
C
B
D
【想一想】解答题2的突破口是什么? 提示：解答题2的突破口是利用题中已知sin C，并作辅助线找 到直径,进而利用推论求出半径长.
D为BC上一点,E是直线AD和⊙O的交
点,则AB2等于( )
(A)AC·BC
(B)AD·AE
(C)AD·DE
(D)BD·DC
2.如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC=30°，⊙O 过点B的切线与CO的延长线交于点D．
求证：(1)∠CAB=∠BOD； (2)△ABC≌△ODB．
【解析】1.选B.连接BE,则∠C=∠AEB, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ABC=∠AEB, 又∵∠BAE=∠BAE,∴△ABD∽△AEB, ∴ AB ∴AADB, 2=AD·AE.
【解析】1.选B. ∵OA=OC,∠C=15°, ∴∠A=∠C=15°, ∴∠BOC=2∠A=30°. 2.∠AOB=2∠ACB=60°. 答案：60° 3.连接OC,则∠BOC=2∠A=2α.∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=180 2=90°-α.
2
答案：90°-α
两个推论的运用
1.对推论1的理解 (1)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆 和等圆中”. (2)在推论“同弧或等弧所对的圆周角相等”中，注意：“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”后，结论不成立，因为一条弦 所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的.
圆周角定理
1.两个定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的_一__半___. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对_弧___的度数. 2.两个推论 (1)推论1：_同__弧__或__等__弧___所对的圆周角相等；同__圆__或__等__圆___ 中，相等的圆周角所对的__弧____也相等. (2)推论2： __半__圆___(或__直__径___)所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是__直__径___.
1.圆内的任一弦所对的圆周角是否惟一? 提示:不惟一.分圆周角的顶点在优弧上和劣弧上两种情况进行 讨论. 2.圆内的任一弦所对的圆心角是否惟一？ 提示：惟一.由圆的性质知，一条弦有惟一的圆心角与其对应.
3.如图,在⊙O中,∠AOB=70°,则∠ACB=______.
【解析】∠ACB= 1 ∠AOB= 1 ×70°=35°.