圆曲线和缓和曲线坐标推算公式(附带例题)

圆曲线和缓和曲线坐标推算公式

一、直线上的坐标推算

⎩⎨⎧++0i m i

0i m i sina L Y Y cosa L X X ＝＝ 式中：Xm 、Ym ——直线段起点M 坐标

Li ——直线段上任意点i 到线路起点M 的距离 a 0——直线段起点M 到JD1的方位角 二、圆曲线上任一点的坐标推算

①、圆曲线上任一点i 相对应的圆心角：i i L R

180πϕ︒

＝

式中：Li ——圆曲线上任一点i 离开ZY 或YZ 点的弧长

②、圆曲线上任一点i 的直角坐标：⎩⎨⎧-）（＝＝i i

i

i cos 1R Y Rsin X ϕϕ（可不计算）.

③、圆曲线ZY 或YZ 点到任一点i 的偏角：i i

i L R

902

πϕ︒

∆＝

＝

④、圆曲线ZY 或YZ 点到任一点i 的弦长：)sin(2)2

sin(

2C i i i

R R ∆=ϕ＝

⑤、圆曲线ZY 或YZ 点到任一点i 的弦长的方位角：i jd y z jd zy i a a ∆±→→或＝

⑥、所以圆曲线上任意点i 的坐标为：⎩⎨⎧++i i YZ ZY i

i

i YZ ZY i sina C Y Y cosa C X X 或或＝＝

例题：

已知一段圆曲线,R=3500m ，Ls ＝553.1m ，交点里程K50+154.734，ZY 点到JD 方向方位角为A=129°23′18.3″，右偏9°3′15.8″，ZY 点里程K49+877.607，YZ 点里程K50+430.707，起点坐标为x ＝389823.196，y ＝507787.251，求K50+200处中点坐标及左右各偏12.5m 的坐标。 解：K50+200处的曲线长度为Li ＝322.393m

K50+200相对应的方位角："'︒⨯⨯︒︒52.39165393.3223500

180L R 180i ＝＝＝ππa K50+200相对应的偏角："'︒⨯⨯︒

︒∆76.19382393.3223500

90L R 902

i i

i ＝＝＝

＝

ππϕ K50+200到zy 点的弦长：m 279.32276.19382sin 35002Rsin 2C i i ＝＝＝"'︒⨯⨯∆ zy 点到K50+200中桩的方位角：

"'︒"'︒+"'︒∆+→06.38113276.193823.1823129a a i jd zy i ＝＝＝

K50+200左、右偏12.5m 的方位角：

"'︒︒-"'︒︒-+82.5739449082.573913490a a ＝＝＝左i A "'︒︒+"'︒︒++82.57391349082.573913490a a ＝＝＝右i A

所以K50+200处的坐标为：

⎩⎨⎧"'︒⨯++"'︒⨯++6484.50802606.381132sin 279.322251.507787sina C Y Y 4354

.38960706.381132cos 279.322196.389823cosa C X X i i ZY i

i i ZY i ＝＝＝＝＝＝

K50+200左偏12.5m 的坐标为：

⎩⎨⎧"'︒⨯++"'︒⨯++4656.50803582.573944sin 5.126484.508026sina 5.21Y Y 3256.38961682.573944cos 5.124354.389607cosa 5.21X X i i ＝＝＝＝＝＝左左

左左 K50+200右偏12.5m 的坐标为：

⎩⎨⎧"'︒⨯++"'︒⨯++5386.50803582.5739341sin 5.126484.508026sina 5.21Y Y 6482.38959882.5739341cos 5.124354.389607cosa 5.21X X i i ＝＝＝＝＝＝右右

右右 三、缓和曲线上任一点的坐标推算

切线角：π

β︒

⨯1802RL L s 2i i ＝

缓和曲线上任意点i 的偏角：πβδ︒

⨯180RL 6L 3s 2i i

i ＝

＝

缓和曲线ZH 或HZ 点到任意点i 的方位角为：i jd HZ jd ZH a a i δ±→→或＝

缓和曲线上任意点i 的坐标为：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧-

s 3i

i 2s 25i i i 6RL L y L 40R L L x ＝＝

缓和曲线ZH 或HZ 点到任意点i 的弦长：2

2i y

x C +＝

所以缓和曲线上任意点i 的坐标为：⎩⎨⎧++i i HZ ZH i

i

i HZ ZH i sina C Y Y cosa C X X 或或＝＝

例题：

已知一段缓和曲线，ZH 点到JD 方向方位角为A=183°17′08.9″，线路左偏43°31′02″，ZH 点里程为K52+001.615，ZH 点坐标x ＝388071.927，y ＝508789.089，R ＝960m ，Ls ＝120m ，求K52+100处的中点坐标及左右各偏12.5m 的坐标。

解：根据已知条件可知：K52+100到zh 点的曲线长度Li ＝98.385m

"'︒︒⨯⨯⨯︒⨯64.252421801209602385.98180RL 2L 2s 2i i ＝＝＝π

πβ

K52+100相对应的偏角：

"'︒︒⨯⨯⨯︒⨯55.84801801209606385.98180RL 6L 32s 2i i

i ＝＝＝＝π

πβδ

ZH 点到K52+100的方位角：

"'︒"'︒-"'︒-→35.02918255.848008.917183a a i jd ZH i ＝＝＝δ

K52+100左、右偏12.5m 的方位角：

"'︒︒-"'︒︒--26.43521809026.435218090A a ＝＝＝左i β

"'︒︒+"'︒︒+-26.43522709026.435218090A a ＝＝＝左i β

K52+100的直角坐标为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧⨯⨯⨯⨯--m 3778.11209606385.986RL L y m 3676.9812096040385.98385.98L 40R L L x 3s 3i i 2

25

2s 25i i i ＝＝＝＝＝＝ 缓和曲线ZH 点到K52+100的弦长：

m 377.983778.13676.98y x C 2222i ＝＝＝++

所以K52+100的中线坐标为：