结构动力学-第六章 分布参数体系

∂2u ( x,t)⎤
∂x2
⎥ ⎦
=
P( x,t)
考虑阻尼力的贡献后,有
m
(
x
)
∂2u (
∂t
x,
2
t
)
+
c
(
x
)
∂u
( x,
∂t
t
)
+
∂2 ∂x2
⎡ ⎢EI ⎣
(
x)
∂2u ( x,t
∂x2
)
+
cs I
(
x)
∂3u( x,t)
∂x2∂t
⎤ ⎥ ⎦
=
P(
x, t
)
结构动力学 第六章 分布参数体系
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ω
结构动力学 第六章 分布参数体系
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§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
方程 φ′′′′( x) − a4φ ( x) = 0
设解为
φ ( x) = Cesx
代入方程后，有特征方程
( ) s4 − a4 Cesx = 0
解方程得 s1,2,3,4 = ±a, ±ia
内容:
• 梁的偏微分运动方程 • 梁的自振频率和振型 • 振型的正交性 • 用振型叠加法计算梁的动力反应
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§6.1 梁的偏微分运动方程
剪切变形 - Euler梁、Timoshenko梁 转动惯量 阻尼影响
§6.1.1 弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程
{φ} T [M ]{φ} = 0 m ≠ n
m
n
{φ} T [K ]{φ} = 0 m ≠ n
m
n
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§6.4 梁的动力反应
将振型叠加法由多自由度推广至无限自由度.
§6.4.1 广义坐标
振型向量φi (x) 已知 广义坐标qi(t) 未知
（2） 齐次代数方程
由非零解条件得频率方程，可确定频率参数 a，
再确定振型参数A, B, C, D
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§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
例 6.1 简支梁
简支条件：
x = 0 : φ (0) = 0; M (0) = EIφ′′(0) = 0
⇒ B=D=0
右端边界条件，有：
Asin aL + C sinh aL = 0 − Asin aL + C sinh aL = 0
⎡ sin aL ⎢⎣− sin aL
sinh sinh
aL⎤ aL⎥⎦
⎧ A⎫
⎩⎨C
⎬ ⎭
=
⎧0⎫ ⎩⎨0⎭⎬
为保证有非零解，系数矩阵行列式必等于零
sin aL sinh aL = 0 ⇒ 频率方程 sin aLsinh aL = 0 − sin aL sinh aL
使用分离变量法 (the method of separation of variables)
u ( x,t) = φ ( x) q (t)
代入方程后，可得
φ ( x) q (t) = − EI φ′′′′( x) q (t)
m
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§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
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§6.3 振型的正交性
∫ ∫ 功的互等定理：
L
0 um
(
x)
fI ,n
(
x, t )
dx
=
L
0 un
(
x)
fI ,n
(
x, t )
dx
考虑第n阶和第m阶振型：
un ( x,t ) = φn ( x) qn sin ωnt um ( x,t ) = φm ( x) qm sin ωmt
(
x) qm
sin ωmt
代入互等定理表)
qm
m
(
x
)
ω
φ 2 nn
(
x
)
qn
dx
=
L 0
φn
(
x
)
qn
m
(
x
)
ω
2
mφm
(
x
)
qm
dx
( ) ∫ ω
2 n
−
ω
2 m
L 0
φn
(
x
)
m
(
x
)φm
(
x
)
dx
=
0
ω2n
≠
ω
2 m
L
∫0
φn
(
x
)
m
(
x
)φm
(
x
)
dx
=
0
(m ≠ n)
结构动力学
Dynamics of Structures
第六章 分布参数体系
Chapter 6 Continuous Systems
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结构动力学 第六章 分布参数体系
马海涛/陈太聪
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本章主要目的及内容
目的:
了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法; 初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解.
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§6.1.5 考虑阻尼影响的梁的振动方程
横向阻尼力(分布线密度)
f
D
(
x
)
=
−c
(
x
)
∂u
( x,
∂t
t
)
梁内阻尼弯矩
阻尼应力
MD (x) =
∫
A
σD = cs
σ DηdA =
∂ε
∂t
∫ csη
A
∂ε
(
x,η,
∂t
t
)
dA
∫=
csη
A
∂ ∂t
⎛ ⎜
(
x)
d
2φm (
dx2
x)
⎤ ⎥ ⎦
qm
(t)
=
P(
x,t
)
两端分别乘 φn(x) 后取积分:
∑ ∫∞
m=1
−
⎝
∂2u ∂x2
η
⎞ ⎟ ⎠
dA
=
−cs I
(x)
∂3u ( x,t)
∂t∂x2
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§6.1.5 考虑阻尼影响的梁的振动方程
无阻尼梁的震动方程
m(x)
∂2u ( x,t)
∂t 2
+
∂2 ∂x2
⎡ ⎢ EI ⎣
(x)
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§6.2 梁的自振频率和振型
§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
欧拉梁的横向自由振动运动方程
∂2u( x,t) ∂4u( x,t)
m
+ EI
=0
∂t2
∂x4
或写成 u + EI u′′′′ = 0 m
( i ) = ∂( ) , ( )′ = ∂( )
∂t
∂x
(
x)
m(
x)φm
(
x)
dx
由正交性,得振幅表达式:
qn
(
t
)
=
∫ φL 0n L ∫0
( x)m( x)u( x, ⎡⎣φn ( x)⎤⎦2m( x)
t ) dx
dx
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{φ} T [M ]{u}
比较
qn
=
n
{φ} T
[M ]{φ}
n
n
{φ} T [M ]{u}
∂t 2
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§6.1 梁的偏微分运动方程
等截面梁的运动方程:
m
∂2u ( x,t)
∂t 2
+
EI
∂4u ( x,
∂x 4
t
)
=
P
(
x,
t
)
四阶偏微分方程 （A fourth order partial differential equation）
x = L : φ ( L) = 0; M (L) = EIφ′′(L) = 0
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§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
由左端边界条件 (x = 0) 得：
φ (0) = Asin 0 + B cos 0 + C sinh 0 + D cosh 0 = B + D = 0 φ′′(0) = a2 (− Asin 0 − B cos 0 + C sinh 0 + D cosh 0) = a2 (−B + D) = 0
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§6.3 振型的正交性
分布参数简支梁关于分布质量正交条件：
L
∫0
φn
(
x
)
m
(
x
)
φm
(
x
)
dx
=
0
(m ≠ n)
分布参数简支梁关于分布刚度正交条件：
L
∫0
φm′′
(
x
)φn′′
(
x
)
EI
(
x
)
dx
=
0
对多自由度系统，振型向量满足
方程的通解
( ) φ x = C1eiax + C2e−iax + C3eax + C4e−ax
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§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
方程 φ′′′′( x) − a4φ ( x) = 0
用三角函数和双曲函数可将通解表示为
sin aL = 0
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§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型
根据正弦函数特性，由 sin aL = 0 我们有：
an L = nπ , n = 1, 2, , ∞
注意到 ω2 = a4EI 频率为：
m
ωn = n2π 2
EI mL4
(n = 1, 2,
, ∞)
将 sin aL = 0 代回到右端点边界条件方程，可得 C = 0。
Asin aL + C sinh aL = 0
至此，求得振型函数为：
φn
(x)
=
An
sin
nπ x
L
(n = 1, 2,
, ∞)
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§6.4.1 广义坐标
位移场用振型函数表示:
∞
u ( x,t ) = ∑ qm (t )φm ( x) m=1
两端分别乘 φn(x) 后取积分:
∫ φL 0n
(
x)
m(
x)
u
(
x,
t
)
dx
=
∞
∑qm
m=1
(t
∫) φL 0n
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§6.3 振型的正交性
分布惯性力:
fI ,n
(
x,
t
)
=
−m
(
x)
∂2un ( x,
∂t 2
t
)
=
m
(
x)ω
2nφ
(
x)
qn
sin
ωnt
fI ,m
( x,t)
=
−m(
x)
∂2um ( x,t )
∂t 2
=
m ( x)ω2mφ
φ ( x) = Asin ax + B cos ax + C sinh ax + D cosh ax
其中双曲函数 sinh ax = eax − e−ax , 2
cosh ax = eax + e−ax 2
（1） A, B, C, D 为待定常数，通过边界条件确定
位移、斜率、剪力或弯矩的自由边界条件
(1) 比较静力情形:
(2) 假设条件: Euler梁理论 忽略转动惯量影响
EI
d
4u ( x )
dx4
=
P
(
x)
P(
x,
t
)
=
P
(
x
)
−
m
(
x
)
∂
2u (
∂t
x,
2
t
)
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§6.1.5 考虑阻尼影响的梁的振动方程
结构动力学 第六章 分布参数体系
∂x 4
t
)
=
P
(
x,
t
)
运动方程:
m(x)
∂2u ( x,t)
∂t 2
+
∂2 ∂x2
⎡ ⎢ EI ⎣
(x)
∂2u ( x,t)⎤
∂x2
⎥ ⎦
=
P ( x, t )
Euler梁动力平衡方程:
∂2 ∂x2
⎡ ⎢ EI ⎣
(x)
∂2u ( x,t)⎤
∂x2
⎥ ⎦
=
P ( x,t)
−
m(x)
∂2u ( x,t)
=n
Mn
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§6.4.2 振型叠加法
具有分布质量无阻尼梁的横向振动运动方程:
m(
x)
∂2u ∂t2
+
∂2 ∂x2
⎡ ⎢EI ⎣
(
x)
∂2u ∂x2
⎤ ⎥ ⎦
=
P(
x,t
)
采用振型广义坐标:
∑ ∑ ∞
m(
m=1
x)φm
(
x)
qm
(t
)
+
∞ m=1
d2 dx2
⎡ ⎢EI ⎣
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