专题09 数列中不等式恒成立问题【解析版】

第二章 数列与不等式

专题09 数列中不等式恒成立问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．

(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

【压轴典例】

例1.（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2

）记,n C n *=

∈N

证明：12+.n C C C n *++<∈N

【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】

(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧

⎪

⎨⨯+=+⎪⎩

，解得：102a d =⎧⎨

=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .

其前n 项和()()02212

n n n S n

n +-⨯=

=-.

则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：

()()()()2

1112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，

据此有：

()()()()()()()()2

222

121112121n n n n n

n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()

()22112121(1)(1)(1)(2)

n n n n n n b n n n n n n n n n +--++=

=++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：

2n C =

=<=<=，

则(

)(

)

(

)

122

102

212

12n C C C n n n ++

+<-+-+

+--=例2. （2018·浙江高考模拟）数列满足

，

，

……，

（1）求，，

，的值； （2）求与

之间的关系式

；

（3）求证： 【答案】（1），

，

，

；（2）

；（3）详见解析.

【解析】 （1）

，

，

， ；

（2）

！

；

（3）证明：由（2）可知，

所以

. 所以

时不等式成立，而

时不等式显然成立，所以原命题成立.

例3.（2019·河南高考模拟（理））已知数列

}{n

b 的前n 项和为n

S

，

2

n n S b +=，等差数列

}{n

a 满足

123

b a =，

157

b a +=

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b +++

+<.

【答案】（Ⅰ）1n a n =+,1

12n n b -⎛⎫= ⎪

⎝⎭

；（Ⅱ）详见解析.

【解析】 （Ⅰ）

2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=

当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：11

2

n n b b -=

∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 1

12n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭

设等差数列{}n a 的公差为d

123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：12

1a d =⎧⎨=⎩

()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+

（Ⅱ）证明：设()2

12231111231222n

n n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()2

3

1

11112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

两式相减可得：

()()231

1

1111111111421111122222212

n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-1

33

22n n ++=- 3

32

n n n T +=-

即122313

32

n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-

3

02n

n +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 例4.（2016高考浙江理）设数列{}n a 满足1

12

n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1

1

2

2n n a a

-≥-，n *∈N ；

（II ）若32n

n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *

∈N ．

【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】 （I ）由112n n a a +-

≤得11

12

n n a a +-≤，故 111222

n n n n n a a ++-≤，n *

∈N ， 所以

1122311

122312222222

2n

n n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-

=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111222

n -≤

++⋅⋅⋅+ 1<，

因此

()1122n n a a -≥-．