分式化简的技巧

比例的性质：

⑴ 比例的基本性质：

a c

ad bc b d

=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇒=⎨⎪

⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d

b d a c

=⇒=

⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd

b d b d

±±=⇒=

（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a

b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠）

基本运算

分式的乘法：a c a c

b d b d

⋅⋅=⋅

分式的除法：a c a d a d

b d b

c b c ⋅÷=⨯=⋅

乘方：()n n

n n

n a a a

a a a

a a

b b b

b b b

b b ⋅=⋅

=⋅个

个

n 个

＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：

⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1

n n a a

-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数

知识点睛

分式化简的技巧

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

a b a b

c c c

+±=

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

一、基本运算

【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵234

2

()()()b a b a b a

-⋅-÷- ⑶32231

(4)()2

mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++

【巩固】 化简22

x y y x y x

---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +

【巩固】 计算a b a b

b a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭

的结果为（ ）

A ．a b b -

B ．a b b +

C ．a b

a

-

D ．

a b

a

+

【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵2222

262

1616x x x x x

+-++--

【巩固】 化简：422423216424

(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+

例题精讲

【巩固】 化简：2222222

2112

()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦

【例3】 化简：222222

222222

()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------++

+-+-+-

【例4】 已知：22

21()111

a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =

【巩固】 当1

2x =-时，求代数式2222

6124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭

的值

【巩固】 求代数式()()2

2

2

22222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，2

3

c =-

【例5】 计算：2482112482111111n

n

x x x x x x

++++++-+++++(n 为自然数)

【巩固】 已知24816

124816

()11111f x x x x x x

=+++++++++，求(2)f .

二、整体代入运算

【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n

．

【巩固】 已知：3

4

x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷

-+-的值

【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求x

y

的值.

【例7】 已知分式1x y

xy

+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什

么关系？

【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342

()

x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为 1，求该代数式

当1-=x 时的值．

【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy y

x xy y

++-+的值.

【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求11

11

x y y x +++++的值.

【巩固】 已知3a b

a b

-=+，求代数式

2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.

【例9】 已知111m n -=，求575232m mn n

n mn m

+---的值.