数格点_算面积
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第9篇 趣味方格
--格点与面积
主讲人：
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了 格点与面积存在着一 种非常有趣的关系。如果格点多边形 的面积为 S，内部格点数为 N，边上的 格点数为 L，那么他们之间存在如下关 系：S=1/2L+N-1. 该公式被称为 “皮克 定理”。
②用拼割方法得：ABCD的面积=长方形的面积-四角上的四个
三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5
(面积单位)
H
B
G
A
E
D
F
2、下图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗” 多占的面积是几？
解：图形内部格点数 为59，图形周界上格 点数为 19。所以图形 的面积为： 59+19÷2-1=67.5( 面 积单位)。
3、下图中的正方形被分成 9个相同的小正方形，它们一共 有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线 上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这三角形中，与 阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
解：①设每个小正方形的边长为 1个长度单位，则阴影三角形面积为： 2×3÷2=3(面积单位)。
③与阴影三角形面积 相同的三角形有： 8+8+8+8+8+8=48(个)。
请把自己的 想法说给同 学听听。
Ⅰ Ⅳ ⅡⅢ
如右图将图形分割成
4块进行计算
解：把图形分割成如下图所示的四块：
图形Ⅰ的面积是：3；图形Ⅱ的面积是：3；
图形Ⅲ的面积是：3；图形Ⅳ的面积是：9。
∴图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。
试一试：
如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？
（ 4 ） 15
（ 5 ）12
（ 6 ） 18
第（ 4）图是平行四边形，底是 5，高是 3，所以面积是 5×3=15（面积单位）。
第（5）图是直角梯形，上底是 3，下底是 5，高是 3，所 以面积是(3+5)×3÷2=12（面积单位）。
第（6）图是梯形，上底是 3，下底是 6，高是4，所 以面积是(3+6)×4÷2=18（面积单位）。
A
E
解：因为不是凸四边形，所
以如在原题图上取格点，则
三角形及四边形都是凸的图
形，故： S ABCD ? (4+6÷2-
1)+(21+8 ÷2-1)=30( 面积单
C
位)
B
D
试一试：
下图中每个小正方形的面积都是 4平方厘米，求图
中阴影部分面积。
格点中的图形分别为 凸多边形和凹多边形 要设法转化为凸多边 形并利用公式计算。Leabharlann Baidu
“向”。（1）小虫爬过2厘米，可有以下 6种路线，分别是：左，右；右， 左；上，下；下，上；左，左；右，右。（以上前 4种路线均回到 O点）。
（2）小虫爬过 3厘米，可有 20种路线，
分别是：上，左，下；上，右，下；下，
左，上；下，右，上；上，下，左；上，
下，右；下，上，左；下，上，右。
（以上 8种都是先“上”或先“下”。）
2
2
巩固拓展：
如下图，计算下列各个格点多边形的面积。
（1） 16
（2） 15
（3） 10
解：第（ 1）图是正方形，边长是 4，所以面积是 4×4=16 （面积单位）
第（2）图是矩形，长是 5，宽是3，所以面积是 5×3=15 （面积单位）
第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是 5×4÷2=10（面积单位）
底为2，高为3 4×2=8(个)
底为2，高为3 4×2=8(个)
底为3，高为2 4×2=8(个)
底为3，高为2 底为2，高为3 底为3，高为2 4×2=8(个） 2×2×2=8（个） 2×2×2=8（个）
第三层：图形的分割
自主探索：
如右下图，一个小三角形的面积为 1，则图形 ABCD的面积 是多少？
要学会将一些不规则 图形进行合理分割后 计算
解：把图形分割成如下图所示的三块： 图形Ⅰ的面积是：12； 图形Ⅱ的面积是：4； 图形Ⅲ的面积是：6。 所以图形ABCDE的面积为12+4+6=22。
巩固拓展：
1、求下列各格点多边形的面积（每相邻三个点 ∵ 或“∴” 成面积为1的等边三角形）。
（1）
（2）
3、方格纸（图）上有一只小虫，从直线 AB上的一点O出发， 沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为一厘 米。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。 如果小虫一共爬行2厘米，那么小虫的爬行路线有几种？如果 小虫一共爬行3厘米，那么小虫爬行的路线有几种？
6，20解：为了方便，下面叙述中省去“上、下、左、右” 4个字前面的
解：把图形分割四个三角 形和一个正方形，所以图 形的面积为：
4 ? 4 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 48（ 平 方 厘 米 ） 2
巩固拓展：
1、在一个 9×6的长方形内，有一个凸四边形（如图），先 用毕克定理先求出它的面积，再用拼割方法计算它的面积， 看两者是否一致。
解：①由毕克定理得：25+72-1=27.5(面积单位)。
☆“ 皮克定理 ”被誉为有史以来“ 最重要 100个数 学定理”之一。
第一层：皮克定理
自主探索：
下面多边形的面积是多少 (面积单位）？
S ? n? m ?1 2
数一数，图形内部有几 个点（ n）？图形边界 上有几个点（m）？
解：由格点图形面积公式 S ? n ? m ?,得1 S ? 35 ? 13 ? 1 ? 40.5
（1）19 解：由三角形格点面积公式得， n=8，m=5。
O
如果第一步为“左”或“右”，那么转 A
B
化为第（ 1）题，各有 6种路线。一共是
8+6×2=20（种）。
S ABCD
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个 10×10的正方形，求正方形内的四
边形的面积是多少？
因为ABCD不是凸四边形，所以
请把自己的想 法说给同学听 听。
如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。
2、求下列各多边形的面积，并统计图形边上格点数及 图形内包含的格点数。
(1)
(2)
（1）15解：此题不能直接由公式来求，因为这个多边形不是
凸多边形
=15
（2）20解：由格点面积公式，得：∵n=16，m=10，∴
(3)
(4)
（3）14解：由格点面积公式，得：∵n=12，m=6，∴
（4）17解：由格点面积公式，得：∵n=13，m=10，∴
--格点与面积
主讲人：
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了 格点与面积存在着一 种非常有趣的关系。如果格点多边形 的面积为 S，内部格点数为 N，边上的 格点数为 L，那么他们之间存在如下关 系：S=1/2L+N-1. 该公式被称为 “皮克 定理”。
②用拼割方法得：ABCD的面积=长方形的面积-四角上的四个
三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5
(面积单位)
H
B
G
A
E
D
F
2、下图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗” 多占的面积是几？
解：图形内部格点数 为59，图形周界上格 点数为 19。所以图形 的面积为： 59+19÷2-1=67.5( 面 积单位)。
3、下图中的正方形被分成 9个相同的小正方形，它们一共 有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线 上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这三角形中，与 阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
解：①设每个小正方形的边长为 1个长度单位，则阴影三角形面积为： 2×3÷2=3(面积单位)。
③与阴影三角形面积 相同的三角形有： 8+8+8+8+8+8=48(个)。
请把自己的 想法说给同 学听听。
Ⅰ Ⅳ ⅡⅢ
如右图将图形分割成
4块进行计算
解：把图形分割成如下图所示的四块：
图形Ⅰ的面积是：3；图形Ⅱ的面积是：3；
图形Ⅲ的面积是：3；图形Ⅳ的面积是：9。
∴图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。
试一试：
如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？
（ 4 ） 15
（ 5 ）12
（ 6 ） 18
第（ 4）图是平行四边形，底是 5，高是 3，所以面积是 5×3=15（面积单位）。
第（5）图是直角梯形，上底是 3，下底是 5，高是 3，所 以面积是(3+5)×3÷2=12（面积单位）。
第（6）图是梯形，上底是 3，下底是 6，高是4，所 以面积是(3+6)×4÷2=18（面积单位）。
A
E
解：因为不是凸四边形，所
以如在原题图上取格点，则
三角形及四边形都是凸的图
形，故： S ABCD ? (4+6÷2-
1)+(21+8 ÷2-1)=30( 面积单
C
位)
B
D
试一试：
下图中每个小正方形的面积都是 4平方厘米，求图
中阴影部分面积。
格点中的图形分别为 凸多边形和凹多边形 要设法转化为凸多边 形并利用公式计算。Leabharlann Baidu
“向”。（1）小虫爬过2厘米，可有以下 6种路线，分别是：左，右；右， 左；上，下；下，上；左，左；右，右。（以上前 4种路线均回到 O点）。
（2）小虫爬过 3厘米，可有 20种路线，
分别是：上，左，下；上，右，下；下，
左，上；下，右，上；上，下，左；上，
下，右；下，上，左；下，上，右。
（以上 8种都是先“上”或先“下”。）
2
2
巩固拓展：
如下图，计算下列各个格点多边形的面积。
（1） 16
（2） 15
（3） 10
解：第（ 1）图是正方形，边长是 4，所以面积是 4×4=16 （面积单位）
第（2）图是矩形，长是 5，宽是3，所以面积是 5×3=15 （面积单位）
第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是 5×4÷2=10（面积单位）
底为2，高为3 4×2=8(个)
底为2，高为3 4×2=8(个)
底为3，高为2 4×2=8(个)
底为3，高为2 底为2，高为3 底为3，高为2 4×2=8(个） 2×2×2=8（个） 2×2×2=8（个）
第三层：图形的分割
自主探索：
如右下图，一个小三角形的面积为 1，则图形 ABCD的面积 是多少？
要学会将一些不规则 图形进行合理分割后 计算
解：把图形分割成如下图所示的三块： 图形Ⅰ的面积是：12； 图形Ⅱ的面积是：4； 图形Ⅲ的面积是：6。 所以图形ABCDE的面积为12+4+6=22。
巩固拓展：
1、求下列各格点多边形的面积（每相邻三个点 ∵ 或“∴” 成面积为1的等边三角形）。
（1）
（2）
3、方格纸（图）上有一只小虫，从直线 AB上的一点O出发， 沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为一厘 米。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。 如果小虫一共爬行2厘米，那么小虫的爬行路线有几种？如果 小虫一共爬行3厘米，那么小虫爬行的路线有几种？
6，20解：为了方便，下面叙述中省去“上、下、左、右” 4个字前面的
解：把图形分割四个三角 形和一个正方形，所以图 形的面积为：
4 ? 4 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 48（ 平 方 厘 米 ） 2
巩固拓展：
1、在一个 9×6的长方形内，有一个凸四边形（如图），先 用毕克定理先求出它的面积，再用拼割方法计算它的面积， 看两者是否一致。
解：①由毕克定理得：25+72-1=27.5(面积单位)。
☆“ 皮克定理 ”被誉为有史以来“ 最重要 100个数 学定理”之一。
第一层：皮克定理
自主探索：
下面多边形的面积是多少 (面积单位）？
S ? n? m ?1 2
数一数，图形内部有几 个点（ n）？图形边界 上有几个点（m）？
解：由格点图形面积公式 S ? n ? m ?,得1 S ? 35 ? 13 ? 1 ? 40.5
（1）19 解：由三角形格点面积公式得， n=8，m=5。
O
如果第一步为“左”或“右”，那么转 A
B
化为第（ 1）题，各有 6种路线。一共是
8+6×2=20（种）。
S ABCD
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个 10×10的正方形，求正方形内的四
边形的面积是多少？
因为ABCD不是凸四边形，所以
请把自己的想 法说给同学听 听。
如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。
2、求下列各多边形的面积，并统计图形边上格点数及 图形内包含的格点数。
(1)
(2)
（1）15解：此题不能直接由公式来求，因为这个多边形不是
凸多边形
=15
（2）20解：由格点面积公式，得：∵n=16，m=10，∴
(3)
(4)
（3）14解：由格点面积公式，得：∵n=12，m=6，∴
（4）17解：由格点面积公式，得：∵n=13，m=10，∴