高数-微分方程总结解析

复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
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推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
y0
x0 P( x, y0 )d x,
通解为 u( x, y) C .
用直接凑全微分的方法.
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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解． (2) F ( x, y(n1) , y(n) ) 0 型 特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 F( x, P( x), P( x)) 0.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
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二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
（常数变易法） 伯努利(Bernoulli)方程
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
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解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1n ,
y1n z
e (1n)P( x)dx ( Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
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y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭
复根 i
[(C0 C1x Ck1xk1)cos x (D0 D1x Dk1xk1)sin x]ex
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６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
解法 作变量代换 u y x
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(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
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非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法
待定系数法
作变换 非 非 变全 量微 可分 分方 离程
2
1、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
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(3) F( y, y, y) 0 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y P( x), y P dp , dy
代入原方程, 得
F ( y, P, P dp) 0. dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
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定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
(
y
x sin
y sin x
y cos
y
x y
),
xx x
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令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.全微分方程 5.线性方程 6.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
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微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
(2)
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定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
而
y1*
与
y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
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５、二阶常系数齐次线性方程解法 形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
(4) 全微分方程
形如 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
其中 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
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注意： 全微分方程 P Q y x
解法
x
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u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
y
x
Q( x, y)dy