勾股定理在折叠问题中的应用(讲义及答案).

勾股定理在折叠问题中的应用（讲义）

课前预习

1.观察图形，回顾轴对称的性质：

（1）全等变换：对应边________，对应角_________；

（2）对应点所连的线段被对称轴_____________．

2.如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落

在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，则∠C的度数为（）

A．38°B．39°C．40°D．41°

3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，点

D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处．设DE的长为x，则CD=__________，BD=_________．（用含x的代数式表示）

知识点睛

1.轴对称（折叠）的思考层次

（1）全等变换：对应边_______、对应角_______．

（2）对应点与对称轴：

①对应点所连线段_____________________；

②对称轴上的点_______________________．

（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．（4）作图：

核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形．

特征举例：

①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线；

②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上．

精讲精练

1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处，则线段CD的长为__________．

第1题图第2题图

2.如图，在长方形ABCD中，AB=5cm，在DC上存在一点E，

将△AED沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为30cm2，则EF的长为_______．

3.如图，在长方形ABCD中，点E在AB边上，将长方形ABCD

沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处．若AE=5，BF=3，则CF的长为_______．

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，将△ABC

折叠，使点B与点A重合，折痕分别交AB，BC于点D，E，则BE=__________，DE=__________．

第4题图第5题图

5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN

折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A'．若B'C=3，则AM的长为__________．

6.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点

E处，压平后得到折痕MN，若AB=2，BC=4，则AM=______．

第6题图第7题图

7.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=5，现将该长方形沿

BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则AE的长为________．

8.如图，在长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且

AE=9cm，连接EC，将长方形ABCD沿直线BE翻折，点A 恰好落在EC上的点A'处，则A'C=_________．

9.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，

使点D与点B重合，折痕为EF，则EF的长为_________．

第9题图第10题图

10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC沿直

线l翻折，点A落在边BC的中点D处，直线l与边AC交于点E，则AE的长为_________．

11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在线

段AC上．若将△PBC沿PB折叠，使点C的对应点C′落在AB边上，则BP的长为_________．

第11题图第12题图

12.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC上一

点，BE=5，点F是射线BA上一动点，连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长为_________．

13.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，

连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△B′CE 为直角三角形时，BE的长为_________．

【参考答案】

课前预习

1.（1）相等，相等；（2）垂直平分.

2.D

3.x，8x

知识点睛

1.（1）相等、相等

（2）①被对称轴垂直平分；

②到对应点的距离相等

（3）等腰

（4）对称轴，对应点

精讲精练

1.3cm

2.13cm

5

3.12

4.5

2，5 2

5.2

6.13

8

7.8

5

8.8cm

9.10

10.5

4

11.810

3

12.2545215

或或

13.3

2或3