固体中声波传播的基本特性

解上列方程组得： xx yy
xx
yy
2(
)
zz
泊松比： xx yy zz zz 2( )
3）、体积弹性模量 K 弹性体在周围压力作用下，产生体积变化。周围
压力与体应变之比。
Txx＝Tyy=Tzz=-p Txy＝Tyz=Tzx=0
体积 V
体积 V'
根据问题条件， 可得下列三方程：
弹性介质的弹性系数与位置、方向无关。 弹性介质在外力作用下，产生形变。外力取 消后，弹性体恢复受力前的状态。 应力与应变存在线性关系。
2）、均匀各向同性完全线弹性体的应力－应变关系
Tii 2ii Tjj jj
4－1－9
、为拉梅常数。 Tii、 正应力;ii -正应变（i 1, 2, 3) Tjj、 切应力; jj -切应变（j 4, 5, 6)
的，但沿平面法线方向的弹性与其不同。如 具有明显层理结构的页岩，沿层理方向物性 是均匀的，而在垂直层理方向上变化。
弹性系数矩阵特点：弹性系数矩阵中，存在 5个独立的 弹性系数。
VTI
c11 c12 c13 0 0 0
c12 c11 c13 0
0
0
C c13
0
c13 0
c33 0
0 c44
0 0
A点的位移函数：
u(x, y, z,t) i j k 其中 ,, 为位移的三个坐标分量，
均为(x,y,z,t)的函数。
C点的位移函数为： u(x dx, y dy, z dz,t)
其位移分量：＋d , d, d
其中：
d dx dy dz
x y z
d dx dy dz
二、固体中的应力分析 1、应力 应力：弹性体在外力作用下，产生形变。在弹性 体内部产生的抵抗其形变的内力。 应力性质：大小与外力相等，方向与外力相反。 单位:牛顿/平方米。 2、应力分类
正应力：应力方向与受力面的法线方向一致。 切应力：应力方向与受力面的法线方向垂直。
3、应力矩阵
Txx Txy Txz T Tyx Tyy Tyz
2、弹性应变。使物体形状和体积发生变化的运动。
3、旋转。质点围绕参考点M的旋转运动，不改变物体形状 和体积，不属于弹性应变范畴。
d
xxdx
1 2
xydy
1 2
xz
dz
ydz
zdy
d
பைடு நூலகம்
1 2
yx dx
yy dy
1 2
yz dz
z dx
xdz
d
1 2
zx
dx
1 2
zy
dy
zz
dz
x
dy
y
dx
第一节 固体的基本弹性性质
一、固体中的应变分析 物体在外力作用下，其形状和体积发生改变。
对弹性体而言，这种形变称为弹性应变。 对于连续弹性体，形变过程中质点位移是质点
位置和时间的连续函数。
1、位移函数
u(x, y, z,t) i j k 其中 ,, 为位移的三个坐标分量，
均为(x,y,z,t)的函数。
xy
yx
y
x
yz
zy
z
y
xz
zx
z
x
4－1－3
4、弹性体的体积应变
xx yy zz • u
4－1－4
弹性体的旋转，反映质点围绕参考点的旋转 运动。不使物体形状和体积发生改变，不属于弹 性应变范畴。
x
1 (
2 y
z
);
y
1 (
2 z
x
)
z
1 (
2 x
)
y
4－1－5
在外力作用下，弹性体质点位移由三部分组成： 1、平动。质点与参考点一起作同样的运动，它不使物体形状 改变。
Tzz
根据问题条件， 可得下列三方程：
0 2 xx 0 2 yy Tzz 2 zz
其中：
xx yy zz
解之得：
zz
(3 2)
Tzz
则：
E Tzz (3 2)
zz
2）、泊松比 弹性体在单一正应力作用下，自由方向上的线应
变与受力方向的线应变比值的负值。（0，0.5）
0
0
0
0
0
0
c44
0
0 0 0 0 0 c66
其中:
c66
1 2
(c11
c12 )
各向异性系数
C11 C33
2C33 C66 C44
2C44
(C13 C44 )2 (C33 C44 )2
2C33 (C33 C44 )
引自 GEOPHYSIC‘S. VOL. 51. NO. IO (OCTOBER 1986); P. 1954--1966, 5 FIGS.. I TABLE
分量的线性组合；或应变分量为应力分量的线性组
合。
T C 4－1－8
61
66 61
Tij、
－分别为应力分量和应变分量；
ij
cij 弹性系数，取决于介质的弹性性质。
其中弹性系数矩阵为对称矩阵。对于均匀、各 向同性线弹性介质，只有两个独立的弹性参数。
2、均匀各向同性完全线弹性体的应力－应变关系 1）、均匀各向同性完全线弹性体
Tzx Tzy Tzz
4－1－7
上述矩阵为对称矩阵。其中，主对角线 上的三个元素代表沿三个坐标方向的正应力； 其它元素代表作用在受力体积元六个受力面 上的切应力。
Tij---i—受力面法线方向；j－作用力方向。
三、广义胡克定律
1、广义胡克定律
弹性体在外力作用下，产生的形变与应力大小
有关。应变与应力存在线性关系。应力分量为应变
x y z
d dx dy dz
x y z
4－1－1
2、线应变
定义：弹性体沿三个坐标方向的线（正）应变 (linear strain)为(4-1-2)式，反映物体体积的变 化。
xx
x
yy
y
zz
z
4－1－2
3、切应变
弹性体在三个平面内的角应变（切应变shear deformation）为（4－1－3）。反映弹性体的扭 转或体积元侧面角错动。
由胡克定律看出： 正应力只与正应变有关，切应力只与切应变有
关。
弹性体的剪切模量越大，在相同切应力作 用下，产生的切应变越小。
在切应力作用下，弹性体仅改变形状，体 积未发生变化。
3、均匀、各向同性完全线弹性体的弹性参数 1）、杨氏模量E
弹性体在单一正应力作用下，正应力与受力方向 的正应变的比值。
Txx 、Tyy、 Txy、Txz、Tyz均为零。 Tzz
Txx 2 xx Tyy 2 yy Tzz 2 zz
其中：
xx yy zz
解之得：
(3
3
2
)
Tzz
3p
(3 2)
则：
K p 2
3
弹性体的杨氏模量、泊松比、体积弹性 模量与拉梅常数的关系如下：
E (3 2) ;
; 2( )
K 2
3
4－1－10
4、横向均匀各向同性介质的广义胡克定律 介质特点：其弹性性质在一个平面上是相同