《概率论与数理统计》习题二答案解析

《概率论与数理统计》习题及答案

习题

2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 X 的

分布律.

2.设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示

取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图；

（3）

1

3 3

P{X <—}, P{1 c X <—}, P{1

2 2

2

【解】

X =0,1,2.

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，

球中的最大号码，写出随机变量 【解】

X =3,4,5 1 P(X =3) C ；

P(X =4)=|3

C

5

c 2

P(X =5)卡

C

5

= 0.1 = 0.3 = 0.6

P{1 cX C2}.

P(X

P(X P(X

0) C 133

C

15

1) C 2C 2

3

T 一 C 135

=2)=企=丄 ^22 35 _ 12 "35

C 15 35

x>3

P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.896

(2)当 x<0 时,

F (x ) =P (X w x ) =0

当 0 w x<1 时, F (x )

22

当 1 w x<2 时, F (x ) =P (X w x ) =P(X=0)=

35

34 =P (X w x ) =P(X=0)+ P(X=1)= = 35

当x >2时，F 故X 的分布函数

(X )=P (X w x ) =1

0, 22

X v 0

135 ' F(x) =*35

34

35,

1,

12

兰 2)=F (1)=2|,

2 2 35

3 3 3

4 34

P (1cX <：) = F(：)-F(1) =晶一；；^=0

2 2 35 35

3 3 12

P(1 < X < —) = P(X =1) + P(1 c X < —)= —

2 2 35

34

1

P(1 c X <2) =F(2) -F(1)-P(X =2) =1-—一一 =0.

P(X 3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的

分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率.

【解】

设X 表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.

P( X =0) =(0.2)3

=0.008

1 2 P (X =1) = C 3

O.8(O.2) =0.096 P (X =2)=C 3(0.8)20.2 = 0.384 P( X =3) =(0.8)3

=0.512

故X 的分布律为 X P

分布函数

0 0.008

1 0.096

2 0.384

3 0.512

0,

0.008, F(x) =<0.104,

0.488, X <0 0

(2)由分布律的性质知

N

1=2 P(X=k)=送—=a k=3 k=1 N

即

a=1.

5.

甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次，

求：

(1) 两人投中次数相等的概率； (2)

甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，贝y X~b (3，0.6) Y~b(3,0.7)

(1) P(X =Y) =P( X =0, Y =0) + P(X =1,Y =1) + P(X =2 ,Y = 2) +

P(X =3, Y =3)

3

3

1

2

1

2

= (0.4) (0.3) + C 30.6(0.4) C 30.7(0.3) +

2 2 2 2

3 3

C 3(0.6) 0.4C 3(0.7) 0.3+(0.6) (0.7)

= 0.32076

(2) P(X A Y) =P(X =1,Y =0) + P(X =2,Y =0) + P(X =3,Y = 0) +

P(X =2,Y =1) + P(X =3, Y=1) + P( X =3 ,Y=2) 1 2 3 2 2 3

= C 30.6(0.4) (0.3) + C 3(0.6) 0.4(0.3) +

(0.6)3

(0.3)3

+C 2

(0.6)2

0.4C ；0.7(0.3)2 +

(0.6)3

C 1

0.7(0.3)^(0.6)3

C 2

(0.7)2

0.3

=0.243

4. (1)设随机变量X 的分布律为

k

A

P {X=k}= a ——,

k!

其中k=0, 1, 2,…，入＞0为常数，试确定常数 a.

(2)设随机变量X 的分布律为

P{ X=k}= a/N ,

k=1, 2,…，N ,

试确定常数a.

【解】(1)由分布律的性质知

□c =Z P(X

kz0

□c - k

=k 2a S?k r a L'