高考数学 题型全归纳 正余弦定理常见解题类型典型例题

正余弦定理常见解题类型

解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

例1 已知在ABC △中，452A a c ∠===o ，，

解：由余弦定理得

22cos 454b +-=o ，

从而有1b =±．

又222222cos b b C =+-⨯， 得1cos 2C =±，60C ∠=o 或120C ∠=o ．

75B ∴∠=o 或15B ∠=o ．

因此，1b =+，60C ∠=o ，75B ∠=o

或1b =-，120C ∠=o ，15B ∠=o ．

注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．

判断三角形的形状

利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：

A B C ++=π；利用余弦定理公式222222

cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，，

222

cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．

在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径，

可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，

sin sin 0B C ≠∵，

sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=．

90B C ∴+=o ，即90A =o ，故ABC △为直角三角形．

求三角形中边或角的范围

在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c

b 的取值范围．

解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠．

04B π∴<∠<．可得210sin 2B <<． 又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵，

2134sin 3B ∴<-<．故13c b <<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．

三角形中的恒等式证明

根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式．

在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：

2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵， 222222

22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=⨯-===． 又

222222()cos 222b c a b c bc b c b A bc bc b +-+-+-===∵， cos cos 2A B ∴=，而A B ，是三角形内角，2A B ∴=．

一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．