概率论 第三章复习课

或称为随机变量X 和Y的联合概率密度
12 April 2018
第三章 多维随机变量及其分布
第8页
概率密度f ( x, y)具有以下性质：
（ 1 ） f ( x, y ) 0 （2）





f ( x, y)dxdy 1
（ , X , Y）落在G内的概率为 （3） 设G是平面xoy上的区域
Y也是一个连续型随机变量, 其概率密度
fY ( y )

f ( x, y )dx
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第三章 多维随机变量及其分布
第14页
例 把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设
X , Y分别表示投入第1,2个邮筒内信的数目, 求( X , Y ) 的分布律及边缘分布率。 X , Y各自的取值为0,1,2由题设， ( X , Y )取(1,2), (2,1), (2,2) 解： 均不可能，因而相应的概率均为0 再由古典概率计算得 ：
即
pij pi. p. j , i 1,2,, j 1,2,,
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第三章 多维随机变量及其分布
第20页
五、 两个随机变量的函数的分布
（一）Z X Y的分布
设二维随机变量( X , Y )的分布律为
P{ X xi , Y yi } pij
i 1,2,
2e (2 x y ) , x 0 , y 0 f ( x, y ) 0 , 其它
y x
试求:(1)分布函数F ( x, y) (2)P{X Y }
解： （ 1 ） F ( x, y) f ( x, y)dxdy
y x 2e (2 x y ) dxdy , x 0, y 0 0 0 0 , 其它. (1 e2 x )(1 e y ), x 0, y 0 F ( x, y) 0 , 其它.
o
x
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第三章 多维随机变量及其分布
第4页
这时, 点( X , Y )落入任一矩形
G {( x, y) x1 x x2 , y1 y y2 }
的概率,即可由概率的加法性质求得(如下图)
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ).
j 1


Y的分布律为P{Y y j } pi j，记为 P{Y y j } p j j 1, 2,
i 1
分别称 piቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (i 1, 2,
) p j ( j 1, 2,
)
为( X , Y )关于X和关于Y的边缘分布律。
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
第15页
所有计算结果列表如下 ：
( X,Y )关于Y
的边缘分布律
( X,Y )关于X
的边缘分布律
X 和Y的边缘分布律可由( X , Y )的分布律确定
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第三章 多维随机变量及其分布
第16页
例 设二维随机变量( X , Y )在区域
第13页
对于连续型随机变量设( X , Y )的概率密度为f ( x, y), 于是
FX ( x) F ( x, )
f X ( x)

x


f ( x, y)dydx
则X是一个连续型随机变量, 其概率密度
f ( x, y )dy
称 f X ( x)为( X , Y ) 关于X 的边缘概率分布 称 fY ( x)为( X , Y ) 关于Y的边缘概率分布
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xi x y j y
第三章 多维随机变量及其分布
第7页
设二维随机变量( X , Y )的分布函数是F ( X , Y ), 如果存在
非负的函数f ( x, y), 使得对于任意的x, y有
F ( x, y)
y


x
f (u, v)dudv
则称( X , Y )是连续型二维随机变量 函数f ( x, y)称为二维随机变量( X , Y )的概率密度
G {( x, y) | 0 x 1, x 2 y x}
上服从均匀分布，求边缘概率密度f X ( x)，fY ( y)
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第三章 多维随机变量及其分布
第17页
不难得到( X , Y )的概率密度 解：
6, f ( x, y ) 0, 0 x 1, x 2 y x, 其它.
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第三章 多维随机变量及其分布
第12页
设离散型随机变量( X , Y )的分布率为pij , 则有
FX ( x) F ( x, ) pi j
xi x j 1
(i 1,2,, j 1,2,)
X的分布律为P{ X xi } pi j , 记为 P{ X xi } pi i 1, 2,
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第三章 多维随机变量及其分布
第5页
如果二维随机变量( X , Y )可能取的值( xi , yi )只有有限对
或可列无限对, 则称( X , Y )是二维离散型随机变量。
记 P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1 , 2,
并称为二维离散型随机变量( X , Y )的分布律 或称为随机变量X 和Y的 联合分布律
变量X和Y的联合分布函数。
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第三章 多维随机变量及其分布
第3页
若将二维随机变量( X , Y )看成是平面上随机点( X , Y )的 的坐标, 则分布函数F ( x, y)就表示随机点( X , Y )落在以点 ( x, y)为顶点的左下方的无限矩形域内的概率。
y (x,y)



xf ( x, y)dxdy
E (Y ) yf Y ( y)dy
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j
i
第三章 多维随机变量及其分布
第21页
六、二维随机变量的数学期望
定义二维随机变量( X , Y )数学期望为E( X , Y ) ( EX , EY )
设二维随机变量( X , Y )的联合分布律为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2
即有
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第三章 多维随机变量及其分布
第10页
（2） 把位于XOY 平面的直线y x上方的区域记为G
于是 P{ X Y } P{( x, y) G} f ( x, y)dxdy

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0

x
2e
(2 x y )
则
x 2 x 2 6dy 6( x x ), 0 x 1, f X ( x) f ( x, y )dy 其它. 0,
y y 6dx 6( y y ), 0 y 1 f Y ( y ) f ( x, y )dx 其它. 0,
j 1,2,
若Z X Y 则z k xi y j
由上式及概率的加法公式，有
P{Z z k } P{ X xi , Y y j }
P{ X xi , Y z k xi }
i
j
或者 P{Z z k } P{ X z k y j , Y y j }
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
• 本章重点：二维随机变量的概念；二维随机变量 函数分布的计算；随机变量独立性及条件分布的 概念及计算；二维随机变量数字特征及运算； 考试要求： • 1、理解并掌握二维随机变量的概念能熟练掌握 联合分布、边际分布、独立性概念及计算. • 2、掌握多维随机变量函数分布(和的分布及最大 小值分布）的计算方法. • 3、能熟练计算协方差、相关系数；能熟练掌握 随机变量的变换与可加性并能应用于基本的常见 12 April 2018 实际问题之中.
P{( X , Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
（4） 若f ( x, y)在点( x, y)连续，则有
2 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
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第三章 多维随机变量及其分布
第9页
2
设二维随机变量( X , Y )具有概率密度
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
一、 二维随机变量
定义 设X , Y是定义在样本空间上的两个随机变量,
则( X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量。
对于任意实数x, y,函数 F ( x, y) P{ X x , Y y}
称为二维随机变量( X , Y )的分布函数, 或称为随机
则
E ( X ) xi pi . xi pij E (Y ) y j p. j y j pij
i 1





i 1 j 1
i 1
i 1 j 1
设二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为f ( x, y)
E ( X ) xf X ( x)dx
2 dydx 3
G
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
二、 边缘分布
对于二维随机变量( X , Y ), 随机变量X 和Y 各自的 分布函数称为( X , Y )关于X 和Y的边缘分布函数 记为FX ( x), FY ( y) 若二维随机变量( X , Y )的分布函数F ( x, y)已知，则
所有x, y有
PX x, Y y PX xPY y
即 F ( x, y) FX ( x) FY ( y)
则称随机变量X和Y是相互独立的。
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第三章 多维随机变量及其分布
第19页
设( X , Y )是连续型随机变量, f ( x, y), f X ( x), f Y ( y)分别 为( X , Y )的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y的相互
独立条件等价于
f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)
在f ( x, y), f X ( x), fY ( y)的一切公共连续点上成立
设( X , Y )是离散型随机变量, X和Y相互独立的条件等价于
对于( X , Y )的所有可能取的值( xi , yi )
Px xi , y yi Px xi Py yi
虽然( X , Y )的联合分布是在G上服从均匀分布, 但是它们的边缘分布却不是均匀分布。
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第三章 多维随机变量及其分布
第18页
四、 随机变量的独立性
定义 设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变量 ( X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对
1 1 2 3 9 1 1 P{ X 0, Y 2} 2 3 9 P{ X 0, Y 0}
P{ X 0, Y 1} 2 2 2 3 9 2 2 P{ X 1, Y 1} 2 3 9
P{ X 1, Y 0}, P{ X 2, Y 0} 可由对称性求得
其中pij 满足下列条件：
（ 1 ）pij 0
pij 1 （2） i 1 j 1
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第三章 多维随机变量及其分布
第6页
离散型随机变量X和Y , 它们的联合分布律可用下表表示：
它们的联合分布函数则由下面式子求出：
F ( x , y ) pi j
FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, )
其中
F ( x, ) lim F ( x, y)
y
同理 FY ( y) F (, y)
F ( x, y) 其中 F (, y) lim x
故边缘分布函数FX ( x), FY ( y ) 可由( X , Y )的分布函数所确定