清华版组合数学(第二版)第二章习题答案

11. 解：

用归纳法可证明：1）当k=1时命题成立2）设当k=N 时命题成立

即N 可唯一表示成不同且不相邻的F 数之和。

则当k=N+1时，明显可以分成N 的序列再加上1（），但这可能会不能满足“不同且不相邻”的条件。下面予以讨论

2F 先讨论相邻的，明显若有，则可用代替。以此类推可解决相邻问题。

再讨论相同，可把超过1个的分解为再用结决相邻问题的方法即可解决

命题得证

i F i F 1+i F 2+i F i F i

F 1-i F 2-i F

12. 解：

设n 个满足条件的平面把空间分成个域

n-1个满足条件的平面把空间分成

个域则第n 个平面与这n-1个平面有n-1条交线，且这些两两相交，任三线不共点。

第n 个平面被这n-1条线分成个域增加了个域。可得

n a 1-n a 2

1n C +2

1n C +1

,2 ,1012

1==++=-a a C a a n n n 设⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛++=323210n A n A n A A a n 解得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧====1

1113210A A A A ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=321n n n a n

13. 解：

设符合条件的n 位二进制数的个数为这些数中一共有个0

当n 位二进制数最高位为1时,符合条件的

n 位二进制数的个数为最高位为0时，次高位必为1符合条件的n 位二进制数的个数为1-n h 2

-n h ,

1,3,2 ,02121===+=∴--h h h h h h n n n n h n a

33. 证明：

用数学归纳法I n=2时成立II 设n=k 时成立即⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛11120111⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛-+11

0111k k

k k k F F F F 由I 、II 知题设成立

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪

⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛++++++-++k k k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F F 112111111

01110111当n=k+1时