垂径定理课件PPT

C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37 .4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
·
E
A B
O
D
总结：
C
条件
结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
CD为⊙O的直径 CD⊥AB
.O
A
E D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
B
并且平分弦对的两条弧。
应用垂径定理的书写步骤

定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A
M└
B
(4)
(5)
弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间 的距离叫做弦心距
如图：圆O中，AB是圆O 中的一条弦，其中 OC⊥AB 圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a 表示，则d，r，a之间满 足什么样的关系呢？
2
A
O C B
a r d 2
2 2
2
垂径定理的应用

3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB ＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦心距，这 是一条非常重要的辅助 线。 弦心距、半径、半弦长 构成直角三角形，便将 问题转化为直角三角形 的问题。

B
M
A
P
O
再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 37.4 主桥拱的半径吗？
垂径定理的推论1:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？ CD⊥AB CD为直径 C ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC AE=BE CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD
D Ｏ Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
B
E A
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M O N C A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
AB
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt△AOE中
2 2
A
E
B
· O
AO OE AE
2
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中 点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
垂直于弦的直径 ———（垂径定理）
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
A C
O
D
B
变式4：隐去（变式1）中的大 圆，得右图，连接OC，OD， A 设OC=OD，AC、BD有什么关 系？为什么？
O
C
D
B
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
别忘记还有我哟！！
作业：
1、教材88页习题24.1
第 8题
；
2、教辅书48-51页
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
垂径定理的推论

如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
A
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题 ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
M└
●
B
O
D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 .
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
A C O D A C O B A C


O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
OEA 90

EAD 90

ODA 90
C E A

∴四边形ADOE为矩形， ∵ OE⊥AC OD⊥AB 1 1 ∴ AE AC，AD AB 2 2 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
又
·
O D B
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于 _______ 2 5cm
●
B
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
D
引申定理


定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过 圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变 式： 一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦 平分弦所对的劣 （优）弧
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
变式： 图中两圆为同心圆
O
变式1：AC与BD有什么关系？
A C D B
变式2：AC＝BD依然成立吗
A C M
O N D B
变式3：隐去（变式1）中的大圆，得 右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、 BD有什么关系？为什么？
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 O A E O A E O A
E
B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB
练习1
D
A
B
E O
A
O
C B
E
O
A A
E C
B C D
D
O E C B D A E D
O B A E
O
B C
Cห้องสมุดไป่ตู้
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！
小 结
１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径） => 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦=> 直径平分弧 =>
直径平分弦
直径垂直于弧所对的弦
直径平分弧所对的弦
M
E A
.O
小结:
B
A
C
. E
O
D
B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（X ）
思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
5cm 的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
C
A
C 4∟
O
·
3
B
8
A
D
12
O
B
(1)题
(2)题
方法归纳:
A
. O
B A C
O E
.
D
B
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。