二次函数--图像专题及答案解析

二次函数经典题
一、选择题
61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）
A ．abc>0
B ．3a +c ＜0
C ．4a+2b+c ＜0
D ．b 2 -4ac ＜0
62．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下
列说法：
①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）
~
A ．①②
B ．②③
C ．①②④
D ．②③④
63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）
A ．21y x x 4
B ．2y x x
C ．21y x x 4
D ．21y x x 4 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下
列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正
确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
?
65．如图，二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）
A ．a ＜0
B ．a ﹣b+c ＜0
C ．2b a
>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的
交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）
A 、0abc >
B 、0a b c -+<
C 、210a b ++>
D 、0a b +>
67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =
的图象 ：
①如果
21a a a
>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a
>>，那么a 1>； ③如果21a a a
>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a
>>时，那么a 1<-. 则（ ）
A. 正确的命题是①④
B. 错误．．
的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．
的命题只有③ -
68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：
①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0
其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式2
0ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
<
70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32
a
b ． 你认为其中正确信息的个数有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A ．图象关于直线1x =对称
B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4
C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大
…
D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根
72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x
-=-+是关于x 的反比例函数，则32
k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。

其中，正确的命题有（ ）个.
A 、0
B 、1
C 、2
D 、4
73．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,2)-和(1,0)，下列结论中：①0abc >；②20a b +<；③221(2)2
a c
b +
<④1a >；⑤32a c +<；其中正确的结论有（ ）个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
74．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③
3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ） ]
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
75．已知：二次函数24y x x a =--，下列说法中错误的个数是（ ）
①若图象与x 轴有交点，则4a ≤．
②若该抛物线的顶点在直线2y x =上，则a 的值为8-．
③当3a =-时，不等式240x x a -+>的解集是13x <<．
④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则1a =-． ⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为1x 、2x ，则当x 取12x x +时的函数值与x 取0时的函数值相等．
&
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
76．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为（1x ，0），
（2x ，0），且12x x <，图象上有一点M （00x y ，）在x 轴下方，则下列判断中正确的是（ ）．
A ．0a >
B ．2
40b ac -≥
C ．0102()()0a x x x x --<
D ．102x x x <<
77．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴．给出四个结论：① abc 0<；② 2a b 0+>；③ a c 1+=；④a 1>．其中结论正确的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
78．如图，Rt△OAB 的顶点A （－2，4）在抛物线2y ax =上，将Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为。

A ． ()22 ，
B ．()22 ，
C ．()22 ，
D ．()22 ， 79．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a+b+c ＜0；④a ﹣b+c ＞0；⑤4a+2b+c ＞0，
错误的个数有【 】
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
80．若二次函数2y ax bx c =++ (a≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是
、
A ．a>0
B ．b 2
－4ac≥0
C ．x 1<x 0<x 2
D ．a(x 0－x 1)( x 0－x 2)<0 81．一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x
=
≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【 】
A ．b 2a k =+
B ．a b k =+
C ．a b 0>>
D ．a k 0>>
)
答案及解析
61．B.
【解析】
试题分析：根据二次函数的图象开口向下推出a ＜0，根据二次函数的图形与y 轴的交点在y 轴的正半轴上推出c ＞0，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出2-
b a =1，求出b=-2a ＞0，把x=-1代入y=ax 2+bx+
c （a≠0）得出y=a-b+c ＜0，根据二次函数的图象与x 轴有两
个交点推出b 2-4ac ＞0，根据以上结论推出即可．A 、∵二次函数的图象开口向下，
∴a ＜0，
∵二次函数的图形与y 轴的交点在Y 轴的正半轴上，
∴c ＞0，
》
∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，
∴2-b a
=1， b=-2a ＞0，
∴abc ＜0，故本选项错误；
B 、把x=-1代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得：y=a-b+c ＜0，
∴a+c ＜b ，即a+c<-2a,∴3a+c<0,故本选项正确；
C 、∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，
∴2-
b a =1，b=-2a. {
∴4a+2b+c=4a+2(-2a)+c=c>0,故本选项错误；
D 、∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，
∴b 2-4ac ＞0，故本选项错误；
故选B.
考点：二次函数图象与系数的关系． 62．C.
【解析】
试题分析：根据图象得出a ＞0，b=2a ＞0，c ＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（-5，y 1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y 1），根据当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大即可判断④．
*
∵二次函数的图象的开口向上，
∴a ＞0，
∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
∴c ＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=-1，
∴12b
a
∴b=2a ＞0，
∴abc ＜0，∴①正确；
'
2a-b=2a-2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．
∴与x 轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x=2代入y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c ＞0，∴③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c 图象的对称轴为x=-1，
∴点（-5，y 1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y 1），
根据当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大，
∵
52＜3， (
∴y 2＜y 1，∴④正确；
故选C ．
考点: 二次函数图象与系数的关系．
63．A.
【解析】
试题分析： 连接01M ，OO 1，可得到直角三角形OO 1M ，依题意可知⊙O 的半径为2，则OO 1=2﹣y ，OM=2﹣x ，O 1M=y ．在Rt △OO 1M 中，由勾股定理得222(2y)(2x)y ，解得21y x x 4．
故选A ．
"
考点：根据实际问题列二次函数关系式． 64．C.
【解析】
试题分析：根据二次函数的图象及其性质进行解答.
①∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，∴b ²＞4ac ；
②∵=12b x a
-=-，∴b ＝2a ，∴2a －b ＝0； ③当x ＝－1代入y=ax 2＋bx ＋c 中，得y ＝a －b ＋c ，根据图象，当x ＝－1，对应的函数值
＞0，∴a －b ＋c ＞0；
④∵图象开口向下，∴a ＜0，∴5a ＜2a.又∵b ＝2a ，∴5a ＜b ；
)
⑤∵图象开口向下，对称轴为x ＝－1，∴当x ＝－1，y 最大值为a －b ＋c ；当x ＝m 代入y=ax
2＋bx ＋c 中，得y ＝y=am 2＋bm ＋c ，∴a －b ＋c ＞am 2＋bm ＋c ，∴a －b ＞m （am ＋b ）；
故选择C.
考点：二次函数的图象及其性质.
65．D ．
【解析】
试题分析：由开口方向，可确定a ＞0；由当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，可确定B 错误；由对称轴在y 轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=2b a
＜1；由二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y 轴右侧，a ＞0，可得最小值：244ac b a
＜﹣2，即可确定D 正确．
A 、∵开口向上，∴a ＞0，故本选项错误；
B 、∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，故本选项错误；
；
C 、∵对称轴在y 轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣
＜1，故本选项错误； D 、∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y 轴右侧，a ＞0，
∴最小值：
＜﹣2， ∴4ac ﹣b 2＜﹣8a ．
故本选项正确．
故选D ．
考点： 1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x 轴的交点．
66．C.
.
【解析】
试题分析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
A 、∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0．
∵抛物线与x 轴的交点是（2，0）和（x 1，0），其中-2＜x 1＜-1，
∴对称轴x=-2b a
＞0， ∴b ＞0．
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c ＞0，
：
∴abc ＜0．故本选项错误；
B 、根据图示知，当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0．故本选项错误；
C 、∵把x=2代入y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c=0，
4a+2b=-c ，
2a+b=-2
c ， ∵O ＜c ＜2，
∴2a+b+1＞0．
故本选项正确；
D 、∵两个根之和为正，即b a ＞1，即a ＜-b ＜0， ，
∴a+b ＜0．故本选项错误；
故选C ．
考点: 二次函数图象与系数的关系．
67．A ．
【解析】 试题分析：根据二次函数、反比例函数、正比例函数的图象的上下关系即可得出结论：
①当三个函数的图象依1y x
=
，y x =，2y x =次序呈上下关系时，0x 1<< ，命题正确； ②当三个函数的图象依2y x =，y x =，1y x
=次序呈上下关系时，1x 0-<<或x 1> ，命题错误； 。

③当三个函数的图象没有出现1y x
=
，2y x =，y x =次序的上下关系 ，命题错误； ④当三个函数的图象依2y x =，1y x
=，y x =次序呈上下关系时，x 1<- ，命题正确. 综上所述，正确的命题是①④. 故选A ．
考点：1. 命题和证明；2.二次函数、反比例函数、正比例函数的图象；3.数形结合思想的应用.
68．D.
【解析】
试题分析：∵抛物线的开口向下，
}
∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，
∴c ＞0，
∴①③正确； ∵对称轴为x 12b a
=-=，得2a-b ， ∴2a+b=0，
∴a 、b 异号，即b ＞0，
∴②错误，⑤正确；
∵当x=－2时，y=4a －2b+c<0，
、
∴④正确．
综上所知①③④⑤正确．
故选D ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
69．C.
【解析】
试题分析： ∵抛物线开口向上，∴0a >，∵抛物线对称轴为直线2b x a =-
=1，∴0b <，∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <，∴0abc >，所以①正确； ∵2b x a =-
=1，即2b a =-，∴20a b +=，所以②正确； （
∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），∴当3x =时，0y <，∴930a b c ++<，所以③错误．
∵抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），∴方程20ax bx c ++=的解是-2和4，∴④正确；
由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，∴⑤正确．
∴正确的答案为：①②④⑤．故选C ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
70．D.
【解析】
试题分析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． ~
①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0．
∵对称轴x=﹣2b a =﹣13，∴b=23
a ＜0， ∴a
b ＞0．故①正确；
②如图，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0．
③如图，当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，
∴2a ﹣2b+2c ＞0，即3b ﹣2b+2c ＞0，
∴b+2c ＞0．
!
故③正确；
④如图，当x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c ＞0．
抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0．
∵b ＜0，
∴c ﹣b ＞0，
∴（a ﹣b+c ）+（c ﹣b ）+2c ＞0，即a ﹣2b+4c ＞0．
故④正确；
⑤如图，对称轴x=﹣
2b a =﹣13，则32a b ．故⑤正确． |
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．
故选D ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
71．C.
【解析】
试题分析：观察图象，抛物线的对称轴过点（1,0），所以图象关于直线x=1对称，所以选项A 正确，抛物线的开口方向向上，最低点是（1，-4），所以函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4，所以选项B 正确，在抛物线的对称轴左侧，曲线从左到右是下降的，即x ＜1,y 随x 的增大而减少，所以选项C 错误，抛物线是对称图形，它与y 轴的两个交点应关于对称轴对称，其中一个交点是（-1,0），对称轴是直线x=1,所以另外一个交点是（3,0），所以选项D 正确，故选C.
考点：抛物线的图象和性质.
72．B.
；
【解析】
试题分析：（1）观察图形，分过两个顶点剪去一个角、过一个顶点或不过任何一个顶点剪去一个角作出的图形，找出减少的边数和增加的边数，然后根据多边形的定义即可得到剩下的是n+1或n-1、n ，所以（1）不正确；（2）10=x ，所以03=--x ，解得x=3，所以（2）不正确；（3）原式=x x k x x x k k k 2)32(2)32(23+-=+⋅---，所以2k-3=0,解得k=2
3,正确；（4）由a-b+c ＜0得22)(c a b +≥，代入0)(4)(42
22≥-=-+=-c a ac c a ac b ，所以（4）不正确
考点：1.多边形的性质；2.反比例函数的意义；3.二次函数的判别式.
73．A.
【解析】
试题分析：将（-1，2）与（1，0）代入二次函数y=ax2+bx+c 得：a-b+c=2，a+b+c=0， ∴a+c=1，b=-1，c ＜0，∴abc>0
∴a=1-c ＞1，2a+b=2a-1＞0，（2a+
21c ）2=（213+a ）2＞b 2=1，3a+c=2a+a+c=2a+1＞2， @
故选A.
考点：二次函数图象与系数的关系．
74．B.
【解析】
试题分析：抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴没有交点，所以判别式△=b 2-4ac=b 2-4c ＜0,所以结论①
错误；因为点（1,1）在抛物线上，所以将x=1,y=1代入抛物线解析式得：b+c+1=1,所以结论②错误；由于点（3,3）在抛物线上，所以将x=3,y=3代入抛物线解析式得：9+3b+c=3,
化简得：3b+c+6=0,所以结论③正确；当1＜x ＜3时，直线在抛物线上方，所以有：x ＞x 2+bx+c,
化简得：x 2+(b-1)x+c ＜0,所以结论④正确.故选B.
考点：1、二次函数的性质；2、二次函数与不等式.
75．C.
【解析】
\
试题分析： ①∵图象与x 轴有交点，则△=1641()0a -⨯⨯-≥，解得4a ≥-；故本选项错误；
②∵二次函数24y x x a =--的顶点坐标为（2，4a --），代入2y x =得，422a --=⨯，
∴8a =-，故本选项正确；
③当3a =-时，不等式240x x a -+>变为：2430x x -->，解集为2x <-或
2x >+，故本选项错误；
④224(2)4y x x a x a =--=---，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后变
为：2(23)41y x a =-+--+，即2(1)3y x a =+--，∵过点(12)-，，∴
22(11)3a -=+--，解得：3a =， 故本选项错误；
⑤由根与系数的关系，124x x +=，当4x =时，1616y a a =--=-，当0x =时，y a =-，故本选项正确．
故选C ．
考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．根与系数的关系；3．二次函数图象与几何变换；4．二次函数与不等式（组）．
76．C.
|
【解析】
试题分析： A ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点无法确定a 的正
负情况，故本选项错误；
B ．∵12x x <，∴△=240b ac ->，故本选项错误；
C ．若0a >，则010x x ->，020x x -<，所以，0102()()0x x x x --<，∴0102()()0a x x x x --<，若0a <，则（01x x -）与（02x x -）同号，∴0102()()0a x x x x --<，综上所述，0102()()0a x x x x --<正确，故本选项正确；
D ．若0a >，则102x x x <<，若0a <，则012x x x <<或120x x x <<，故本选项错误．故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
77．C ．
【解析】
—
试题分析：①∵a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，错误； ②由图象可知：对称轴b x 2a =-
＞0且对称轴b x 2a
=-＜1，∴2a+b ＞0，正确； ③由图象可知：当x=－1时y=2，∴a b c 2-+=，当x=1时y=0，∴a+b+c=0. a b c 2-+=与a+b+c=0相加得2a+2c=2，解得a+c=1，正确；
④∵a+c=1，移项得a=1－c ，又∵c ＜0，∴a ＞1，正确．
故正确结论的序号是②③④．
故选C ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
78．C
【解析】 试题分析：∵Rt△OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线2y ax =上，∴()24a 2=⋅-，解得：a=1 ∴抛物线解析式为y=x 2。

∵Rt△OAB 的顶点A （﹣2，4），∴OB=OD=2。

∵Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD ∥x 轴。

∴点D 和点P 的纵坐标均为2。

∴令y=2，得2=x 2，解得：x =
∵点P 在第一象限，∴点P 的坐标为：，2）。

故选C 。

79．B 。

【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y 的值，进而对所得结论进行判断：
①∵由函数图象开口向下可知，a ＜0，由函数的对称轴b x 2a
=-＜0得b ＞0，∴2a ﹣b ＜0，①正确；
②∵a ＜0，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0；②正确；
③当x=1时，y=a+b+c ＜0，③正确；
④当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，④错误；
⑤当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，⑤错误；
故错误的有2个。

故选B 。

80．D
【解析】
试题分析：a 的符号不能确定，选项A 错误。

二次函数2y ax bx c =++ (a≠0)的图象与x 轴有两个交点，故b 2
－4ac ＞0。

选项B 错误。

分a>0，a<0两种情况画出两个草图来分析（见下图）：
由于a 的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也可向下），所以x 0，x 1， x 2 的大小就无法确定。

选项C 错误。

在图1中，a<0且有x 0<x 1< x 2（或x 1< x 2< x 0），则a(x 0－x 1)( x 0－x 2)<0；在图2中a>0，且有x 1< x 0< x 2，则a(x 0－x 1)( x 0－x 2)<0.。

选项C 正确。

故选D 。

81．D 。

【解析】将A （－2，0）代入y ax b =+，得b 2a =。

∴二次函数()2
22y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。

∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。

当x=－1时，反比例函数k k y k x 1
=
==--。

由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴a k 0<<--，即a k 0>>。

故选D 。

（实际上应用排它法，由b 2a 0>=，k 0≠也可得ABC 三选项错误）。