应用定积分求和的极限

p.438:4 (3 ) 应用定积分求极限 ∑

=+∞

→n

k p p

n n k 1

1

lim

。 解：

n n k n n

k n k p

n k n

k p p n

k p p 11111

1

⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=∑∑∑

===+ ，此式是函数 p

x x f =)( 在区间 []1,0 的特殊积分和：区间 []1,0 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-n k n k ,1 的右端点。函数p x x f =)( 在区间 []1,0 可积，因而有：所求极限

1

11lim

11101

1+=

+=

=+=+∞

→⎰∑

p p x x d x n

k p p n

k p p n

这一类型题的解题关键一是分离出因式 n 1 ，二是将余下的因式化为 n

k

或类似形式的函数。例如本题解答中即是如此。

又如p.438:4 (4 ) ：应用定积分求极限 ()()[]n

n n n n n n

111lim

-++∞

→ 。 本例无求和，只有乘积，因而不能直接应用上述解法；但利用对数性质可将乘积转化为求和，这样，即可分离出因式

n

1 。 解：令 ()()[]n

n n n n n

y 111-++=

，则 ()()[]()∑-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧-++=101ln 111ln 111ln ln n k n n n k n n n n n n n n n n n n n y ∑-=⎪⎭

⎫

⎝⎛+101ln 1n k n k n 是函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 的特殊积分和：区间 []2,1 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+++n k n k 11,1 的左端点。函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 可积，因而有：极限

⎰∑=⎪⎭⎫

⎝⎛+=-=∞→∞→2

110ln 1ln 1lim ln lim x

d x n k

n y n k n n

定积分

()

()()2ln 211ln 112ln 21ln ln 1

2

2

1

=-⨯--⨯=-=⎰x x x d x 。函数 x e 在其

定义域内连续，因而所求极限

4lim lim 4ln ln lim ln ====∞

→∞

→∞

→e e e y y

y n n n 。