漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法

２００６年第６期中学数学教学１５
漫谈圆锥曲线的极点与极线
——两高考试题的统一背景与解法
浙江省绍兴县鲁迅中学王兴华（邮编：３１２００８）
本文源于两道高考压轴题：
题ｌ（２００６年全国Ⅱ卷题２１）
已知抛物线ｚ２—４ｙ的焦点为
Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且亦＝Ａ商（Ａ＞ｏ）．过Ａ、Ｂ两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｐ．（１）证明茚．商为定值；沁ｒ羽Ｂ
、Ｖ≥
０
Ｐ
（２）设△ＡＢＰ的面积为Ｓ，写出Ｓ＝，’（Ａ）的表达式，并求Ｓ的最小值．
题２（２００５年江西卷题２２）
设抛物线Ｃ：ｙ—ｚ２的焦点为Ｆ，动点Ｐ在直线ｚ：ｚ—ｙ一２＝ｏ上运动，过Ｐ作ｃ的两条切线ＰＡ、ＰＢ，且与抛物线ｃ分别相切于Ａ、Ｂ两点．ｊ矽。

Ａ≮＼．黑｜｜Ｉ
／
（１）求△ＡＰＢ的重心Ｇ的轨迹方程．
、（２）证明么ＰＦＡ一么ＰＦＢ．
这是一类解析几何常见题，两题非常类似，笔者还发现它们含有相同的高等数学背景．按射影几何观点，题中点Ｐ与直线ＡＢ称为圆锥曲线相应的极点与极线，两者蕴涵了圆锥曲线的内在特征．本文拟以极点与极线的两个命题给出试题统一解法，并讨论该性质在中学数学／中的现状及应用．
１关于极点与极线
１．１极点与极线的定义与作图
如图，Ｐ为不在圆锥曲线
上的点，过点Ｐ引两条割线依
次交圆锥曲线于四点Ｅ、Ｆ、Ｇ、
Ｈ，连接ＥＨ、硒交于Ｎ，连接
昭、ＦＨ交于Ｍ．则ＭＮ为点Ｐ
对应的极线．若Ｐ为圆锥曲线
上的点，过点Ｐ的切线即为极线．
由上作图可知，同理ＰＭ为点Ｎ对应的极线，ＰＮ为点Ｍ对应的极线，ＭＮＰ称为自极三点形．若连接ＭＮ交圆锥曲线于Ａ、Ｂ点，则ＰＡ、ＰＢ恰为圆锥曲线的两条切线．事实上，这也给出了两切线交点Ｐ对应的极线的又一作法，如题１、２图．
１．２标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程与性质
下面以命题的形式给出圆锥曲线中极点与极线两个结论：
命题１椭圆与＋告＝１，则点Ｐ（Ｔ。

，ｙ。

，）对应的
ｎ。

Ｄ。

极线方程为：掣＋掣一ｌ；
双曲线写一菩＝１，则点Ｐ（ｚ。

，ｙ。

）对应的极线方Ⅱ。

Ｄ‘
程为：等一掣一１；
抛物线ｚ２—２缈，则点Ｐ（．ｒ。

，弘）对应的极线方程为：Ｔ（）丁一户（ｙ＋ｙｆ））＝ｏ；
若抛物线ｙ２＝２弦，则点Ｐ（勘，弘）对应的极线方程为：＿）Ｉ。

ｙ一≯（ｚ＋Ｔｏ）＝Ｏ．
命题２圆锥曲线中极线共点于Ｐ，则这些极线相应的极点共线于点Ｐ相应的极线．反之亦然．称为极点与相应极线对偶性．
如题１图，ＡＢ绕焦点Ｆ转动，则ＡＢ相应的极点Ｐ共点于点Ｆ的极线．
上述证明可参考有关《高等几何》书，此处不再展开．
虽然中学数学中没有提到极点与极线，但事实上，它的身影随处可见．只是没有点破而已．
下面利用上述两个命题，给出两考题统一简解以及该命题在教材、竞赛等方面的应用．
２中学数学中极点与极线知识的现状与应用
２．１教材内改名换姓，“视”而不“见”
事实上，由命题ｌ知，若取点Ｐ为焦点，点Ｐ相应的极线恰为圆锥曲线的准线．如：椭圆：；＋等一１中点Ｐ（ｆ，ｏ）对应的极线方程为：ｚ一生．焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容，它揭示了圆锥曲线的统一定义，更是高考的必考知识点．正是因为它太常见了，反而往往使我们“视”而不“见”．
例１（人教版第二册上第“９页）
过抛物线扩一２弦的焦点的一条直线和此抛物线
１６中学数学教学２００６年第６期
相交，两个交点的纵坐标为ｙ，、ｙｚ，求证ｙｌｙ２一一户２．
作为课本一习题，２００１年全国卷１９题以此题为背景命题，利用此结论可迅速证明该题．
ｊ．ｎ
０．／疑一Ｃ——
（２００１年全国卷理科１９题）设抛物线扩一２如（户＞ｏ）的焦点为Ｆ，过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线上，且历平行ｚ轴，证明直线ＡＣ过原点．
下面利用命题１、２给出例１的证明：
分析设点Ｆ（号，。

），Ａ（券，ｙ·），Ｂ（券·ｙｚ），由命题ｌ知：
三点对应的极线方程分别是：ｚ一一要，Ｍｙ一２（ｚ＋券）２ｏ（ｉ一１，２），由Ａ、Ｆ、Ｂ、三点共线及命题２得知。

相应的三极线共点，把ｚ一一要代入，即得ｙ。

ｙ：一一户２．
评析此结论曾被广泛探讨应用，我们用命题１、２证明了例１，事实上也给出了１９题的一种新的证法．２．２高考中琵琶遮面，忽隐忽现
作为极点与极线的特例，焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容，也一直是高考的热点，如前述的题１、题２．下面我们利用命题给出两试题新的统一简解：题１（１）分析设点Ｐ（ｚ。

，帅），Ａ（ｚ－，ｙｔ），Ｂ（ｚ２，ｙｚ），由命题１知，三点对应的极线方程分别是：ｙ＝一１，ｙ一等一ｙ，（ｉ＝１，２），Ａ、Ｆ、Ｂ三点共线。

由命题２得相应的三极线共点于Ｐ（ｚ。

，一１）．代入极线方程得：
ｆ苎导一＿）Ｉ，一一１，
Ｊ两式相减得：
ｌ竿一此一一１，
垒Ｌ二华：（＿ｙ。

一了：），
———ｉ—一２Ｌ＿ｙｌ一了２Ｊ’
所以茚．蕊一Ｔ。

（Ｔ：一ｚ，）一２（ｙ：一ｙ。

）＝ｏ．
（２）设ＡＢ方程为：＿）．一１＝乜ｒ，逆用命题ｌ得ＡＢ对应的极点为（２女，一１），把ｙ＝如＋１代入ｚ２—４ｙ并由弦长公式，得：ＩＡＢｌ＝４（１＋女２），
所以ｓ△ＡＢＰ一２（１＋＾２）￣／４（１＋女２），
显然＾＝ｏ时，Ｓ取最小值为４．
题２（１）分析设点Ｐ（ｚｏ，如），Ａ（ｚ１，ｙ１），Ｂ（ｚ２，ｙｚ），逆用命题１，得直线ｚ：ｚ—ｊ，一２＝ｏ对应的极点坐标为（丢，２），Ｐ为直线ｚ上动点，则点Ｐ对应的极线ＡＢ必过（专，２）点．
设ＡＢ的方程：∥一２一女（丁一÷），逆用命题ｌ，得ＡＢ对应的极点Ｐ可设为（寺，睾一２）．把ＡＢ代入ｃ：ｙ—Ｔ２得：上ｌ＋ｚ２一＾，ｙ１＋ｙ２＝＾２一＾＋４．△ＡＰＢ的
ｆｚ一睾，
重心Ｇ的轨迹方程：｛＆ｚ一妻＋２消去６即得
月。

一●—ｒ￡
Ｉｙ一——广’
轨迹方程：ｙ一÷（４２２一ｚ＋２）．
（２）由（１）可设点Ｐ（睾，睾一２），Ａ（ｎ，ｚ。

２），
Ｂ（ｚｚ，丁ｚ２），且还有ｚ－＋ｚｚ一女，ｚ，ｚｚ＝睾一２，苘一（ｍ砰一｛），茚一（半㈣ｚｚ一｛），
商一（ｍ∥一÷）．
所№ｓ么夕Ｐ亍褊
睾·∞＋（ｚ，如一｛）（群一｛）ｚ－ｚｚ＋÷一Ｔ瓦万乖芎厂一—雨’同理枷ｓ么盱Ｐ一褊
睾·ｚｚ＋（ｚ－ｚｚ一÷）（ｚｚ２一｛）ｚ。

ｚ：＋÷一■百万可可一币丌既以［ＡＦＰ一［ＰＦＢ．
这样我们得到题２（２）的一种简证．
评析上述统一解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果．笔者屡试不爽，这里不再一一列举．
２．３竞赛中抛头露面，显山露水
作为更高要求的竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视．
例２（２００２年澳大利亚国家数学竞赛）
已知△ＡＢＣ为锐角三角形，以ＡＢ为直径的④Ｋ分别交ＡＣ、ＢＣ于Ｐ、Ｑ．分别过Ａ和Ｑ作④Ｋ的两条切线交于点尺，分别对Ｂ和Ｐ作④Ｋ的两条切线交于点
２００６年第６期
中学数学教学
１７
ｓ。

证明：点Ｃ在线段ＲＳ上。

溅
＼Ｃ
入
．ｓ
乡幺
翊一
．歹
＼
０
／旷
＼
、’＿’一
下面用命题１、２把该题加强为椭圆．
分析
设点Ｃ（ｚ。

，，。

），Ｓ（“，，１），Ｒ（一ｎ，ｙ２），由命
题１得Ｒ点对应的极线ＡＱ方程：ｌ＋掣＝１，代入
椭圆方程解得点Ｑ（紫，络），直线ＢＱ方
程：ｙ一一丝（ｚ—ｎ）．同理我们可以得到直线ＡＰ方程：
评析
显然该定直线即为点Ｍ（专，—｝）对应的
极线：车＋导一１．以此为背景的试题深受命题者的青
睐．
２．４
杂志上百家争鸣，方兴未艾
圆锥曲线中有关极点与相应极线的性质，一直是各类杂志探讨的热点．文［２］文［３］所述的圆锥曲线性质，都源于圆锥曲线中极点与相应极线．
下面仅简述文［２］给出的椭圆的一个基础性定理：
定理
线段ＰＱ是椭圆吾＋等一１（拉＞６＞ｏ）长
轴上定点Ｍ（ｍ，ｏ）（ｍ≠ｏ，ｍ≠士口）的弦，Ｓ、丁是长轴
，．２
上的两个顶点，直线ｓＰ、ｓＱ与直线ｚ：ｚ一生交于
Ａ（ｚ＾，帅），Ｂ（ＴＢ，ｊ，』ｊ）两点，并且直线ＰＱ的斜率是存在
尸尝。

ｚ川．删代入直线硒一ｙ。

一等（。

且不为瓢脯ｙ—ｈ一一鬈咖ｙｅ一
一ｎ），得到同一点ｃｆ半｛坐ｎ，警ｎ１，所以三点共
、ｙ２十ｙｌ
ｙ２十ｙ１』
线．
评析
原题的纯平几证明，难度较大嘲而用命题
１、２证明，不仅思维简洁，而且此结论显然可推广到其他圆锥曲线，证明同上．
下面给出最新杂志上的两道试题：
例３
（《中等数学》２００６年第８期第４２页）
过椭圆轰＋等一１内一点Ｍ（３，２），作直线ＡＢ与
椭圆交于点Ａ、Ｂ，作直线ＣＤ与椭圆交于点Ｃ、Ｄ，过Ａ、
Ｂ分别作椭圆的切线交于点Ｐ，过ｃ、Ｄ分别作椭圆的切线交于点Ｑ，求Ｐ、Ｑ连线所在的直线方程．
评析
该题实质上就是求椭圆蠢＋寺２
１内一
点Ｍ（３，２）对应的极线方程，由命题ｌ我们立即可得答
为案：筹＋等＝１．
例４
（《中学数学》２００６年第７期新题征展７７）
设椭圆方程为等＋ｙ２＝１，点Ｍ（专，专），过Ｍ点
的动直线与椭圆相交于点Ａ、Ｂ，点Ａ、上ｊ处的切线相交
于点Ｎ．求证：点Ｎ的轨迹为一条定直线．
评析
由命题１知，定理中定点Ｍ（ｍ，ｏ），直线ｚ：
２
ｚ一生即为极点与相应极线．从另一方面，该定理是例ｆＨ
１（人教版第二册上第１１９页）的推广形式。

作者把它称
为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥
瞳线性质．事实上文［２］所述参考文献中的圆锥曲线性质也都可以用命题１、２证明，此处不再展开．文［３］则完
全是命题１的一种特例．
命题１、２只是极点与相应极线诸多性质中的其中
一点，应用却非常广泛．
一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美．
参考文献
１
史钞．几道数学竞赛题的简解．中等数学，
２００５（４）．
２
邱继勇．椭圆的一个基础性定理．数学通报，
２００５（６）．
３
高绍央．圆锥曲线准线的一个有趣性质．中学教研，２００５（３）．
（收稿日期：２００６—０９—２６）。