相对论作业答案

练习14 相对论基础

14.2 （4） 在惯性系S 中，有一闪光信号的时空坐标为x = 100km ，y = 10km ，z =1 km ，4510s t -=⨯， 另一惯性系S′相对于S 以v = 0.8c 的速率沿x 轴运动，则S′系中测得这一闪光信号的时空坐标为4410'10m 3.3310m 3x =-

⨯≈-⨯，'10km y =，'1km z =，4435'10s 3.8910s 9t --=

⨯≈⨯。 14.3 设在正负电子对撞机中，正电子与电子以速度0.90 c 沿轴向相向飞行，试问它们之间的相对速度为多少？

[分析与解答] 设对撞机为S 系，正电子为S ′系，且正电子沿x 方向飞行，电子沿x -方向飞行，则S ′系相对S 系的速度为0.9v c =，电子相对S 系0.9x u c =-，电子相对S ′系速度为'x u ，由

2'1x x x u v u v u c

-=

- 得 20.900.90 1.8'0.9940.90 1.811(0.90)x c c c u c c c c c ---===--⨯- 所以电子相对S ′系速度，即正电子与电子之间的相对速度为'0.994x u c =-，式中负号表示电子沿x -方向飞行。

14.4 一个放射性原子核以0.5c 的速度相对于实验室运动。

（1）当它发生衰变时，以0.90c 的速度沿其运动方向发射一个电子，试求电子在实验室参考系中的速度；

（2）若衰变时发射的是一个光子，则光子在实验室参考系中的速度又为多少？

[分析与解答]（1）把实验室作为S 系，原子核作为S ’系，它相对于S 系的速度为0.5v c =；把事件看做“事件”，它对原子核（S’系）的速度为'0.9x u c =，则电子相对于实验室（S 系）的速度x u ，可根据速度变换公式求得，即

220.900.50'0.9660.50110.90x x x u v c c u c c v c u c c c

++===<++⨯ （2）若放射的是光子，则'x u c =，根据速度变换公式有

220.500.5011x c v c c u c v c c c c c

++===++⨯ 14.5 试讨论洛伦兹变换下的同时性概念。

（3）在S 系中，兄弟两人于5μs t =时，分别在点1(400m,0,0,15μs)P 和点2(300m,0,0,15μs)P 各点燃一枚爆竹（事件），试问，以0.8x v c =相对于S 系运动的S ′系观测者，测得此两事件的时刻各为多少？

（4）设S 系观测者记录两事件的空间和时间间隔分别为600m 和8×10-7s ，试证明：为使两事件对于S ′系来说是同时发生的，则S ′相对于S 的速度为0.4v c =。

[分析与解答] （3）根据洛伦兹变换，有

61122610.81510400'23.210s 0.6v c t x c t ---

⨯-⨯===⨯

42222620.81510300'23.6710s 0.6v t x c c t ---

⨯-⨯===⨯ （4

）由2'0v t x t -

== ，20v t x c -= 2788103100.4600

t c c v c x -⋅⨯⨯⨯⨯=== 14.8 试述相对论的时间膨胀效应, 并分析、讨论：

（3）在实验室中测得速度为0.95c 的μ介子的平均寿命为6610s -⨯，则在与μ介子相对静止的参考系中，它们的平均寿命为多少？

[分析与解答] 按题设，实验室为S 系，μ介子为运动的物体（事件），装在μ介子上的参考系为'S 。也就是说v = 0.95c ，6610t s -∆=⨯，则'S 测得的固有

时间为

60'610 1.8910s t --∆=∆=⨯=⨯

14.7 试讨论相对论性长度测量问题：

（3）欲使一艘宇宙飞船的长度收缩50%，则其飞行速度应为v = ？ c

[分析与解答] 设宇宙飞船置于'S 系，其固有长度为0l ，S 系观察者测到的观

测长度为l ，按相对性原理，两者关系为

l l =

由题意得，

02l l =

12=2114β-=，234β=， 则

2β=

，即2

v = （4）一根棒静止在S ′系中，与O ′x ′轴的夹角为30°，S′系相对于S 系的运动速度为0.8x v c =，试求S 系中观测者测得该棒与x 轴的夹角。

[分析与解答] 在S ′系中，'1m l =

，''2

x l =，'1'm 2y l =， 在S 系中，'1'm 2y y l l ==

，''0.6m m 0.52m 210

x x l l =====

0.72m l ===

1sin /0.720.692

θ==，43.6θ⇒= 或

1

arctan()43.9x y l l θ==== （5）一根米尺沿着它的长度方向相对于你以0.6 c 的速度运动，试问米尺通过你面前要花多少时间？

[分析与解答] 已知米尺（作为S′系）的固有长度1'1m l =，而“你”则相当于S 系，0.6v c =。你测得的米尺长度l 为，

0'10.8m l l ===

于是，由运动学关系，得

90.8 4.410s 0.6l t v c

-∆===⨯ 14.10 计算并填空, 以加深对有关概念的理解，同时熟悉数量级和单位换算。

（1）一个以0.8c 运动的电子，其质量m = ；动量p = 。

（2）一个电子从静止被加速到0.5c 的速度，其能量的改变量ΔE = ；动能E k = 。

（3）一个粒子以v = c 运动时，其动能正好等于静止能量的两倍。

[分析与解答] （1

）53e m m =

=

，43e p mv m c === （2

）222k 1)1)0.1550.079MeV e e e E m c m c m c =-=== （3

）22k 1)2e e E m c m c ==

，13，0.943v c ⇒=