浅析高观点下的高中数学问题(义乌中学 方治)
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空间向量及其应用 系列1、系列2：导数及数系的扩充、 系列3、系列4
四、高观点问题及评析
●高观点问题
以高等数学中的知识为背景或体现高等数学中常用的 数学思想方法和推理方法但用初等数学的语言来表述 的问题。
●主要特征
高角度
适切性
为高校选才
高
低落点 重能力 知识迁移 以能力立意
考
四、高观点问题及评析
浙江省义乌中学
(2013.03.15.)
方治
【发言提纲】
一.高观点的缘起 二.对高观点的认识 三.高观点在新课程标准中的体现 四.高观点问题的评析 五.对策与建议
一、高观点的缘起
19世纪末20世纪初由德国数学家克莱茵 和英国数学教育家贝利在英国发起并领 导的数学教学改革. 克莱茵 基础数学的教师应该站在更高的视角(高 等数学)来审视、理解数学问题，只有观 点高了，事物才能显得明了而简单；有 许多初等数学的现象只有在非初等的理 论结构内才能深刻地理解.
2.初等语言高等化
命制背景：构造一个新的运算，无实质的高等数学概 念和定理，仅仅运用语言上模仿高等数学的表述.诸 如这样的高考试题很多，2000年春季高考题目首次出 现新定义以来，高考试题中不断出现新定义的题目， 这样题目背景比较新颖，能有效考查学生创新能力， 又很难在课本上找到原型。
2.初等语言高等化
命制背景：本题考查等比数列经历不同的函数变化后 等比的“保持性”，引进了一个新的名称——保等比 数列函数，无实质的高等数学概念和定理，学生首先 要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关 键。
2.初等语言高等化
命制背景：本题不是考查某个确定的高等数学概念，但 是语言形式的呈现上是运用高等数学的形式描述集合， 有比较多的抽象的符号，具有高度的概括性和一般性， 既有逻辑语言的特点，又有矩阵语言的特征。
五、对策与建议
⑸数学符号是数学抽象思维的产物，是数学交流与传 播的媒介，是进行数学推理的工具，是数学发展的内 部动力。对数学符号语言的考查能够衡量一个人的数 学能力，因此需引起足够的重视，在平时的教学中应 该注重对学生进行符号语言的阅读、理解、转化、表 述、探究、调控能力的培养。
五、对策与建议
⑶改变综合复习中的“题海战术”、“资源战术”和 “频繁考试战术”，不过分追求解题的模式化、程式 化和技巧化，不热衷于归纳题型、记忆方法，靠机械 训练是难以应对高观点题。要引导学生认真构建数学 知识网络，寻求知识网络的交汇点，只有这样，才能 不断发展学生的数学能力，达到以不变应万变。 ⑷在不脱离中学数学的课程标准和教材的前提下，教 师可以对重要的概念和知识的联系上做必要的拓宽。 教师倘若能站在高等数学的角度，沟通初等数学与高 等数学的联系，居高临下地去释疑，将会更有利于学 生深刻领悟数学概念的精髓及其后续发展。
1.引入概念
1.引入概念
1.引入概念
2.引入定义与定理
2.引入定义与定理
（二）初化法
对高等数学中的问题、概念或原理特殊化，具体化， 低维化使之成为具体的初等化内容。它使得高等数学 中的一般、抽象的问题变成具体的、适合中学生做的 问题，有较强的综合性和新颖性。 1、改变形式
2、特殊化 3、重新组合
●总括
近几年的高考数学试题、样卷和模拟卷中，有许多背 景新、设问巧的“高观点”问题，合理分析这些试题 的来源，探寻这些试题命题方法，可为高三数学复习 教学提供一些新的生长点。
●命制方法
引用法，初化法，转语法，演变法
（一）引用法
将高等数学中的某些简单的命题、概念、定理移用为 高考数学试题的一种方法。在高等数学中，很多重要 的定义、定理都建立在初等数学知识之上，并且需要 或者能够用初等数学知识来解决的，这些高初知识的 衔接处为引用提供了试题命制的环境和条件。 1、引入概念 2、引入定义与定理
1.变化定理的条件与结论
2.以结论和定理做载体
四法并驱
引用法
初化法
有机 融合
转语法 演变法
五、对策与建议
⑴高观点问题的设计来源于高等数学或者模仿高等数 学的叙述方式，但解决的方法是中学所学的初等数学 知识，所以没有任何将高等数学引进高考的误导。
⑵掌握高等数学与初等数学的内在联系，多运用高观 点居高临下地分析和处理“高观点”下的高中数学问 题，并在高等数学与初等数学的衔接上尝试着用高等 数学知识编一些不脱离中学实际的“高观点”题。
2.初等语言高等化
借用高等数学语言表述初等内容，考核具有高等数学 背景的初数知识(思想方法)等。
1.高等语言初等化
命制背景：上面两题分别是近两年湖南省的高考题，一 文一理，命制的背景非常相似，都是基于正整数的二进 制表示，都是回避进制概念改用初等化描述的一种表现 。旨在考查学生在新环境下的运算能力、创新意识以及 创造性解决问题的能力.
（四）演变法
1.变化定理的条件与结论 着眼于已知的高等数学定理，从已知的高等数学定理 出发，将已知条件做等价变形，依此扩大条件和结论 之间的距离。 2.以结论和定理做载体
将高等数学中的结论作载体搭建高等数学与初等数学 的联系，这些载体类别多样，设置各种初等数学背景。
1.变化定理的条件与结论
命制背景：本题主要考查导数公式，以及利用导数， 通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化 思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。 观察例题15中的四个选项的命制，可以发现它们从 函数已有的泰勒展开式出发适当扩大条件和结论之 间的距离而得来。
1.改变形式
2.特殊化
3.重新组合
补函数 h(h(a)) a
f ( x) f 1 ( x)自反函数
yx
中介元
h(m) m
f ( x) x 函数不动点
（三）转语法Biblioteka Baidu
1.高等语言初等化
改变高等数学中的概念和定理的表述方式，将其转化 为等价的初等数学语言，借此回避高数概念，将高等 数学语言的思想隐藏在初等数学语言中。
二、对高观点的认识
●含义
用高等数学的知识、思想和方法来透视、剖析和解决 初等数学的问题。 能够借助实例和直观为中学生所接受的一些初步 知识，突出思想和方法,强调理解和应用,不追求 严格的证明和逻辑推理。 深化 浅化
初等数学
链结点
高等数学
三、高观点在新课程标准中的体现
●必修 向量、算法、概率统计 ●选修
四、高观点问题及评析
●高观点问题
以高等数学中的知识为背景或体现高等数学中常用的 数学思想方法和推理方法但用初等数学的语言来表述 的问题。
●主要特征
高角度
适切性
为高校选才
高
低落点 重能力 知识迁移 以能力立意
考
四、高观点问题及评析
浙江省义乌中学
(2013.03.15.)
方治
【发言提纲】
一.高观点的缘起 二.对高观点的认识 三.高观点在新课程标准中的体现 四.高观点问题的评析 五.对策与建议
一、高观点的缘起
19世纪末20世纪初由德国数学家克莱茵 和英国数学教育家贝利在英国发起并领 导的数学教学改革. 克莱茵 基础数学的教师应该站在更高的视角(高 等数学)来审视、理解数学问题，只有观 点高了，事物才能显得明了而简单；有 许多初等数学的现象只有在非初等的理 论结构内才能深刻地理解.
2.初等语言高等化
命制背景：构造一个新的运算，无实质的高等数学概 念和定理，仅仅运用语言上模仿高等数学的表述.诸 如这样的高考试题很多，2000年春季高考题目首次出 现新定义以来，高考试题中不断出现新定义的题目， 这样题目背景比较新颖，能有效考查学生创新能力， 又很难在课本上找到原型。
2.初等语言高等化
命制背景：本题考查等比数列经历不同的函数变化后 等比的“保持性”，引进了一个新的名称——保等比 数列函数，无实质的高等数学概念和定理，学生首先 要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关 键。
2.初等语言高等化
命制背景：本题不是考查某个确定的高等数学概念，但 是语言形式的呈现上是运用高等数学的形式描述集合， 有比较多的抽象的符号，具有高度的概括性和一般性， 既有逻辑语言的特点，又有矩阵语言的特征。
五、对策与建议
⑸数学符号是数学抽象思维的产物，是数学交流与传 播的媒介，是进行数学推理的工具，是数学发展的内 部动力。对数学符号语言的考查能够衡量一个人的数 学能力，因此需引起足够的重视，在平时的教学中应 该注重对学生进行符号语言的阅读、理解、转化、表 述、探究、调控能力的培养。
五、对策与建议
⑶改变综合复习中的“题海战术”、“资源战术”和 “频繁考试战术”，不过分追求解题的模式化、程式 化和技巧化，不热衷于归纳题型、记忆方法，靠机械 训练是难以应对高观点题。要引导学生认真构建数学 知识网络，寻求知识网络的交汇点，只有这样，才能 不断发展学生的数学能力，达到以不变应万变。 ⑷在不脱离中学数学的课程标准和教材的前提下，教 师可以对重要的概念和知识的联系上做必要的拓宽。 教师倘若能站在高等数学的角度，沟通初等数学与高 等数学的联系，居高临下地去释疑，将会更有利于学 生深刻领悟数学概念的精髓及其后续发展。
1.引入概念
1.引入概念
1.引入概念
2.引入定义与定理
2.引入定义与定理
（二）初化法
对高等数学中的问题、概念或原理特殊化，具体化， 低维化使之成为具体的初等化内容。它使得高等数学 中的一般、抽象的问题变成具体的、适合中学生做的 问题，有较强的综合性和新颖性。 1、改变形式
2、特殊化 3、重新组合
●总括
近几年的高考数学试题、样卷和模拟卷中，有许多背 景新、设问巧的“高观点”问题，合理分析这些试题 的来源，探寻这些试题命题方法，可为高三数学复习 教学提供一些新的生长点。
●命制方法
引用法，初化法，转语法，演变法
（一）引用法
将高等数学中的某些简单的命题、概念、定理移用为 高考数学试题的一种方法。在高等数学中，很多重要 的定义、定理都建立在初等数学知识之上，并且需要 或者能够用初等数学知识来解决的，这些高初知识的 衔接处为引用提供了试题命制的环境和条件。 1、引入概念 2、引入定义与定理
1.变化定理的条件与结论
2.以结论和定理做载体
四法并驱
引用法
初化法
有机 融合
转语法 演变法
五、对策与建议
⑴高观点问题的设计来源于高等数学或者模仿高等数 学的叙述方式，但解决的方法是中学所学的初等数学 知识，所以没有任何将高等数学引进高考的误导。
⑵掌握高等数学与初等数学的内在联系，多运用高观 点居高临下地分析和处理“高观点”下的高中数学问 题，并在高等数学与初等数学的衔接上尝试着用高等 数学知识编一些不脱离中学实际的“高观点”题。
2.初等语言高等化
借用高等数学语言表述初等内容，考核具有高等数学 背景的初数知识(思想方法)等。
1.高等语言初等化
命制背景：上面两题分别是近两年湖南省的高考题，一 文一理，命制的背景非常相似，都是基于正整数的二进 制表示，都是回避进制概念改用初等化描述的一种表现 。旨在考查学生在新环境下的运算能力、创新意识以及 创造性解决问题的能力.
（四）演变法
1.变化定理的条件与结论 着眼于已知的高等数学定理，从已知的高等数学定理 出发，将已知条件做等价变形，依此扩大条件和结论 之间的距离。 2.以结论和定理做载体
将高等数学中的结论作载体搭建高等数学与初等数学 的联系，这些载体类别多样，设置各种初等数学背景。
1.变化定理的条件与结论
命制背景：本题主要考查导数公式，以及利用导数， 通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化 思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。 观察例题15中的四个选项的命制，可以发现它们从 函数已有的泰勒展开式出发适当扩大条件和结论之 间的距离而得来。
1.改变形式
2.特殊化
3.重新组合
补函数 h(h(a)) a
f ( x) f 1 ( x)自反函数
yx
中介元
h(m) m
f ( x) x 函数不动点
（三）转语法Biblioteka Baidu
1.高等语言初等化
改变高等数学中的概念和定理的表述方式，将其转化 为等价的初等数学语言，借此回避高数概念，将高等 数学语言的思想隐藏在初等数学语言中。
二、对高观点的认识
●含义
用高等数学的知识、思想和方法来透视、剖析和解决 初等数学的问题。 能够借助实例和直观为中学生所接受的一些初步 知识，突出思想和方法,强调理解和应用,不追求 严格的证明和逻辑推理。 深化 浅化
初等数学
链结点
高等数学
三、高观点在新课程标准中的体现
●必修 向量、算法、概率统计 ●选修