北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 综合题专题复习

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合题专题复习

1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．

（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标；

（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标．

2．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围．

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）点为该抛物线上一动点P（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

4．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值；

（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．

5．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c

经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为线段OA上的动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N；若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

6．如图1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+k的顶点A在直线l：y＝x﹣3上，将抛物线沿直线l向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线l上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点．

（1）请直接写出k的值；

（2）若抛物线y＝x2+k与直线l：y＝x﹣3的另一个交点为C．当点B与点C重合时．求平移后抛物线的解析式；

（3）连接AB，BP，当△ABP为直角三角形时，求出P点的坐标．

7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，连接AD，AC，CD，BC，将抛物线沿着y轴平移，点C的对应点为点M，是否存在点M使得以M，B，C为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出平移后的抛物线表达式；若不存在，请说明理由．

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线L的对称轴．

（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

9．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），顶点为D．

（1）求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标；

（2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点A、D的对应点分别为A'、D'，是否存在以AD为边，且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由．

10．已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）若a＝3时，求此时抛物线的最大值；

（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；

（3）若直线CD交x轴于点G，求的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；

（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”．如图1，已知△ABC，A（﹣1，﹣8），B（9，2），C（﹣1，2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．

（1）填空：

①原点O与线段BC的“近距离”为；

②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O′坐标为（m，0），若正方形PQMN与△

ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为；

（2）已知抛物线C：y＝﹣+3x﹣a，且﹣1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；

（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，﹣2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤180°），将旋转中的△ABC记为△AB′C′，连接DB′，点E为DB′的中点，当正方形PQMN中心O′坐标为（5，﹣6），直接写出在整个旋转过程中点E 运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．

13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由．