实验六准备知识—MM1排队模型
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n 1 n 0 n 1
Ls
——因为是均值。
其中 1。问题：为什么 L s Lq 1(而不是 1）呢？
（2）Ws与Wq
首先可证，逗留时间W 服从参数为 的负指数分布， 而负指数分布的均值等 于其参数的倒数，故平均逗留时间 W
s
P0 1 P ( ) n (1 ), n 1 n
可解得状态概率：
记
，称为服务强度，规定 1（为什么？），则 P0 1 n P P0 n
3. 系统运行指标
（1）Ls与Lq
Ls 表示系统中的平均顾客数，由期望定义， Ls np n n n (1 ) (1 ) n n 1
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( W ) 1 P ( W ) 1 F ( ) e e 1.5 0.223。 4 4 4 1
2 。 5
1 人/分钟 10人/小时， 6
解：此为标准的M/M/1模型， 4人/小时，
3 (1) P0 1 ; 5 2 3 (2) P3 3 (1 ) ( ) 3 ( ) 0.0384; 5 5 2 (3) 1 P0 ; 5 4 2 (4) Ls (人/小时） ; 6 3 1 1 (5) W s Ls (小时/人） ; 6 2 2 4 (6) Lq Ls (人/小时） ; 3 5 15 1 1 1 1 (7) W q W s (小时/人） ; 6 10 15
0 1
2
...
n-1 n
n+1 ...
由此列出平衡方程：
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) P n , n 1
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
P0 P1 P n 1 P n 1 ( /1模型（M/M/1/ / ）
1.问题的一般提法
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn；
（2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 和 ，则
1
平均等待时间等于平均 逗留时间减去平均服务时间，即 1 W q W s
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls W
s
Lq W
q
L s Lq
W s W
q
1
一般的里特公式中 应为 e ，称有效到达率，即实 际进入 系统率。本模型中因系 统容量无限制，故 e 。
n 0 n 0 n 1
d d n (1 ) (1 ) d n 0 n 1 d d 1 1 (1 ) (1 ) 2 d 1 (1 )
n
1
Lq ( n 1) P n nP n P n Ls (1 P0 )
例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均 需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客 的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服 务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率。
Ls
——因为是均值。
其中 1。问题：为什么 L s Lq 1(而不是 1）呢？
（2）Ws与Wq
首先可证，逗留时间W 服从参数为 的负指数分布， 而负指数分布的均值等 于其参数的倒数，故平均逗留时间 W
s
P0 1 P ( ) n (1 ), n 1 n
可解得状态概率：
记
，称为服务强度，规定 1（为什么？），则 P0 1 n P P0 n
3. 系统运行指标
（1）Ls与Lq
Ls 表示系统中的平均顾客数，由期望定义， Ls np n n n (1 ) (1 ) n n 1
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( W ) 1 P ( W ) 1 F ( ) e e 1.5 0.223。 4 4 4 1
2 。 5
1 人/分钟 10人/小时， 6
解：此为标准的M/M/1模型， 4人/小时，
3 (1) P0 1 ; 5 2 3 (2) P3 3 (1 ) ( ) 3 ( ) 0.0384; 5 5 2 (3) 1 P0 ; 5 4 2 (4) Ls (人/小时） ; 6 3 1 1 (5) W s Ls (小时/人） ; 6 2 2 4 (6) Lq Ls (人/小时） ; 3 5 15 1 1 1 1 (7) W q W s (小时/人） ; 6 10 15
0 1
2
...
n-1 n
n+1 ...
由此列出平衡方程：
P0 P1 P n 1 P n 1 ( ) P n , n 1
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
P0 P1 P n 1 P n 1 ( /1模型（M/M/1/ / ）
1.问题的一般提法
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn；
（2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达 与服务率分别为 和 ，则
1
平均等待时间等于平均 逗留时间减去平均服务时间，即 1 W q W s
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls W
s
Lq W
q
L s Lq
W s W
q
1
一般的里特公式中 应为 e ，称有效到达率，即实 际进入 系统率。本模型中因系 统容量无限制，故 e 。
n 0 n 0 n 1
d d n (1 ) (1 ) d n 0 n 1 d d 1 1 (1 ) (1 ) 2 d 1 (1 )
n
1
Lq ( n 1) P n nP n P n Ls (1 P0 )
例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均 需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客 的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服 务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率。