空间向量的坐标表示、运算及应用

③根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组
；
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有
______个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 6．利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角
设直线 l，m 的方向向量为 a，b，平面 α，β的法向量分别为 u，v，则
第第八一章章
集立合与体常几用逻何辑用语
8．7 空间向量的坐标表示、运算及应用
1．空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数 组____________，使得__________________．其中，{a，b，c}叫做空间的一 个________，a，b，c 都叫做__________． 2．空间直角坐标系 (1)如果空间的一个基底的三个基向量____________，且长都为______， 则这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}来表示(其中|i|＝|j|＝|k|＝1)．
方法二：若 e1，e2 为平面 α 的一组基底，则
l⊥α⇔aa⊥ ⊥ee12，⇔a·e1＝a·e2＝0.
(5)面面平行：α∥β⇔____________⇔____________．
(6)面面垂直：α⊥β⇔____________⇔____________．
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(7)线线夹角：l，m 的夹角为 θ0≤θ≤π2，cosθ＝
7．距离 (1)点到直线的距离 设过点 P 的直线 l 的方向向量为单位向量 n，A 为直线 l 外一点，点 A 到直线 l 的距离 d＝______________(如图 3)．
图3
图4
(2)点到平面的距离
设 P 为平面 α 内的一点，n 为平面 α 的法向量，A 为平面 α 外一点，
点 A 到平面 α 的距离 d＝
．
(8)线面夹角：l，α的夹角为 θ0≤θ≤π2，sinθ＝
．
(9)面面夹角：α，β的夹角为 θ0≤θ≤π2，cosθ＝
．
注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合； (2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即 0≤θ≤π2，而二面角的大
(3)建系时，一般使∠xOy＝135°(或 45°)，∠yOz＝90°，建立____手直角坐标系． (4)在空间直角坐标系中有一点 A，若O→A＝xi＋yj＋zk，则有序实数组____________叫 做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作______________．其中 x 叫做点 A 的横坐标， y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的________． 3．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a，b 是非零向量，则 (1)向量加法：a＋b＝__________________． (2)向量减法：a－b＝__________________． (3)数乘：λa＝________________． (4)数量积：a·b＝________________． (5)平行：a∥b(b≠0)⇔_________⇔x1＝λx2，________，__________． (6)垂直：a⊥b⇔__________⇔________________．
(2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{i，j，k}，以 O 为原点，分
别以 i，j，k 的方向为正方向建立三条数轴：__________________________， 它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，点 O 叫做 原点，向量 i，j，k 都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平 面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．
(7)向量 a 的模|a|＝__________＝____________．
(8)向量 a 与 b 夹角公式： cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝______________．
(9)点坐标和向量坐标：若点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A→B＝____________________，
| | 线段 AB 的长度 dAB＝ A→B ＝______________________________．
4．直线的方向向量 (1)与直线 l________的非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量． (2)空间中任意一条直线 l，可以通过 l 上的一个定点 A 和 l 的一个方向向量 a 来确定．设 点 P 是 l 上的任意一点，则 l 有向量表示形式____________，其中 t 为实数，这种形式叫做 直线的点向式．注意同一条直线的点向式表示不唯一． 5．平面的法向量和法向量的求法 (1)平面的法向量 已知平面 α，直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则________叫做平面 α 的法向量． (2)平面的法向量的求法 ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角 θ 的大小来定义，它的取值范围为
____________，若设 u，v 的夹角为 φ，当 u，v 均指向二面角内部或外部时(如图 1)，二面角的大
小为θ＝π－φ，cosθ＝cos(π－φ)＝－cosφ＝－|uu|·|vv|；当 u，v 一个指向二面角内，另一个指向二 面角外时(如图 2)，二面角的大小为 θ＝φ，cosθ＝cosφ＝|uu|·|vv|.
(如图 4)．
(3)线面距离、面面距离都可以转化为______________．
自查自纠
1.{x，y，z} p＝xa＋yb＋zc 基底 基向量
(1)线线平行：l∥m⇔____________⇔____________．
(2)线线垂直：l⊥m⇔____________⇔____________． (3)线面平行：l∥α⇔____________⇔____________． (4)线面垂直，方法一：l⊥α⇔__________⇔__________；