2019届江西省景德镇市高三第二次质检理科数学试题

景德镇市2019届高三第二次质检试题

数学（理科）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则集合中元素个数为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

2.若（，为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计事件发生的概率为（）

A. B. C. D.

4.设函数，若角的终边经过，则的值为（）

A. B. 1 C. 2 D. 4

5.已知实数，满足不等式组，若的最小值为9，则实数的值等于（）

A. 3

B. 5

C. 8

D. 9

6.若直线（，）过点，当取最小值时直线的斜率为（）

A. 2

B.

C.

D.

7.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A. B.

C. D. 4

8.已知正四面体的内切球的表面积为

，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体

，

则所得截面的面积为 A.

B. C. D.

9.已知同时满足下列三个条件： ①时，

的最小值为

②是偶函数：

③

若在有最小值，则实数

的

取值范围可以是（ ）

A.

B.

C.

D.

10.已知点在双曲线

上，，分别为双曲线的左右焦点

，若外

接圆面积与其内切圆面积之比为.则双曲线的离心率为（ ）

A.

B. 2

C.

或

D. 2或3

11.定义在上函数

满足，对任意

，都有

，非零实数，满足

，则下列关系式中正确的是（ ） A.

B.

C.

D.

12.已知

，为坐标原点，

为

的一条切线，点为

上一点且满足

（其中

，

），若关于,的方程

存在两组不同的解，则实数的取值范围

为（ ）

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知

的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.

14.已知两个单位向量，的夹角为

，

，

，则

_________.

15.公元前6世纪，古希腊的

毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若

，则

_________.

16.函数

的图像经过四个象限，则实数的取值范围是_________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

17.已知首项为1的等差数列的前项和为，已知为与的等差中项.数列

满足

.

（1）求数列与

的通项公式； （2）求数列的前项和为.

18.如图，在四棱锥

中，

，

，

，平面平面

，

.

（1）求证：平面；

（2）求平面

与平面

夹角的余弦值，

19.如图甲是某商店2018年（按360天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图.

（1）请计算出该商店2018年日盈利额的平均值（精确到0.1，单位：万元）：

（2）为了刺激消费者，该商店于2019年1月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前5天抽奖活动的人数进行统计如下表：（表示第天参加抽奖活动的人数）

经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.

（ⅰ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程：

（ⅱ）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆.每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会.抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元.若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？

（3）用（1）中的2018年日盈利额的平均值去估计当月（共31天）每天的日盈利额.若商店每天的固定支出约为1000元，促销活动日的日盈利额比平常增加20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到0.1，纯利润=盈利额-固定支出-抽奖总奖金数）

参考公式及数据：，，，.

20.已知，是离心率为的椭圆两焦点，若存在直线，使得，关于的对称

点的连线恰好是圆的一条直径.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当

时，直线是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.

21.函数.

（1）若，在上递增，求的最大值；

（2）若，存在，使得对任意，都有恒成立，求的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线是以坐标原点为顶点，直线为准线的抛物线.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）分别求出直线与曲线的极坐标方程：