数学归纳法公开课课件

3
则当n=k+1时， 1 2 2 来自百度文库3 3 4 ... k (k 1)
( k 1)(k 2)
从n=k到n=k+1有什么变化
＝
=
1 k ( k 1)(k 2) + 3
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题 递推基 础 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：
n0 1或2等）时命题成立 （1）证明当 n 取第一个值 n （如 0
（2）假设 n k ( k N 且k n0 ) 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成立 递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
例1 如果 {an } 是等差数列，已知首项为a1 公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明

在验证 n = 1 时，左端计算所得的项为 A．1 B．1 + a C．1 + a + a2 D．1 + a + a2 + a3 （ ）
1 2、求证：1+2+3+…+n= n(n+1 ) 2
作业：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•
1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础） （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
数学归纳法
举例说明：
一个数列的通项公式是： an= (n2－5n+5)2 请算出a1= 1，a2= 1，a3= 1 ，a4= 1 猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n 5n 5) 1
2 2

由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
a3 a1 2d a4 a1 3d
a3 a2 d a4 a3 d
......
......
由a1 , a2 , a3 , a4的表达式, 我们得到 :
对一切n N , 都有
*
an a1 n 1 d
像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理 方法，叫做归纳法。
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
课堂小结
例3：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
3
1 n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k ( k 1)(k 2)
1
右边＝
1 等式成立。
1 3 5 ........... (2k 1) [2(k 1) 1]
[1 2( k 1) 1]( k 1) 2 ( k 1) 2 即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
第二步证明
中没有用到假 设，这不是数 学归纳法证明。
数学归纳法
课题引入
观察数列 {an },已 知a1 1, an1 1 1 a2 , a3 , a 1 , 4 2 3 4
an , 1 an
1 猜想归纳通项公式 : an n
不完全归 纳法
回想等差数列通项公式的推导过程：
a2 a1 d
a2 a1 1d
a3 a2 d a4 a3 d
思考： 步骤 (1) 中n取的第一个值n0一 定是1吗？为什么？
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形 n n 3 的对角线的条数是 2 此时n取的第一值 n0 3
课堂练习
1 a n 2 1、用数学归纳法证明：“1 + a + a2 +…+an+1= 1 a (a≠1)”，
1 ( 2)假设当n k时，ak 成立，则当n k 1时， k 1 ak 1 k ak 1 ，也成立， 1 ak 1 1 k 1 k 1 综上（ 1 ）（2）知，an . n
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① ② ③ 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，
这就是说，n＝k+1时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立 该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提 下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早 事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
思考2：下面是某同学 用数学归纳法证明等式 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 1 （n∈N＊） 2 3 2 2 2 2n 2n 成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？ 第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合 数学归纳法的证明要求 1 1 证明：①当n=1时，左边＝ 1 , 右边＝ 1 1 , 等式成立 2 2 2 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ 1 , ②假设n=k时，等式成立， 即 2 3 k k 2 2 2 2 2
1 [1 ( 1 )k 1 ] 1 . 2 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 1 2 1 k 1 1 2 2 2 23 2 2 k 2k 1 1 2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
那么n=k+1时
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
因此，用数学归纳法证明命 题的两个步骤，缺一不可。第一 步是递推的基础，第二步是递 推的依据。缺了第一步递推失 去基础；缺了第二步，递推失去 依据，因此无法递推下去。
并 用上假设。
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某 同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同 学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
an 对于数列 {an }，已知a1 1，an 1 (n 1,2,3, ), 1 an 1 证明：an n 1 证明：（1 ）当 n 1时， a1 1成立； 1
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立

例2
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
用数学归纳法证明:当
n N

2
②设n=k时，有 1 3 5 ......... (2k 1) k 2 则，当n=k+1时
证明：（1）当n=1时， 左边
a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d ,
那么 a a d [a1 (k 1)d ] d k 1 k
a1 [(k 1) 1]d
上述证明对吗？为什么？
正确解法：用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝
注意：递推基础不可少，
n2
证明： （1）当n=1时，左边＝1，右边＝ 1，等式成立。 归纳假设要用到， （2）假设当n＝k时，等式成立，即 （假设） 结论写明莫忘掉。 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 证 那么当n=k+1时 明 传 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ 递 ＝ k2 + [2(k+1)－1］ 性 （利用假设） ＝ k2＋2k＋1 （凑结论） ＝ （k+1）2 即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
对于某些与 正整数n 有关的命题常常采用下面的 方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0时命题成立；
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基