线性规划难题集锦解析版

线性规划难题集锦解析版

1．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠

APB=α，则当α最小时cosα的值为（）

A．B．C．D．

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，

则P到圆心的距离最大即可，

由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，

由，解得，即D（﹣4，﹣2），

此时|OD|=，|OA|=1，

则，即sin=，

此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，

故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．

2．设m∈R，实数x，y满足，若|2x+y|≤18恒成立，则实数m的取值范围

是（）

A．﹣3≤m≤3B．﹣6≤m≤6C．﹣3≤m≤6D．﹣6≤m≤0

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．

【分析】将不等式恒成立问题转化为平面区域在两条直线之间利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由|2x+y|≤18得﹣18≤2x+y≤18，

若|2x+y|≤18恒成立，

等价为不等式组对应的平面区域

都在直线2x+y=18和2x+y=﹣18之间，

即对应的两个直线（红色）之间，

作出不等式组对应的平面区域如图，

由得，即A（6，6），此时A满足条件.2x+y=18，

由得，

即B（﹣，﹣3），

要使不等式组对应的平面区域都在两条直线之间，

则直线y=m满足在直线y﹣=﹣3和y=6之间，

则﹣3≤m≤6，

故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转化为平面区域在两条直线之间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

3．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1，+ln2]

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】由已知得到ln=，求出的范围，利用函数求导求最值．

【解答】解：由正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，得到，∈[，e]，

ln=，

设t=，则，t∈[，2]，

f'（t）=，令f'（t）=0，得到t=1，

所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；

当t=1时函数的最小值为f（1）=1+ln1=1；

又f（2）=+ln2，f（）=e﹣1，．

又f（）﹣f（2）=e﹣ln2﹣＞e﹣lne﹣=e﹣2.5＞0，

所以f（）＞f（2），

所以ln的取值范围为[1，e﹣1]；

故选B．

【点评】本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值．属于难题．

4．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则≥的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，得到当直线得z=x+2y截距最小时z最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入x=a求出a的值，利用

≥的几何意义，转化求解概率即可．

【解答】解：由变量x、y满足约束条件画出可行域如图，

由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小．

由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意．

联立，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3．

则≥的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过，

由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），

直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），

∴则＜的概率：=，

则≥的概率是：1﹣=．

故选：D．

【点评】本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难题．

5．已知实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，则的取值范围是（）

A．[1，4]B．[，4]C．[1，]D．[，]

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想．

【分析】画出x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即可．

【解答】解：实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：

则==，表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，解得

A（，﹣）．B（﹣，），k

==

PB

则==，

令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，

由题意可得：，可得k=0或k=，

∈[，]，

1﹣∈[，]．

∴∈[，4]．

故选：B．

【点评】本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义的转化与求解是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．

6．已知平面直角坐标系中点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足

（，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域，若区域D的面积为8，则b的值为（）

A．3B．4C．5D．6

【考点】7C：简单线性规划；9H：平面向量的基本定理及其意义．

【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；4R：转化法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆；5T：不等式．

【分析】设P点坐标，根据向量数量积的坐标运算，求得λ和μ，由λ和μ的取值范围，即

可求得，画出可行域，求得E和F点坐标，利用两点之间的距离公式求得|EF|，根据两平行线之间的距离公式，求得3y﹣x﹣4=0与3y﹣x+4﹣8b=0距离为，根据平行四边形的面积公式，即可求得b的值．