相似三角形模型分析大全

第一部分 相似三角形模型分析大全

一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A

字型（斜A 字型）

（平行）

（不平行）

（二）8

字型、反8字型

（蝴蝶型）

（平行） （不平行） （三）母子型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

B

B

C

B C

B

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。 8字

型拓展

B

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．

求证：（1）DA DE DB ⋅=2

； （2）DAC DCE ∠=∠．

例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC

于E 、F ．

求证：EG EF BE ⋅=2

．

A

C

D

E

B

点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习：

1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2

．

2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：

FC FB FD ⋅=2．

3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．

双垂型

1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED

解答：证明：（1）∵CE ⊥AB

于

E ，B

F ⊥AC

于

F ，

（第4题图）

∴∠AFB=∠AEC，∠A为公共角，

∴△ABD∽△ACE（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，∠A为公共角，

∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）

(3)∵△ADE∽△ABC

∴AD：AB=DE：BC

又∵∠A=60°∴BC=2ED

共享型相似三角形

120，已知BD=1，CE=3，,求1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=

等边三角形的边长.

如图∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°

又∵DBCE在一条直线上

∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°

∵∠DAE=120°

∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°

由上可知∠ADB=∠CAE，∠DAB=∠CAE

∴△DAB∽△AEC

∵三角形相似对应边成比例

∴BD／AC=AB／CE

∵BD=1，CE=3

∴AB=AC=√3

2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22

．

解答

：

证

明

：

（

1

）

在

Rt

△

ABC

中

， ∵AB=AC

，

∴∠B=∠C=45°．

（1分） ∵∠BAE=∠BAD+∠

DAE ，

∠DAE=45

°， ∴∠BAE=∠BAD+45°． （1分） 而∠ADC=

∠BAD+∠

B=∠BAD+45

°，

（1分

） ∴∠BAE=∠

CDA

． （1分） ∴

△

ABE

∽△DCA

． （2

分） （2）由△ABE ∽△DCA ，得． （2

分） ∴BE •CD=AB •AC ．

（1

分

） 而AB=AC

，

BC 2

=AB 2

+AC

2

，

∴BC 2

=2AB 2

． （2

分） ∴

BC 2

=2BE

•

CD

．

（

1

分

）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD

D C A