10.3-10.4格林函数-武汉大学数学物理方法

一、泊松方程的格林函数
1、三维： Δ G = −δ ( M − M 0 ) 1 ∂ 2 ∂G ΔG = 2 (r ) = −δ ( r ) ∂r r ∂r 1 (1) 若 r ≠ 0 : G = − C1
10.3-10.4 格林函数
• M
• M0 • M 0
τε
r
ε
( 2 ) 若 r = 0 : 考虑 : ∫∫∫τ Δ Gdv = − ∫∫∫τ δ ( r )dv = − 1
ρ r υ • ρ 0
r1
•
0
M1
•
M0
(a
2
+ ρ 2 − 2aρ cos γ
)
3 2
sin θ 0 dθ 0 dϕ0
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四、注释
3、对于圆内的狄氏问题：
G=
10.3-10.4 格林函数
⎧Δu = 0 , ρ < a ⎨ ⎩u |ρ = a = f (ϕ )
1 u(M ) = 2π
求u → 求G → 求M点电位 → 求感应电荷产生的电位 g
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三、用电像法求狄氏格林函数
2、用电像法求 g ：
10.3-10.4 格林函数
(1) 分析：若能在σ外的某点M 1放一适当的负q, 则 −q M• r1 Δ( ) = 0, M ∈ ρ < a 4πε 0 r1 ρ r + ε0 • M • q 1 0 使： − |ρ =a = − |ρ =a 4πε 0 r1 4π r
→
10.3-10.4 格林函数
1、 cos γ = ?
→
设 I 为OM 方向单位向量, I 0 为OM 0 方向单位向量
→
→
则 I = x i + y j + z k = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cosθ k → r r r r r r I 0 = x0 i + y0 j + z0 k = sin θ 0 cos ϕ 0 i + sin θ 0 sin ϕ 0 j + cos θ 0 k v v v v ∴ I ⋅ I 0 = I ⋅ I 0 cos γ = cos γ M • r1 • M ρ r = sin θ cos ϕ sin θ 0 cos ϕ 0 • M υ • ρ 0 + sin θ sin ϕ sin θ 0 sin ϕ 0 + cos θ cos θ 0
Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
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第十章 格林函数法
§10.3- §10.4 格林函数 Green’s Functions
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∫
2π
0
a2 − ρ 2 f (ϕ 0 ) 2 dϕ 0 2 a + ρ − 2aρ cos(ϕ − ϕ 0 )
1 1 ln + g 2π r ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ ln |ρ = a g |ρ =a = − ⎪ 2π r ⎩
4、对于圆外的狄氏问题：
⎧Δu1 = 0 , ρ > a ⎨ ⎩u1 |ρ = a = f (ϕ )
a 使 ρ 0 ⋅ ρ1 = a
2
10.3-10.4 格林函数
M • M•
a
υυ M • ρ M 00 • 0 ρ 0 0
0
ρ rr
+ +εε 0
r1r 1
0
••
• M M11
•
即
ρ0
=
a
b) q = ?
1 |σ = ? r
a
Q ΔOM 0 M ∽ ΔOM 1M
a ρ0 1 r ∴ = = , 即 |ρ =a = |ρ = a a ρ1 r1 r r1
2 r = ρ 2 + ρ0 − 2 ρρ 0 cos γ
2 − ρ2 − r2 ∂ 1 ρ0 = 2 ρr 3 ∂ρ r
10.3-10.4 格林函数 M
•
ρ r υ • ρ 0
r1
•
M1
•
M0
0
r1 = ρ 2 + ρ12 − 2 ρρ1 cos γ
ρ 02 − a 2 − r 2 ∂ ⎛1⎞ → ⎜ ⎟ = ∂ρ ⎝ r ⎠ ρ = a 2ar 3
1 0
0
→
→
→
→
→
→
→
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四、注释
2Biblioteka Baidu对于球外的狄氏问题：
10.3-10.4 格林函数
M •
⎧Δu1 = 0 , ρ > a ⎨ ⎩u1 |ρ = a = f ( M )
u1 ( M ) = −u ( M )
− a 2π π u1 ( M ) = f (θ 0 , ϕ 0 ) ∫ ∫ 0 0 4π a2 − ρ 2
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ρ0
三、用电像法求狄氏格林函数
2、用电像法求 g ： （2）求球域的G
10.3-10.4 格林函数
ε 0a − ε0 a ρ0 − a ρ0 q= g = = ρ0 4 πε 0 r1 4 π r1 ε 0a a ρ0 1 −q = − 是ε 0的电像 − G= ρ0 4πr 4πr1
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类似有:
2 2 2 2 a ∂ ⎛1⎞ a ρ12 − a 2 − r1 a r − − ρ 0 ⎜ ⎟ = = 3 ⎟ ρ 0 ∂ρ ⎜ ρ r 2 ar 0 ⎝ 1 ⎠ ρ =a 2ar 3 1
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∂G ∂n
ρ =a
1 ρ −a = 4πa r 3
2 0
2
三、用电像法求狄氏格林函数
a u(M ) = 4π
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∫ ∫
0
2π
π
0
f (θ 0 , ϕ 0 )
a2 − ρ 2
(a
2
+ ρ 2 − 2aρ cos γ
)
3 2
sin θ 0 dθ 0 dϕ 0
10.3-10.4 格林函数
本节作业
习题 10.3：1; 习题 10.4：1;2 ;3
Good-by!
∫ ∫
0
2π
π
0
f (θ 0 , ϕ 0 )
a2 − ρ 2
(a
2
+ ρ 2 − 2aρ cos γ
)
3 2
sin θ 0 dθ 0 dϕ 0
－球的泊松积分公式
其中，cosγ = sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ0 ) + cos θ cos θ 0
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四、注释
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三、用电像法求狄氏格林函数
⎧Δu = 0 , ρ < a 求解球内的狄氏问题： ⎨ ⎩u |ρ = a = f ( M )
10.3-10.4 格林函数
1、问题的引入：
∂G dσ 0 解： u ( M ) = − ∫∫σ f ( M 0 ) ∂n0 Δg = 0, M ∈ ρ < a ⎧ 1 G(M , M 0 ) = + g ;⎪ 1 ⎨ 4π r g |ρ = a = − |ρ = a ⎪ 4πr ⎩
3、求 u ( M )
u ( M ) = − ∫∫
σ
10.3-10.4 格林函数
1 2π π = f (θ 0 , ϕ 0 ) ∫ ∫ 4πa 0 0
∂G f (M 0 ) dσ 0 ∂n0
a2 − ρ 2
2
(a
+ ρ 2 − 2aρ cos γ
)
2 a sin θ 0 dθ 0 dϕ 0 3 2
a u(M ) = 4π
ε ε
r
又
∫∫∫τ ΔGdv = ∫∫∫τ
ε
∇ ⋅ ∇ Gdv =
ε
(1), ( 2 ) →
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G=
1 4π r
∇ G ⋅ d σ = C1 4π ε 1 → C1 = − , 4π －泊松方程格林函数。
∫∫σ
v
一、泊松方程的格林函数
2、二维： Δ G = −δ ( M − M ) 0
G(M , M 0 ) =
则
M ∈τ
+g
－狄氏格林函数
⎧Δg = 0, M ∈τ ⎪ 1 ⎨ g |σ = − |σ ⎪ 4πr ⎩
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二、狄氏格林函数
2、二维：
10.3-10.4 格林函数
⎧ΔG = −δ ( x − x0 , y − y0 ) ⎨ ⎩G |l = 0
⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) , M ∈τ → G(M , M ) = 1 + g ⎨ 0 | = 0 G σ ⎩ 4π r a ρ0 1 − ρ < a: G = Δg = 0 4πr 4πr1 ⎧ ⎪ ⎨ 1 |σ g |σ = − ⎧Δu = 0 , ρ < a ⎪ ⎩ 4πr ⎨ ⎩u |ρ = a = f ( M )
2π 0
u1 ( M ) = −u ( M )
1 u(M ) = 2π
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∫
ρ 2 − a2 f (ϕ 0 ) 2 dϕ 0 2 a + ρ − 2aρ cos(ϕ − ϕ 0 )
五、小结
Δ G = −δ ( M − M 0 ) →
G= 1 4π r
10.3-10.4 格林函数
二、狄氏格林函数
10.3-10.4 格林函数
1、三维： ⎧ΔG = −δ ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) , M ∈τ
⎨ ⎩G |σ = 0 令 G(M , M 0 ) = F (M , M 0 ) + g (M , M 0 )
1 4π r
使 ΔF ( M , M 0 ) = −δ ( M − M 0 )
0
g
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二、狄氏格林函数
3、狄氏格林函数的物理意义：
10.3-10.4 格林函数
求G → 求M点电位 → 求感应电荷产生的电位 ⎧Δg = 0 , M ∈τ 对于三维 : ⎪ 即求 : ⎨ 1 g |σ = − |σ ⎪ 4πr ⎩ 对于二维 :
⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 即求 : ⎨ 1 1 g |l = − ln |l ⎪ 2π r ⎩
－狄氏格林函数
1 1 类似 G = ln + g 2π r ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ g |l = − ln |l ⎪ 2π r ⎩
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二、狄氏格林函数
10.3-10.4 格林函数
3、狄氏格林函数的物理意义： ⎧ΔG = −δ ( M − M 0 , ) , M ∈τ ⎨ M ⎧Δg = 0, M ∈τ r ⎩G |σ = 0 ε0 ⎪ 1 M 1 ⎨ G(M , M 0 ) = +g g |σ = − |σ ⎪ 4π r 4πr ⎩ σ 1 ε0 1 ⎧ ⎪ε 0 提供 : 4πε r = 4πr 0 ⎪ ⎪ G − M点电位⎨ ⎧Δv = 0, M ∈τ ∴ v = ⎪感应电荷提供 v : ⎪ 1 ⎨ ⎪ |σ v |σ = − ⎪ ⎪ 4πr ⎩ ⎩
0
−q
M1
•
则 g=−
q 4πε 0 r1
∴求g → a)确定M 1的位置；b)确定q大小问题
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三、用电像法求狄氏格林函数
2、用电像法求 g ： （2）求球域的G a ) r1 = ? 记 OM 0 = ρ 0 , OM 1 = ρ1
ρ1 则称M 1为M 0关于球面ρ = a的像
(3)电像法：这种在像点放一虚构的点电荷，来等 效代替边界面上的感应电荷所产生的电位的方法 称之为电像法
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三、用电像法求狄氏格林函数
3、求 u ( M )
∂G 1 ⎡ ∂ ⎛ 1 ⎞ a ∂ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎜ ⎟ = ⎥ ⎢ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ∂n 4π ⎣ ∂ρ ⎝ r ⎠ ρ 0 ∂ρ ⎝ r1 ⎠⎦
10.3-10.4 格林函数
1 ∂ ∂G ΔG = (r ) = −δ ( r ), r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ∂r r ∂r v ∫∫ ∇ ⋅ ∇ ud σ = ∫ ∇ u ⋅ d l
σ
l
1 1 G(M , M 0 ) = ln 2π r
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