2019年5月浙江省嘉兴市第一中学2019年高考数学仿真押题卷(一)及解析

2019年5月份浙江省学考选考嘉兴一中高中数学仿真试卷(一)
及解析
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(4分)己知＝b+i(a∈R,b∈R),则a+b＝()
A.﹣1
B.1
C.2
D.3
2.(4分)已知集合,则A∩B＝()
A.(1,+∞)
B.
C.
D.
3.(4分)已知数列{a n}的首项为1,且a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1对于所有大于1的正整数n都成
立,S3+S5＝2a9,则a6+a12＝()
A.34
B.17
C.36
D.18
4.(4分)有关数据表明,2018年我国固定资产投资(不含农户,下同)635636亿元,增长
5.9%.其中,
第一产业投资22413亿元,比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元,增长6.2%；第三产业投资375324亿元,增长5.5%.另外,2014﹣2018年,我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如图所示.
根据以上信息可知,下列说法中：
①2014﹣2018年,我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；
②2014﹣2018年,我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；
③≈5%；
④≈96.5%.
不正确的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
5.(4分)已知f(x)是奇函数,且对任意＞0.设a＝f(),b＝f(log37),c＝f(﹣0.83),
则()
A.b＜a＜c
B.c＜a＜b
C.c＜b＜a
D.a＜c＜b
6.(4分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的
体积为()
A. B. C.4+2π D.4+π
7.(4分)若函数f(x)＝x﹣sin2x+a sin x在(﹣∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是()
A.[﹣1,1]
B.[﹣1,]
C.[﹣,]
D.[﹣1,﹣]
8.(4分)(1﹣x)4(1+x)5的展开式中x3的系数为()
A.4
B.﹣4
C.6
D.﹣6
9.(4分)已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的左右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线
l与双曲线的右支交于M、N两点,若A1M⊥A2N,则双曲线的离心率等于()
A. B. C. D.
10.(4分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,一只蚂蚁在该正方体的表面上爬行,在爬
行过程中,到点A的直线距离恒为,它爬行的轨迹是一个封闭的曲线,则曲线的长度是()
A. B. C.2π D.3π
二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.(4分)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,则m的取值范围是.
12.(4分)当输入a的值为16,b的值为12时,执行如图所示的程序框图,则输出的a的结果是
13.(6分)在△ABC中,若b＝2,A＝120°,三角形的面积S＝,则c＝；三角形外接圆
的半径为.
14.(6分)已知向量、满足||＝1,||＝2,则|+|+|﹣|的最小值是,最大值
是.
15.(4分)已知实数f(x)＝,若关于x的方程f2(x)+f(x)+t＝0有三个不同的实根,
则t的取值范围为.
16.(4分)在△ABC中,AB＝1,BC＝,CA＝3,O为△ABC的外心.若＝m•+n•,其中
m,n∈[0,1],则点P的轨迹所对应图形的面积是.
17.(4分)如图,点F是抛物线y2＝8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x﹣2)2+y2＝16的实线
部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△F AB的周长的取值范围是.
三、解答题：本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a sin B＝b sin(A+).
(1)求A；
(2)若b,a,c成等差数列,△ABC的面积为2,求a.
19.已知数列{a n}满足：a1＝1,点(a n,a n+1)(n∈N*)在直线y＝2x+1上.
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中你的猜想.
20.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E,F分别是B1C1,AB,AA1的中点.
(1)求证：EF∥平面A1BD；
(2)若A1B1＝A1C1,求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.
21.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(,1)在椭圆C上,且满
足•＝1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设倾斜角为45°的直线l与C交于A,B两点,记△OAB的面积为S,求S取最大值时直
线l的方程.
22.已知函数f(x)＝x2﹣3ax+a2lnx(a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意的x≥e2(e为自然对数的底数),f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
2019年浙江省嘉兴一中高中数学仿真试卷(一)(5月份)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【解答】解：由,
得a+2i＝﹣1+bi,
∴a＝﹣1,b＝2,则a+b＝1.
故选：B.
2.【解答】解：；
∴A∩B＝(1,+∞).
故选：A.
3.【解答】解：数列{a n}的首项为1,且a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1,
所以：2a n＝a n﹣1+a n+1,
所以：数列{a n}为以1为首项,公差为d的等差数列.
由于S3+S5＝2a9,
则：3+3d+5+10d＝2+16d,
解得：d＝2,
故：a n＝1+2(n﹣1)＝2n﹣1,
所以：a6+a12＝2a9＝2×(2×9﹣1)＝34.
故选：A.
4.【解答】解：对于①,2014﹣2018年,我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加,①正
确；
对于②,2014﹣2018年,我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加,由2018年所占比为37.4%,高于2017年的37.3%,∴②错误；
对于③,≈3.5%,∴③错误；
对于④,≈96.5%,④正确.
综上,不正确的命题序号为②③,共2个.
故选：B.
5.【解答】解：根据题意,f(x)对于任意的x1、x2,满足＞0,则函数f(x)在R上
为增函数,
又由﹣0.83＜0＜＝log3＝log3＜log37,
则c＜a＜b；
故选：B.
6.【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与半圆柱的组合体,
且三棱柱与半圆柱的高都是2,三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面,
三棱柱的底面为等腰直角三角形,且腰长为2,
半圆柱的底面半径为1,
∴几何体的体积V＝×2×22+×π×12×2＝4+π.
故选：D.
7.【解答】解：函数f(x)＝x﹣sin2x+a sin x的导数为f′(x)＝1﹣cos2x+a cos x,
由题意可得f′(x)≥0恒成立,
即为1﹣cos2x+a cos x≥0,
即有﹣cos2x+a cos x≥0,
设t＝cos x(﹣1≤t≤1),即有5﹣4t2+3at≥0,
当t＝0时,不等式显然成立；
当0＜t≤1时,3a≥4t﹣,
由4t﹣在(0,1]递增,可得t＝1时,取得最大值﹣1,
可得3a≥﹣1,即a≥﹣；
当﹣1≤t＜0时,3a≤4t﹣,
由4t﹣在[﹣1,0)递增,可得t＝﹣1时,取得最小值1,
可得3a≤1,即a≤.
综上可得a的范围是[﹣,].
另解：设t＝cos x(﹣1≤t≤1),即有5﹣4t2+3at≥0,
由题意可得5﹣4+3a≥0,且5﹣4﹣3a≥0,
解得a的范围是[﹣,].
故选：C.
8.【解答】解：(1﹣x)4(1+x)5＝(1﹣4x+6x2﹣4x3+x3)(1+5x+10x2+10x3+5x4+x5),
故展开式中x3的系数为10﹣40+30﹣4＝﹣4,
故选：B.
9.【解答】解：设直线l的方程为x＝m,M(m,n),m,n＞0,
可得N(m,﹣n),A1(﹣a,0),A2(a,0),
A1M⊥A2N,可得•＝﹣1,
化为n2＝m2﹣a2,①
又﹣＝1,即有n2＝b2•,②
由①②可得a2＝b2,c2＝2a2,
即e＝＝.
故选：B.
10.【解答】解：根据题意,封闭的曲线上的点到点A的距离恒为,
则曲线只能在侧面BB1C1C、侧面DD1C1C和上底面A1B1C1D1上,
则在侧面BB1C1C上,曲线为以B为圆心,半径为2的圆,其长度为×2＝π,在侧面DD1C1C上,曲线为以D为圆心,半径为2的圆,其长度为×2＝π,在上底面A1B1C1D1上,曲线为以A1为圆心,半径为2的圆,其长度为×2＝π,则曲线的长度是π+π+π＝3π；
故选：D.
二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.【解答】解：若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,
则{x|x＞m}⊊{x|x＞2},
即m＞2,
即实数m的取值范围是m＞2,
故答案为：m＞2
12.【解答】解：由程序框图可得：
a＝16,b＝12
此时有a＞b,可得：a＝16﹣12＝4,
此时有b＞a,可得：b＝12﹣4＝8,
此时有b＞a,可得：b＝8﹣4＝4,
此时a＝b＝4,不满足条件a≠b,退出循环,输出a的值为4.
故答案为：4.
13.【解答】解：△ABC中,∵b＝2,A＝120°,三角形的面积S＝＝bc•sin A＝c•,
∴c＝2＝b,
故B＝(180°﹣A)＝30°.
再由正弦定理可得＝2R＝＝4,
∴三角形外接圆的半径R＝2,
故答案为：2；2
14.【解答】解：记∠AOB＝α,则0≤α≤π,如图,
由余弦定理可得：
|+|＝,
|﹣|＝,
令x＝,y＝,
则x2+y2＝10(x、y≥1),其图象为一段圆弧MN,如图,
令z＝x+y,则y＝﹣x+z,
则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4,
当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大,
由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍,
也就是圆弧MN所在圆的半径的倍,
所以z max＝×＝.
综上所述,|+|+|﹣|的最小值是4,最大值是.
故答案为：4、.
15.【解答】解：原问题等价于f2(x)+f(x)＝﹣t有三个不同的实根,即y＝﹣t与y＝f2(x)+f(x)有
三个不同的交点,
当x≥0时,y＝f2(x)+f(x)＝e2x+e x为增函数,在x＝0处取得最小值为2,与y＝﹣t只有一个交点.
当x＜0时,y＝f2(x)+f(x)＝lg2(﹣x)+lg(﹣x),根据复合函数的单调性,其在(﹣∞,0)上先减后增.
所以,要有三个不同交点,则需﹣t≥2,解得t≤﹣2.
16.【解答】解：如图,
由余弦定理得,＝；
∴；
∴；
∴；
由题意知,点P的轨迹对应图形是边长为OB的菱形,；
∴这个菱形的面积是：＝.
故答案为：.
17.【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣2,焦点F(2,0),
由抛物线定义可得|AF|＝x A+2,
∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+(x B﹣x A)+4＝6+x B,
由抛物线y2＝8x及圆(x﹣2)2+y2＝16,
得交点的横坐标为2,
∴x B∈(2,6)
∴6+x B∈(8,12)
∴三角形ABF的周长的取值范围是(8,12).
三、解答题：本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.【解答】(本题满分为12分)
解：(1)∵a sin B＝b sin(A+).
∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B sin(A+).
∵sin B≠0,
∴sin A＝sin(A+).
∵A∈(0,π),可得：A+A+＝π,
∴A＝.…6分
(2)∵b,a,c成等差数列,
∴b+c＝,
∵△ABC的面积为2,可得：S△ABC＝bc sin A＝2,
∴＝2,解得bc＝8,
∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝(b+c)2﹣2bc﹣2bc cos＝(b+c)2﹣3bc＝
(a)2﹣24,
∴解得：a＝2.…12分
19.【解答】(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由题意数列{a n}满足：a1＝1,点(a n,a n+1)(n∈N*)在直线y＝2x+1上可知,a n+1＝2a n+1, a2＝3,a3＝7,a4＝15.(3分)
可猜得.(6分)
(Ⅱ)当n＝1时,a1＝2﹣1＝1成立,(8分)
假设当n＝k(k≥1,k∈N)时,成立,(10分)
当n＝k+1时,成立,
就是说n∈N*,猜想正确；
综上,.(12分)
20.【解答】证明：(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
∴EF∥A1B,
∵EF⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,
∴EF∥平面A1BD；
(2)∵A1B1＝A1C1,D是B1C1的中点.
∴A1D⊥B1C1,
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥底面A1B1C1,
∴A1D⊥BB1,
∵B1C1∩BB1＝B1,∴A1D⊥平面BB1C1C.
∵A1D⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面BB1C1C.
21.【解答】解：(1)设F1(﹣c,0),F2(c,0),,.
∵•＝1.∴2﹣c2+1＝1,∴c2＝2,
∵,,
∴PF1+PF2＝4＝2a,∴a＝2,可得b2＝a2﹣c2＝2.
∴椭圆C的方程：；
(2)设倾斜角为45°的直线l方程为y＝x+m
由可得3x2+4mx+2m2﹣4＝0.△＝48﹣8m2＞0,⇒m2＜8.
∴,
AB＝＝,
O到直线l的距离d＝.
S＝＝＝.
当且仅当m2＝6﹣m2,即m＝.
∴△OAB的面积的最大值为.此时直线l的方程为y＝x.
22.【解答】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).
.
①当a≤0时,f′(x)＞0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间；
②当a＞0时,由f′(x)＞0,解得∪(a,+∞),由f′(x)＜0解得.
∴f(x)的单调递增区间为和(a,+∞),单调递减区间是；
(Ⅱ)①当a≤0时,f′(x)＞0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)≥f(e2)＝e4﹣3ae2+2a2≥0恒成立,符合题意.
②当a＞0时,由(Ⅰ)知,f(x)在和(a,+∞)上单调递增,在上单调递减.
(ⅰ)若,即a≥2e2时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
∴对任意的实数x≥e2,f(x)≥0恒成立,只需f(e2)≥0,且f(a)≥0.
而当a≥2e2时,f(e2)＝2a2﹣3ae2+e4＝(2a﹣e2)(a﹣e2)≥0且f(a)＝a2﹣3a2+a2lna＝a2(lna﹣
2)≥0成立.
∴a≥2e2符合题意.
(ⅱ)若时,f(x)在[e2,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
∴对任意的实数x≥e2,f(x)≥0恒成立,只需f(a)≥0即可,
此时f(a)＝a2﹣3a2+a2lna＝a2(lna﹣2)≥0成立,
∴e2≤a＜2e2符合题意.
(ⅲ)若a＜e2,f(x)在[e2,+∞)上单调递增.
∴对任意的实数x≥e2,f(x)≥0恒成立,只需f(e2)＝e4﹣3ae2+2a2≥0,即f(e2)＝e4﹣3ae2+2a2＝(2a﹣e2)(a﹣e2)≥0,
∴符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是.。