高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.1变化率问题
要点一 平均速度与瞬时速度
1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1
.
2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt
的极限，记为
lim Δt →
h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度．
【重点小结】
在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前．
当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率
抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
.
【重点小结】
当Δx 无限趋近于0时，
k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx
的极限，记为
lim Δx →
f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( )
(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )
(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )
(4)一物体的运动方程是S ＝1
2
at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( )
【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A
【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3
＝1.890.3＝6.3，故选A.
3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81
【答案】B
【解析】Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32
Δt ＝18＋3Δt ，
s ′＝li m Δt →0
Δs
Δt ＝li m Δt →
(18＋3Δt )＝18，故选B.
4．抛物线f (x )＝x 2
在点(－1,1)处切线的斜率为________．
【答案】－2
【解析】切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)
(－1＋Δx )－(－1)
＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－1
(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0
(Δx －2)＝－2.
题型一 求平均速度
【例1】已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度． 【解析】物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量
Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)
＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .
物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4Δt
Δt
＝4＋Δt .
【方法归纳】
求平均速度的一般步骤
(1)作差，计算Δs ；
(2)作商：计算Δs
Δt
.
【跟踪训练1】已知一物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2，求t ＝0到t ＝2时平均速度．(s 的单位是m ，t 的单位是s)． 【答案】1 m/s
【解析】v －＝Δs Δt ＝S (2)－S (0)2－0＝(3×2－22)－0
2＝1 (m/s)．
题型二 求瞬时速度
【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．
【解析】Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt ＋2(Δt )2，li m Δt →0
Δs
Δt ＝li m Δt →
(4.8＋2Δt )＝4.8， 故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt →0
Δs
Δt
【方法归纳】
(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．
②求平均速度v ＝Δs
Δt
.
③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs
Δt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．
(2)求
Δy
Δx
(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．
②求出Δy
Δx 的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．
【跟踪训练2】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．
【解析】(1)t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， 所以Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，
Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt
＝3－Δt ， li m Δt →0
＝Δs
Δt ＝li m Δt →
(3－Δt )＝3.所以物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，所以Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2
Δt
＝－1－Δt ， li m Δt →0
Δs
Δt ＝li m Δt →
(－1－Δt )＝－1， 所以当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求在某点处的切线方程
【例3】求抛物线y ＝2x 2＋4x 在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx
＝2Δx ＋16. ∴k ＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →
(2Δx ＋16)＝16.
∴在点(3,30)处的切线方程为：y －30＝16(x －3)
即：16x －y －18＝0. 【方法归纳】
求在某点处的切线方程
(1)作差：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作商：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
(3)取极限：k ＝lim Δx →0
Δy Δx
. (4)由点斜式写出切线方程．
【跟踪训练3】求抛物线y ＝x 2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy ＝[(2＋Δx )2＋3]－(22＋3)＝4Δx ＋(Δx )2 ∴Δy
Δx ＝4＋Δx ∴k ＝lim Δx →
(4＋Δx )＝4. ∴在点(2,7)处的切线方程为：y －7＝4(x －2) 即：4x －y －1＝0.
一、单选题
1．函数()2f x x =，()2
g x x =在[0，2]上的平均变化率分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m m =
B ．12m m >
C ．21m m >
D ．1m ，2m 的大小无法确定
【答案】A 【分析】
根据平均变化率的定义计算比较即可. 【解析】
12220220m ⨯-⨯==-，22
220220
m -==-，故12m m =.
故选：A.
2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 【答案】D 【解析】
巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以0100
0.185m/s 960
v -=
≈-⨯. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以2
200001000
0606010.288m/s 960
a ⨯-⨯=
≈-⨯. 故选：D.
3．一物体的运动方程是23s t =+，则t 在[]2,2.1内的平均速度为（ ） A ．0.41 B ．4.1
C ．0.3
D ．3
【答案】B 【分析】
由平均速度的定义求解即可 【解析】
2232132 4.12.12s v t ∆+⋅--===∆-，
故选：B
4．函数()2
21y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率
y
x
∆∆等于（ ）． A ．4 B ．42x +∆
C ．()2
42x +∆
D ．4x
【答案】B 【分析】
由给定条件求出函数增量y ∆，再根据平均变化率的意义列式化简即得. 【解析】
因函数()2
21y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：
()()()()()22
112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有
42y
x x
∆=+∆∆， 所以所求平均变化率y
x
∆∆等于42x +∆. 故选：B
5．我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆=（ ） A ．()0f x x +∆
B ．()0f x x +∆
C ．()0f x x ⋅∆
D ．()()00f x x f x +∆-
【答案】D 【分析】
根据平均变化率的概念即可得出结果. 【解析】
由题意知，当0x x =时，()0y f x =；当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆， 故()()00y f x x f x ∆=+∆-. 故选D.
6．函数()y f x =，自变量x 由0x 改变到0x k x +∆（k 为常数）时，函数的改变量y ∆为（ ）． A ．()0f x k x +∆ B ．()0f x k x +∆ C ．()0f x k x ⋅∆ D ．()()00f x k x f x +∆-
【答案】D 【分析】
根据定义求解即可. 【解析】
解：由变化率的关系，()()00y f x k x f x ∆=+∆-.故选：D ． 7．设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x
--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-
【答案】D 【分析】
由导数的定义及导数的几何意义即可求解. 【解析】
解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，
()()
1112f f x x
--∆→-∆，
所以()()
()()
11(1)lim
l 11222im
x x f f x f f x x
x
f ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，
所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D. 8．函数()1
2f x x
=在2x =处的导数为（ ） A ．2 B ．1
2
C ．14
D ．18
-
【答案】D 【分析】
利用导数的定义即可求出结果. 【解析】
()()()()000011
222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-
∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭
，所以函数()f x 在2x =处的导数为1
8
-.
故选：D.
二、多选题
9．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3
m ）
与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：()3
11010V t H t ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭=-（H 为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v （单位：3m /h ），1t ，2t ，
3t ，4t 时刻的瞬时融化速度分别为1v ，2v ，3v ，4v （单位：3m /h ），那么下列各式正确的是（ ）
A ．1v v <
B ．2v v >
C ．30v v +>
D ．40v v +<
【答案】AD 【分析】
平均融化速度表示()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，再由瞬时变化率的概念判断即可. 【解析】
平均融化速度为()()
10001000
V V v -=
-，反映的是()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1t ，2
t 处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3t ，4t 处瞬时速度及v 都小于0.
故选：AD
10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（ ） A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的增量 B ．
()()00f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆叫作函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率 C ．()f x 在0x x =处的导数记为y ' D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x ' 【答案】ABD 【分析】
由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【解析】
A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；
B 中，
()()00f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确； 由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确. 故选：ABD
11．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()2
1s t t t =++表示，则（ ）
A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/s
B ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s
C ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时
D ．物体从0到1的平均速度为2m/s
【答案】BC 【分析】
由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【解析】
对于A ：()()()()()()2
200011111111lim lim lim 33t t t t t s t s t t t
∆→∆→∆→+∆++∆+-+++∆-==+∆=∆∆，
即物体在1s t =时的瞬时速度为3m/s ，A 错误．
对于B ：()()()()()2
000000011lim lim lim 11t t t s t s t t t t t ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆+-==+∆=∆∆， 即物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s ，B 正确． 对于C ：设物体在0t 时刻的瞬时速度为9m/s ，
又()()
()000000lim
lim 21219t t s t t s t t t t t
∆→∆→+∆-=++∆=+=∆，
所以04t =，物体在4s t =时的瞬时速度为9m/s ，C 正确． 对于D ：()()
()103m /s 10
s s v -==-，D 错误．
故选：BC
第II 卷（非选择题）
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三、填空题
12．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时原油温度（单位：℃）为()()321
8243
f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.
【答案】0 【分析】
根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【解析】
由题意可知温度的瞬间变化率为()()()
()()32322
0111lim
lim
88233x x f x x f x f x x x x x x x x x x
x ∆→∆→+∆-⎡⎤==+∆-+∆+-+-=-⎢⎥∆⎣⎦
'∆()()2
1124x x =--≤≤，因此当2x =时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为()20f '=.
故答案为：0.
13．下面说法正确的是______（填序号）.
①若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线； ②若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在；
③若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在； ④若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在. 【答案】③ 【分析】
根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.
对于①中，由()0f x '不存在时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处不一定没有切线，
例如：函数()13
f x x =，可得()2
313f x x -'=，在0x =处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y =，所以①不正确；
对于②中，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '不一定存在，
例如：函数()13f x x =在0x =处的切线方程为0y =，但()0f '不存在，所以②不正确；
对于③中，若()0f x '不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，所以③正确；
对于④中，由()0f x '存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线为真命题，
可得其逆否命题“曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '不存在”为真命题，所以④错误. 故选：③
14．物体做匀速运动，其运动方程是s vt =，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．
【答案】相等
【分析】
由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.
【解析】 因为平均速度为
()()()0000s t t s t v t t vt s v t t t +∆-+∆-∆===∆∆∆， 瞬时速度为()()()00000000lim lim lim lim t t t t s t t s t v t t vt s v t v t t t
t ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆∆====∆∆∆∆ 所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．
故答案为：相等
四、解答题
15．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）．
（1）求此物体的初速度；
（2）求此物体在2t =时的瞬时速度；
（3）求0t =到2t =时的平均速度．
（1）3m/s
（2）1m/s -
（3）1m/s
【分析】
（1）根据题意，可知初速度即0t =时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；
（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.
（1）
运动物体的初速度即0t =时的瞬时速度，即()()()()2
000003lim lim lim 3t t t s t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆-∆-∆===-∆∆∆ 3(m /s)=，
即物体的初速度为3m/s ．
（2）
根据题意，可知()()()()20022322324lim lim t t s t s t t v t t ∆→∆→+∆-+∆-+∆-⨯+==∆∆ ()()2
00lim lim 1t t t t t t
∆→∆→-∆-∆==-∆-=∆1(m/s)-，即此物体在2t =时的瞬时速度为1m/s -． （3）
()()206401(m/s)202
s s v ---===-，即0t =到2t =时的平均速度为1m/s ． 16．已知某物体运动的位移m x 是时间s t 的函数，而且0.3t =时，0.38x =；0.6t =时， 5.06x =. （1）求这个物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度；
（2）估计出0.5=t 时物体的位移.
【答案】
（1）15.6(m/s)
（2）3.5m
【分析】
根据平均速度的定义即可求出结果，将x 在[0.30.6]，
上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令0.5=t 计算即可.
（1） 所求的平均速度为：
()5.060.3815.6m /s 0.60.3
-=- （2）
将x 在[0.30.6]，
上的图象看成直线，又直线过点()0.30.38，，斜率为15.6，则 x 与t 的关系可近似表示为： 0.3815.6(0.3)x t -=-，令0.5=t ，得 3.5x =， 故可估计0.5=t 时物体的位移为3.5m.。