最新初中人教版数学人教八年级上册【教学设计2】《分式的加减》

《分式的加减》 教学对象是八年级学生，从知识的角度看，在学习本章前，学生已经掌握了用字母表示数、列简单代数式，会把一些简单的实际问题中的数量关系用代数式表示出来，并会进行分式的乘除运算，基本掌握通分，能够确定几个分式的最简公分母；从数学活动经验、思维特征、学习习惯看，通过对分式的前期研究，运用类比分数的有关概念及性质、运算联想引申出分式的有关概念及性质、运算得习惯已基本形成。

通过第三学段三个学期的学习，思维水平也有了进一步地提升，理性思考能力明显提高，具备类比分数的加减运算法则探究出分式加减运算法则的能力。

但经验性思维依然占主导地位，部分学生的学习积极性、主动性不强，加之经历分数运算、因式分解的两次分流，分式加减运算既是前面代数运算的综合，又是分式概念及运算的难点内容之一，因此，对异分母分式加减和运用分式加减法则运算法则之后所涉及的诸如正确进行整式运算、分式化简等易出现差错，教学中应通过训练加以强化。

【知识与能力目标】
1.熟练掌握同分母分式的加减运算
2.掌握异分母分式的加减法则及通分的过程与方法．
3. 会进行简单的分式的四则混合运算．
【过程与方法目标】
1、体验知识的化归，提高思维的灵活性，培养学生整体思考和分析问题的能力．
2、经历分式混合运算法则的探究过程，进一步领会类比的数学思想．
【情感态度价值观目标】
让学生充分参与到数学学习的过程中来，使学生在整体思考中开阔视野，养成良好品格，渗透化归对立统一的辩证观点．
【教学重点】
1.分式的加减法．
2.熟练地进行分式的混合运算．
【教学难点】
1.异分母分式的加减法及简单的分式混合运算．
2.熟练地进行分式的混合运算．
◆ 教学目标
◆ 教材分析
◆ 教学重难点
◆
一、引入新课(课件展示)
问题1：甲工程队完成一项工程需n 天,乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?
一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的3
11++n n .这样引出分式的加减法的实际背景 问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了多少?
问题2的目的与问题1一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，请学生自己说出分式的加减法法则.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
请同学们说出
2243291,31,21xy y x y x 的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
二、讲授新课
分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示是：c a ±c b =c
b a ±。

异分母分式相加减，先通分，变为分母的分式，再加减。

用式子表示为：
b a ±d
c =b
d bc ad ±。

（注意：异分母的分式加减法的运算, 关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简
公分母）
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
式，叫做通分。

分式通分时，要注意几点：
（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简◆ 教学过程
公分母的系数；
（2）若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；
（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；
（4）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。

（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。

（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。

这样取出的因式的积，就是最简公分母。

异分母的分式加减法的一般步骤：
（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；
（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式；
（3）分子去括号，合并同类项；
（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式
三、例题讲解
计算：（1）2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+；（2）9
6261312--+-+-x x x x ． 解：（1）2
222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ [分析] 此题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：2
222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ =
22)32()2()3(y x y x y x y x --++-+ =2
222y x y x -- =)
)(()(2y x y x y x +--
=y
x +2． (2)9
6261312--+-+-x x x x [分析]此题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 解：9
6261312--+-+-x x x x =)
3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x =
)3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x =)
3)(3(2)96(2-++--x x x x =)
3)(3(2)3(2
-+--x x x =6
23+--x x ． 五、分式的混合运算
【探究】分数混合运算的顺序：____________________.
类比分数，分式的混合运算顺序：____________________.
掌握分式混合运算时的运算顺序——先乘方，再乘除，最后算加减；若有括号，应先算括号内的，若最后运算是乘除，可统一改为乘法，并把分子分母中的多项式因式分解后约分. 对于条件求值题，一般先把分式化简，再把已知条件合理转化，最后代入求值.
【应用举例】例1 (教材)
计算⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4.
解：⎝⎛⎭⎫2a b 2
·1a －b －a b ÷b 4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b ＝4a 2b 2（a －b ）－4a b 2＝4a 2b 2（a －b ）－4a （a －b ）b 2（a －b ） ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2（a －b ）＝4ab b 2（a －b ）＝4a ab －b 2
. 例2 计算：(1)⎝
⎛⎭⎫m ＋2＋52－m ·2m －43－m ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷x －4x
.
(3)解：(1)⎝⎛⎭⎫m ＋2＋52－m ·2m －43－m
＝（m ＋2）（2－m ）＋52－m ·2m －43－m ＝9－m 22－m ·2（m －2）3－m
＝（3－m ）（3＋m ）2－m ·－2（2－m ）3－m
＝－2(m ＋3)＝－2m －6. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷x －4x .＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋2x （x －2）－x －1（x －2）2·x x －4 ＝（x ＋2）（x －2）－（x －1）x x （x －2）2·x x －4
＝x 2－4－x 2＋x （x －2）2（x －4）＝1（x －2）2
. 师生共同讨论总结：注意事项：(1)一般按分式的运算顺序进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便.(2)要随时对分子、分母进行因式分解，先约分再加减运算.(3)注意括号的“添”或“去”，注意运算符号莫看错或写错.(4)结果要化为最简分式或整式.
三、归纳总结：
问题1：本节课你学习了什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
问题3：通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？
归纳：
1.分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
2. 异分母的分式加减法的一般步骤：
(1)通分，将异分母分式化成同分母的分式；
(2)分母不变，把分子相加减；
(3)分子去括号，合并同类项；
(4)分子、分母约分，结果化成最简分式或整式.
3. 进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的顺序，先乘方，再乘除，然后加减；有括号要先算小括号，再算中括号．但恰当地使用运算律会使运算简便.
4. 分子或分母的系数是负数时，要把“－”号提到分式本身的前面.
5. 注意括号的“添”或“去”，分子、分母要在运算过程中进行约分.
6. 注意最后的结果必须是最简分式或整式．
◆教学反思略。