三重积分奇函数积分为0

三重积分奇函数积分为0

引言

三重积分是微积分中重要的概念之一，用于计算三维空间中曲线下方的体积、质量、重心等物理量。而奇函数是具有关于原点对称性的函数，其特点在于函数值为奇数。本文将探讨三重积分中奇函数积分为0的情况。

三重积分的定义

在三维空间内，对于一个有界闭区域D，可以将其分割成无数个小体积ΔV。设函

数f(x, y, z)在闭区域D上有定义，三重积分定义如下：

∭f(x, y, z)dV = lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ f(x,y,z)ΔV

这里的ΔV就是小体积ΔxΔyΔz。当Δx、Δy、Δz趋近于0时，ΔV趋近于0。整个求和的极限就是对整个区域D的积分结果。

奇函数的性质

奇函数是具有关于原点对称性的函数，其特点在于函数值为奇数。即f(-x) = -

f(x)。在三维空间中，奇函数的图像通常关于原点对称。

奇函数具有以下性质： 1. 奇函数与奇函数相乘，结果为偶函数。 2. 奇函数与偶函数相乘，结果为奇函数。 3. 奇函数在区间[-a, a]上的积分为0。

三重积分中的奇函数积分为0

在三重积分中，如果被积函数f(x, y, z)是一个奇函数，并且积分的区域D是关

于原点对称的，那么三重积分的结果将为0。

证明如下：由于函数f(x, y, z)是奇函数，满足f(-x, -y, -z) = -f(x, y, z)。同时，如果D是关于原点对称的，那么对于任意(x, y, z)∈D，有(-x, -y, -

z)∈D。

因此，根据三重积分的定义，可以将整个区域D划分成ΔV_i（i = 1, 2, …, n），则有：

∭f(x, y, z)dV = lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ f(x,y,z)ΔV_i =

lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ [-f(-x,-y,-z)]ΔV_i = lim(Δx,Δy,Δz->0)

∑∑∑ -f(-x,-y,-z)ΔV_i

由于D关于原点对称，每一小体积ΔV_i对应的ΔV_i’ = -ΔV_i，因此上式可以变形为：

∭f(x, y, z)dV = -lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ f(-x,-y,-z)ΔV_i’

根据奇函数的性质，f(-x, -y, -z)也是一个奇函数，且D关于原点对称。因此，该积分表达式与原积分表达式相等。即：

∭f(x, y, z)dV = -∭f(x, y, z)dV

由于函数f(x, y, z)是奇函数，等式两边函数值相等，因此有：

∭f(x, y, z)dV = 0

因此，当被积函数是一个奇函数，并且积分区域关于原点对称时，三重积分的结果将为0。

应用举例

以下是一些应用奇函数积分为0的例子：

例1：计算关于原点对称的立方体的体积

考虑一个边长为2a的立方体，在三维空间中关于原点对称。我们想要计算这个立方体的体积。

选择坐标系，使得立方体的一个顶点位于原点，另一个顶点位于(x, y, z) = (a, a, a)。那么立方体的体积可以表示为：

V = ∭dV

其中dV为微元体积。由于立方体关于原点对称，可以将整个立方体分为八个等体积的部分，每个部分的体积可以表示为：

V_i = ∭dV_i

其中dV_i为每一部分的微元体积。由于每一部分都满足f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，且区域D关于原点对称，根据奇函数积分为0的性质，可以得知每一部分的积分结果为0。

因此，整个立方体的体积为：

V = ∑V_i = 0

这和我们直观上认为的立方体具有体积是一致的。

例2：计算关于原点对称的球体的体积

考虑一个半径为R的球体，在三维空间中关于原点对称。我们想要计算这个球体的体积。

选择坐标系，使得球体的中心位于原点，另一个点位于(x, y, z) = (R, 0, 0)。那么球体的体积可以表示为：

V = ∭dV

其中dV为微元体积。由于球体关于原点对称，可以将整个球体分为八个等体积的部分，每个部分的体积可以表示为：

V_i = ∭dV_i

其中dV_i为每一部分的微元体积。由于每一部分都满足f(x, y, z) = f(-x, -y, -z)，且区域D关于原点对称，根据奇函数积分为0的性质，可以得知每一部分的积分结果为0。

因此，整个球体的体积为：

V = ∑V_i = 0

这和我们直观上认为的球体具有体积是一致的。

结论

奇函数在三重积分中的应用十分广泛。当被积函数是一个奇函数，并且积分区域关于原点对称时，三重积分的结果将为0。这一性质可以应用于各种计算问题中，如计算体积、质量、重心等。奇函数积分为0的特点使得我们可以简化复杂的积分计算，提高计算效率。

参考文献

[1] 黄昆, 张柳. 多重积分[M]. 中国人民大学出版社, 2010. [2] 徐磊, 种志强. 多元函数微积分[M]. 清华大学出版社, 2009.