深度学习数学案例-张楠
大数据时代煤炭资源勘探中信息化工作的几点思考
大数据时代煤炭资源勘探中信息化工作的几点思考李青元;张明辉;程爱国;刘洁;张楠;陈美英【摘要】人类社会已经进入大数据时代,煤炭资源勘探也正在由以往的粗放型向勘查精细化、综合化、绿色化、信息多维化转变,由此提出以下观点:①信息化应该覆盖煤炭资源勘探的从始到终的全过程;②云平台建设将成为煤炭地质勘查行业企业信息化的主流方向;③煤炭资源勘探的制图环境将由二维转向三维;④煤田勘探三维地质建模将由以往的主要关注形态转向形态与属性并重;⑤以图形表达的三维模型与以表格(数据库)表达的属性数据结合将更加紧密;⑥多源信息集成、整合与同化仍然是煤炭资源勘探信息化中的重点与难点;⑦以大数据、云平台、人工智能为支撑的新一代面向煤炭地质的专家系统将会有较大的发展;⑧标准化是煤炭资源勘探中信息化达到目标的重要保障.【期刊名称】《中国煤炭地质》【年(卷),期】2018(030)010【总页数】5页(P6-9,54)【关键词】煤;资源勘探;信息化;三维地质建模;大数据【作者】李青元;张明辉;程爱国;刘洁;张楠;陈美英【作者单位】中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院,北京 100083;中国测绘科学研究院地球观测与时空信息科学国家测绘地理信息局重点实验室,北京100830;中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院,北京 100083;中国煤炭地质总局勘查研究总院,北京 100039;中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院,北京 100083;中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院,北京 100083;中国煤炭地质总局勘查研究总院,北京 100039【正文语种】中文【中图分类】P2080 引言近年来，煤炭在我国一次能源中的比例有所下降，煤炭资源勘探也在经历了煤炭工业“黄金十年”的发展高峰期后进入了调整期。
但在可以预见的二、三十年内，煤炭仍将是我国一次能源的主力。
鉴于我国可供建井的储量并不充足，煤炭资源勘探在很长的一段时间内仍然是不可或缺的[1-3]。
深度学习数学案例(课堂PPT)
碍
空
…… 础
验
点
间 维度2：
学生分析
维度3： 学科基本
思想方法
大单元 中单元 小单元 微单元
11
案例
“函数的概念” 单元学习主题的确定
12
教
学 有理数
内
实数
容 无理数
虚数
分
析
数与代数
坐 标 系
图形与几何
大小 形状 位置
整式
分式
数
字母 表示数
式
常量与 变量
式的 相等 大小
不等
函数 方程 不等式
解 析 式 法
数学建模思想就是在提炼和抽取实际
问题中的数学信息时，利用数学语言对其进
行描述，运用数学工具及数学方法解决问题
的一种思想方法。数学建模的过程，就是把
实际问题数学化的过程。
实际情境 提出问题 数学模型 数学结果
常量与 变量
修改
函数 模型
函数 性态研究
检验 不合乎实际 合乎实际
可用结果
18
单元学习主题：函数的概念 函数是中学数学中的重要内容．函数概念的引入
图 象 法
列 表 法
关系说 变量说 映射说
概念
表示 函数 性质
基本初等函数
……
定 义 域
值 域
单 调 性
奇 偶 性
周 期 性
特 殊 点
函 数 统 领
一次函数 （正比例） 二次函数 反比例函数
……
13
人教版教材“函数”相关章节：
为之后的内容提供
八年级下册 第19章 一次函数
知识基础、研究方法 19.1 变量与函数 19.2 一次函数 19.3 课题学习 选择方案
基于数学深度学习的课堂教学案例与分析——以《三角恒等变换》第一课时为例
o
s
α
2
2
)
(
)
-c
o
s
i
n
α-s
i
n
β +s
β .
师:请大家对这个公式化简我们可以得到什
么式子呢?
生:
c
o
s(
α-β)=c
o
s
αc
o
s
i
n
αs
i
n
β+s
β.
师:当α=β+2
时,
带入这个式中是都还
kπ
成立呢?
生:成立.
师:所以我们可以说,对于任意角α、
β,都有
c
o
s(
α-β)=c
o
s
αc
o
s
i
n
αs
中在认知领域当中,又将教育目标分成了由低级
到高级,由简单到复杂的六个水平,而这六个的
层次便可以理解成由浅层学习向深层学习过渡
的过程.
当前对深度学习的研究仍在持续和推进之
中,
深度学习的理论研究成果也越来越多地被借
鉴与应用到学科教学之中.数学深度学习是在数
学学习过程中,在教师的引领下,围绕着具有挑
战性的数学学习主题,在理解学习的基础上,以
o
s
60
°以 及
c
o
s
30
°分别等于多少?
1
3
,
c
o
s
30
°是
.
2
2
师:那么我们如何用60
°来表示出30
°呢?
生:
30
°=60
°-30
°.
谈凹凸反转法在解题中的妙用
谈凹凸反转法在解题中的妙用刘海涛(安徽省芜湖市第一中学ꎬ安徽芜湖２４１０００)摘㊀要:文章基于凹凸反转的角度ꎬ通过五道例题谈如何将不等式(或等式)分离为凹凸性相反的两个函数ꎬ再通过分别研究两侧函数的单调性ꎬ进而利用两函数的最值解决问题的方法.关键词:函数与导数ꎻ凹凸反转ꎻ不等式恒成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－０００２－０４收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:刘海涛(１９８８－)ꎬ男ꎬ安徽省滁州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:安徽省芜湖市教育科学研究项目 基于ＳＯＬＯ理论发展学生数学核心素养的实践研究 (项目编号:ＪＫ２２０１９)㊀㊀在处理一些不等式(或等式)问题时ꎬ若我们直接研究函数解析式ꎬ将问题转化为函数最值问题处理ꎬ则往往由于函数式比较复杂ꎬ需要讨论参数㊁运用隐零点求最值等ꎬ使解答过程繁杂ꎬ运算量大ꎬ但若能将不等式(或等式)合理变形为ｍ(ｘ)ȡｎ(ｘ)(或ｍ(ｘ)＝ｎ(ｘ))ꎬ其中ｍ(ｘ)为凹函数ꎬｎ(ｘ)为凸函数ꎬ且ｍ(ｘ)ｍｉｎȡｎ(ｘ)ｍａｘ(函数ｍ(ｘ)的最小值点与函数ｎ(ｘ)的最大值点相同)ꎬ则可以通过分别研究函数ｍ(ｘ)与ｎ(ｘ)的单调性ꎬ来完成对问题的解答.一般地ꎬ我们把这种将不等式(或等式) 一分为二ꎬ分而治之 的解题方法ꎬ称为 凹凸反转法 .１例谈凹凸反转法的应用１.１证明不等式问题中的应用例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｅｘ－２＋ａｘ(ａ>０)ꎬ对∀ｘ>０ꎬ求证:ｆ(ｘ)>ｘ(ｌｎｘ＋ａ).解法１㊀由ｆ(ｘ)>ｘ(ｌｎｘ＋ａ)ꎬ得２ｅｘ－２>ｘｌｎｘ.设ｇ(ｘ)＝２ｅｘ－２－ｘｌｎｘꎬ下证ｇ(ｘ)>０即可.求导ꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝２ｅｘ－２－ｌｎｘ－１ꎬｇᵡ(ｘ)＝２ｅｘ－２－１ｘꎬ易知ｇᵡ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增.又ｇᵡ(１)＝２ｅ－１<０ꎬｇᵡ(２)＝３２>０ꎬ则存在ｘ０ɪ(１ꎬ２)使得ｇᵡ(ｘ０)＝０ꎬ即２ｅｘ０－２＝１ｘ０.于是当０<ｘ<ｘ０时ｇᵡ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>ｘ０时ｇᵡ(ｘ)>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)在(０ꎬｘ０)上单调递减ꎬ在(ｘ０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ且ｇᶄ(ｘ０)＝２ｅｘ０－２－ｌｎｘ０－１＝１ｘ０－ｌｎｘ０－１.由φ(ｘ)＝１ｘ－ｌｎｘ－１在(１ꎬ２)上单调递减ꎬ且φ(１)＝０ꎬ得ｇᶄ(ｘ０)＝φ(ｘ０)<０.又ｘң０时ꎬｇᶄ(ｘ)ң＋ɕꎬｇᶄ(２)＝１－ｌｎ２>０ꎬ则存在ｘ１ɪ(０ꎬｘ０)ꎬｘ２ɪ(ｘ０ꎬ２)使得ｇᶄ(ｘ１)＝ｇᶄ(ｘ２)＝０.于是当０<ｘ<ｘ１或ｘ>ｘ２时ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ１<ｘ<ｘ２时ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｇ(ｘ)在(０ꎬｘ１)上单调递增ꎬ在(ｘ１ꎬｘ２)上单调递减ꎬ在(ｘ２ꎬ＋¥)上单调递增.由于当ｘң０时ꎬｇ(ｘ)ң２ｅ２ꎬ因此欲证ｇ(ｘ)>０ꎬ即证ｇ(ｘ２)>０ꎬ即证２ｅｘ２－２－ｘ２ｌｎｘ２>０.又由ｇᶄ(ｘ２)＝０ꎬ得２ｅｘ２－２＝ｌｎｘ２＋１.即证ｌｎｘ２－ｘ２ｌｎｘ２＋１>０.设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘｌｎｘ＋１(１<ｘ<２)ꎬ求导得ｈᶄ(ｘ)＝φ(ｘ)<０ꎬ则ｈ(ｘ)在(１ꎬ２)上单调递减.又ｈ(２)＝１－ｌｎ２>０ꎬ所以ｈ(ｘ２)>０.故问题得证.解法２㊀由ｆ(ｘ)>ｘ(ｌｎｘ＋ａ)ꎬ得２ｅｘ－２>ｘｌｎｘ.即２ｅｘ－２ｘ２>ｌｎｘｘ.设ｍ(ｘ)＝２ｅｘ－２ｘ２(ｘ>０)ꎬｎ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ求导ꎬ得ｍᶄ(ｘ)＝２ｅｘ－２(ｘ－２)ｘ３ꎬｎᶄ(ｘ)＝１－ｌｎｘｘ２.则当０<ｘ<２时ｍᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>２时ｍᶄ(ｘ) >０ꎬ则ｍ(ｘ)在(０ꎬ２)上单调递减ꎬ在(２ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ得ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍ(２)＝１２.当０<ｘ<ｅ时ｎᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ>ｅ时ｎᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｎ(ｘ)在(０ꎬｅ)上单调递增ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上单调递减ꎬ得ｎ(ｘ)ｍａｘ＝ｎ(ｅ)＝１ｅ.所以ｍ(ｘ)ｍｉｎ>ｎ(ｘ)ｍａｘ.故２ｅｘ－２ｘ２>ｌｎｘｘ.评注㊀解法１直接作差构造函数ꎬ将问题转化为求函数最小值大于０ꎬ解题过程中两次运用隐零点法ꎬ过程繁杂ꎬ运算量大ꎻ解法２将不等式合理变形ꎬ分离为凹凸反转的两个函数ꎬ分别研究两函数单调性ꎬ将问题转化为左侧函数最小值大于右侧函数最大值问题.比较解法１和２ꎬ不难发现凹凸反转法的优势ꎬ大大简化了解题过程[１].１.２含参不等式恒成立求参数问题中的应用例２㊀函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１２ｘ２＋ａｘ(ａɪＲ)ꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ＋３２ｘ２ꎬ若对于∀ｘ>０ꎬ总有ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ)ꎬ求实数ａ的取值范围.解法１㊀由不等式ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ)ꎬ得ｅｘ＋ｘ２－ｌｎｘ－ａｘȡ０.设ｈ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘ２－ｌｎｘ－ａｘꎬ问题转化为ｈ(ｘ)ｍｉｎȡ０ꎬ求导得ｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋２ｘ－１ｘ－ａ.易知ｈᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增.当ｘң０＋时ｈᶄ(ｘ)ң－¥ꎬ当ｘң＋¥时ｈᶄ(ｘ)ң＋¥ꎬ则存在唯一ｘ０ɪ(０ꎬ＋¥)使ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ于是当０<ｘ<ｘ０时ｈᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>ｘ０时ｈᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｈ(ｘ)在(０ꎬｘ０)上单调递减ꎬ在(ｘ０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ得ｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(ｘ０).则ｅｘ０＋ｘ２０－ｌｎｘ０－ａｘ０ȡ０.又ｅｘ０＋２ｘ０－１ｘ０－ａ＝０ꎬ两式联立消去ａꎬ整理得(１－ｘ０)(ｅｘ０＋ｘ０＋１)－ｌｎｘ０ȡ０.设φ(ｘ)＝(１－ｘ)(ｅｘ＋ｘ＋１)－ｌｎｘꎬ有φ(ｘ０)ȡ０ꎬ求导ꎬ得φᶄ(ｘ)＝－ｘｅｘ＋２－２ｘ－１ｘ＝－ｘ(ｅｘ＋１)＋２－(ｘ＋１ｘ)<０.函数φ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递减ꎬ注意到φ(１)＝０ꎬ得０<ｘ０ɤ１.而ａ＝ｅｘ０＋２ｘ０－１ｘ０ꎬ易知函数ｙ＝ｅｘ＋２ｘ－１ｘ在(０ꎬ１]上单调递增.故ａɤｙ(１)＝ｅ＋１.解法２㊀不等式ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ)整理为ｅｘｘȡｌｎｘｘ－ｘ＋ａ.设ｍ(ｘ)＝ｅｘｘꎬｎ(ｘ)＝ｌｎｘｘ－ｘ＋ａꎬ求导ꎬ得ｍᶄ(ｘ)＝ｅｘ(ｘ－１)ｘ２ꎬｎᶄ(ｘ)＝１－ｘ－ｌｎｘｘ.当０<ｘ<１时ｍᶄ(ｘ)<０且ｎᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ>１时ｍᶄ(ｘ)>０且ｎᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｍ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减ꎬ在(１ꎬ＋¥)上单调递增ꎬｎ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ在(１ꎬ＋¥)上单调递减ꎬ有ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍ(１)＝ｅꎬｎ(ｘ)ｍａｘ＝ｎ(１)＝ａ－１.由此问题转化为ｍ(１)ȡｎ(１)ꎬ得ａɤｅ＋１.评注㊀解法１直接作差构造函数ꎬ将问题转化为ｈ(ｘ)ｍｉｎȡ０ꎬ运用隐零点法求出函数的最小值ꎻ解法２将不等式变形为ｍ(ｘ)ȡｎ(ｘ)ꎬ分别研究两函数发现ｘ＝１恰是函数ｍ(ｘ)的最小值点ꎬｎ(ｘ)的最大值点ꎬ符合凹凸反转的特点ꎬ于是不等式等价于ｍ(１)ȡｎ(１).例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１ａｅ２ｅｘ－ｌｎｘ(ａ>０)ꎬ若对∀ｘ>０ꎬｆ(ｘ)ȡｌｎａ＋２恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.㊀解法１㊀由ｆ(ｘ)ȡｌｎａ＋２ꎬ得１ａｅ２ｅｘ－ｌｎｘ－ｌｎａ－２ȡ０.设ｇ(ｘ)＝１ａｅ２ｅｘ－ｌｎｘ－ｌｎａ－２ꎬ问题转化为ｇ(ｘ)ｍｉｎȡ０ꎬ求导得ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘａｅ２－１ｘ.易知ｇᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增.设ｘ１<ｍｉｎ{２ꎬａ}ꎬｘ２>ｍａｘ{２ꎬａ}ꎬ则ｇᶄ(ｘ１)<０ꎬｇᶄ(ｘ２)>０.所以存在ｘ０ɪ(ｘ１ꎬｘ２)使ｇᶄ(ｘ０)＝０ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>ｘ０时ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｇ(ｘ)在(０ꎬｘ０)上单调递减ꎬ在(ｘ０ꎬ＋¥)上单调递增.故ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(ｘ０)＝ｅｘ０ａｅ２－ｌｎｘ０－ｌｎａ－２.由ｇᶄ(ｘ０)＝０ꎬ得ｅｘ０ａｅ２＝１ｘ０.即ｌｎａ＝ｘ０＋ｌｎｘ０－２.则ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝１ｘ０＋ｘ０－２ｌｎａ－４＝１ｘ０－２ｌｎｘ０－ｘ０ȡ０.设φ(ｘ)＝１ｘ－２ｌｎｘ－ｘꎬ则φ(ｘ０)ȡ０.易知φ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递减.又φ(１)＝０ꎬ则０<ｘ０ɤ１.所以ｌｎａ＝ｘ０＋ｌｎｘ０－２ɤ－１.即０<ａɤ１ｅ.解法２㊀由ｆ(ｘ)ȡｌｎａ＋２ꎬ整理ꎬ得ｅｘｘȡａｅ２ｌｎ(ａｅ２ｘ)ｘ.设ｍ(ｘ)＝ｅｘｘ(ｘ>０)ꎬｎ(ｘ)＝ａｅ２ｌｎ(ａｅ２ｘ)ｘꎬ求导得ｍᶄ(ｘ)＝ｅｘ(ｘ－１)ｘ２ꎬｎᶄ(ｘ)＝－ａｅ２ｌｎ(ａｅｘ)ｘ２.则当０<ｘ<１时ｍᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>１时ｍᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｍ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减ꎬ在(１ꎬ＋¥)上单调递增.所以ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍ(１)＝ｅ.当０<ｘ<１ａｅ时ｎᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ>１ａｅ时ｎᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｎ(ｘ)在(０ꎬ１ａｅ)上单调递增ꎬ在(１ａｅꎬ＋¥)上单调递减.所以ｎ(ｘ)ｍａｘ＝ｎ(１ａｅ)＝ａｅ３.所以ｍ(ｘ)ȡｎ(ｘ)等价于ｅȡａｅ３ꎬ当且仅当１＝１ａｅ时等号成立ꎬ即０<ａɤ１ｅ.１.３含参不等式有若干整数解问题中的应用例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１３ｘ３－ｅｘ２＋ａｘꎬｇ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ若不等式ｆ(ｘ)＋１６ｘ３<ｘｇ(ｘ)有且仅有一个整数ꎬ则实数ａ的取值范围是.解析㊀由ｆ(ｘ)＋１６ｘ３<ｘｇ(ｘ)ꎬ得１２ｘ３－ｅｘ２＋ａｘ<ｌｎｘ.即１２ｘ２－ｅｘ＋ａ<ｌｎｘｘ.设ｍ(ｘ)＝１２(ｘ－ｅ)２＋ａ－１２ｅ２(ｘ>０)ꎬｎ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ易得ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍ(ｅ)＝ａ－１２ｅ２.求导ꎬ得ｎᶄ(ｘ)＝１－ｌｎｘｘ２.当０<ｘ<ｅ时ｎᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ>ｅ时ｎᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｎ(ｘ)在(０ꎬｅ)上单调递增ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上单调递减ꎬ得ｎ(ｘ)ｍａｘ＝ｎ(ｅ)＝１ｅ.由ｎ(２)－ｎ(３)＝ｌｎ２２－ｌｎ３３＝ｌｎ８－ｌｎ９６<０ꎬ得ｎ(２)<ｎ(３)ꎬ而由对称性知ｍ(２)>ｍ(３)ꎬ所以问题等价于ｍ(２)ȡｎ(２)ꎬｍ(３)<ｎ(３). {解得ｌｎ２２＋２ｅ－２ɤａ<ｌｎ３３＋３ｅ－９２.评注㊀观察不等式不难发现将不等式两侧同除以ｘꎬ可分离出参数ａꎬ从而使得参数不影响函数式的单调性ꎬ又发现此时不等号左侧为开口向上的一元二次函数ꎬ且ｘ＝ｅ为最小值点ꎬ自然研究右侧函数ｎ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ判断其最大值点是否为ｘ＝ｅꎬ确认两侧函数是否呈现凹凸反转性[２].１.４方程有解问题中的应用例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａｘ(ａɪＲ)ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎｘꎬ若关于ｘ的方程ｇ(ｘ)ｘ２＝ｆ(ｘ)－２ｅ(ｅ为自然对数的底数)只有一个实数根ꎬ则ａ＝.解析㊀将方程变形为ｌｎｘｘ＝ｘ２－２ｅｘ＋ａ.设ｍ(ｘ)＝ｘ２－２ｅｘ＋ａ(ｘ>０)ꎬｎ(ｘ)＝ｌｎｘｘꎬ易知ｍ(ｘ)在(０ꎬｅ)上单调递减ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上单调递增.所以ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍ(ｅ)＝ａ－ｅ２.求导ꎬ得ｎᶄ(ｘ)＝１－ｌｎｘｘ２.当０<ｘ<ｅ时ｎᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ>ｅ时ｎᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｎ(ｘ)在(０ꎬｅ)上单调递增ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上单调递减ꎬ得ｎ(ｘ)ｍａｘ＝ｎ(ｅ)＝１ｅ.所以问题等价于ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｎ(ｘ)ｍａｘꎬ即ｍ(ｅ)＝ｎ(ｅ)ꎬ解得ａ＝ｅ２＋１ｅ.评注㊀受例４的启发ꎬ将方程转化为等号两侧凹凸性相反的两个函数ꎬ问题转化为ｍ(ｘ)ｍｉｎ＝ｎ(ｘ)ｍａｘ.２反思小结通过上述例题的解答ꎬ不难发现ꎬ若不等式(或等式)中含有ｅｘꎬｌｎｘ时ꎬ我们可以考虑用凹凸反转法处理不等式(或等式)ꎬ这为我们今后处理不等式(或等式)提供了一种新的思路ꎬ但该种解法并非通法ꎬ有局限性ꎬ只有在符合特定的情形下方可使用.另外ꎬ熟记一些与ｅｘꎬｌｎｘ有关的函数ꎬ往往有利于我们探究问题时使用凹凸反转法ꎬ笔者通过梳理ꎬ给出以下函数的草图供读者使用(如图１).图１㊀与ｅｘꎬｌｎｘ有关的函数图参考文献:[１]刘海涛.一道联考题的多解探究与背景揭示[Ｊ].数学教学研究ꎬ２０２２ꎬ４１(０２):５１－５４. [２]刘海涛.谈不等式恒成立求参数范围问题的解题策略:以一道联考导数题为例[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２２(０３):４５－４７.[责任编辑:李㊀璟]。
小学数学解决问题的策略汇总讲课教案
小学数学解决问题的策略汇总小学数学解决问题的策略汇总篇一：小学数学解决问题的策略多样化小学数学解决问题的策略多样化新课程《标准》把解决问题作为课程目标，它在小学数学中具有非常重要的地位。
从教学实践取得的经验看来，小学数学中解决问题教学的意义有助于培养学生的问题意识；有助于启迪学生的数学意识，让学生能体会到数学与生活的联系，进而提高对数学的兴趣；有助于培养学生的抽象思维能力，让学生更深刻地体会到数学的价值；有助于培养学生的应用能力，能综合性地运用知识来解决实际问题；有助于让学生加深对数学知识的理解掌握；有助于发展学生的应用意识和形成解决问题的策略。
一、解决问题教学现状及其存在的问题1.教师在解决问题教学中的问题（1）教师的基础知识和能力不强。
教师本身的知识和能力是实现教学目标的基本保证。
现今的许多小学教师数学基础知识不扎实，甚至有些对教材中一些概念都不清楚，实际操作能力、言语表达能力等都稍显欠缺。
（2）教师对解决问题教学不重视。
据调查结果表明，有42%的教师因为考试才重视解决问题教学，很多教师还是进行应试教育，这就对学生的整体素质的提高有着较大阻碍作用。
（3）教学素材单一，教学方法过于老套。
据了解，大部分小学数学教师都是采用现成的教案，较少主动地去编制实际生活中的应用题，且在讲述应用题的过程中，教学方法过于僵硬，较少渗透数学思想，这也就与新课程理念相违背。
2.学生解决问题的障碍（1）学生的基础数学知识不牢固，这是最基本的一点，只有掌握了知识和技能才能解决实际问题。
（2）由于一些教师的教学方法过于死板，也就导致学生没有掌握好数学思想方法。
（3）通过对某所学校的小学生的调查，有近40%的学生对应用题不感兴趣，将近34%的学生对应用题有恐惧感，有着一定的心理障碍。
（4）学生较少参加生活实践，对应用题牵涉的一些概念感觉生疏，再加上学生的阅读能力不强，不能准确把握题意，这些对解决问题教学造成较大麻烦，需要引起足够的重视。
算法的教学实践__案例(3篇)
第1篇一、背景随着信息技术的飞速发展，算法已经成为现代社会不可或缺的一部分。
在计算机科学、数据科学、人工智能等领域，算法的应用越来越广泛。
为了培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和创新意识，将算法融入教学实践显得尤为重要。
本文以某高校计算机科学与技术专业为例，介绍一种算法的教学实践案例。
二、教学目标1. 理解算法的基本概念和特性。
2. 掌握常用算法的设计与实现方法。
3. 能够运用算法解决实际问题。
4. 培养学生的团队合作精神和创新能力。
三、教学内容1. 算法的基本概念：算法的定义、特性、复杂度等。
2. 常用算法：排序算法（冒泡排序、选择排序、插入排序等）、查找算法（二分查找、顺序查找等）、图算法（广度优先搜索、深度优先搜索等）。
3. 算法设计方法：分治法、动态规划、贪心算法等。
4. 算法实现：使用Python语言实现各种算法。
四、教学实践案例1. 案例背景某高校计算机科学与技术专业开设了一门《数据结构与算法》课程，课程内容涉及算法的基本概念、常用算法、算法设计方法以及算法实现等。
为了提高学生的实践能力，教师决定采用案例教学法，通过一个具体的案例让学生在实践中学习算法。
2. 案例描述案例：某公司需要开发一个图书管理系统，实现以下功能：（1）图书信息录入：包括书名、作者、出版社、出版日期、价格等信息。
（2）图书查询：根据书名、作者、出版社等信息进行查询。
（3）图书借阅：实现图书的借阅、归还功能。
（4）图书统计：统计图书的借阅次数、库存数量等信息。
3. 教学过程（1）引入案例教师首先向学生介绍案例背景，让学生了解图书管理系统的功能和需求。
（2）分析问题教师引导学生分析案例中的问题，明确需要解决的问题，如图书信息录入、查询、借阅、统计等。
（3）设计算法教师带领学生一起设计解决案例中问题的算法，如图书信息录入可以使用链表实现，图书查询可以使用二分查找算法，图书借阅可以使用栈实现，图书统计可以使用哈希表实现。
融合正态分布函数相似度的协同过滤算法
融合正态分布函数相似度的协同过滤算法
仇国庆;马俊;赵婉滢;赵文铭
【期刊名称】《计算机应用研究》
【年(卷),期】2018(035)010
【摘要】传统协同过滤推荐算法的相似度量方法仅考虑用户间共同评分,忽略了用户间潜在共同评分项等信息量对推荐结果的影响.针对上述问题,设计了一种正态分布函数相似度量模型,此模型考虑了用户间的共同评分、共同评分项目数以及用户的评分值,据此提出了融合正态分布函数相似度的协同过滤算法,该算法通过综合多种评分因素利用正态分布函数和修正的余弦相似度共同度量用户间的相似关系.实验结果表明,在两种数据集上与几种不同的推荐算法相比,该算法的相似度量方法提高了目标用户查找邻近用户集合的准确率,提高了系统的推荐质量.
【总页数】4页(P2920-2923)
【作者】仇国庆;马俊;赵婉滢;赵文铭
【作者单位】重庆邮电大学自动化学院,重庆400065;重庆邮电大学自动化学院,重庆400065;重庆邮电大学自动化学院,重庆400065;重庆邮电大学自动化学院,重庆400065
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.融合信息熵和加权相似度的协同过滤算法研究 [J], 李玲;王移芝
2.基于正态分布函数的直觉模糊集的相似度量方法 [J], 陈传波;吕泽华;秦培煜;夏晖
3.融合\"S\"型相似度和关联度的协同过滤算法 [J], 余相;陈亮;胡亚兰;王丹
4.融合多层相似度与信任机制的协同过滤算法 [J], 孔麟;黄俊;马浩;郑小楠
5.融合用户相似度的协同过滤算法研究 [J], 贾雯;李香
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教育科学学院
18０２
一年级小学生自我调节学习能力与教师非言语行为的关系研究
哲学XX科学类调查报告及学术XX
教育
项熙茜
林雅玲、黄子芹、张梅
潘蕾琼（讲师）
教育科学学院
18０3
幼儿园班级场域中三人群体合作关系研究
哲学XX科学类调查报告及学术XX
教育
任方芳
李文荻、谢尚芳、黄芳、彭怡
杨宁（教授）、廖莉(部长）
庞雄文（副教授）、曹阳(副教授)
计算机学院
1８05
智能养生小专家
发明制作类作品
信息技术
林宇球
叶裕威、温镇松、黄嘉荣、骆美娟
葛红（副教授)
计算机学院
1８0６
基于深度学习的手写图像文字识别技术的应用与研究
利用对称思想巧解多元函数最值
利用对称思想巧解多元函数最值
房晓南;富春江;洪恩锋
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)5
【摘要】我们常说数学是种对称的美，谈到“对称”容易联想到的是轴对称，中心对称，对称式等．而对称的美，不仅是外在的视觉感受，更是一种内在的智慧，是处理数学问题的一种指导思想，是对客观世界的一种合理性解释．
【总页数】3页(P44-46)
【关键词】对称思想;函数最值;巧解;利用;合理性解释;“对称”;中心对称;视觉感受【作者】房晓南;富春江;洪恩锋
【作者单位】辽宁省抚顺市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.用多元函数最值问题解法探讨“巧用对称求最值” [J], 熊福州
2.轮换对称最值题的巧解 [J], 李金聪
3.巧解多元函数的最值 [J], 张海涛
4.巧作“对称点”妙解最值题 [J], 王尧兴;王大通
5.利用函数y=sin2θcosθ最值关系巧解竞赛题 [J], 曹征军
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Rayleigh-Geometric分布及其性质研究
科 技 前 沿DOI：10.16661/ki.1672-3791.2108-5042-1377Rayleigh-Geometric分布及其性质研究姚惠 代勇 胡云学(黔南民族师范学院数学与统计学院 贵州都匀 558000)摘 要：随着极值理论的深入研究，复合极值分布广泛应用于气象、交通、水文、金融、保险等领域。
该文利用极值理论将R ayleig h分布和Geomet r ic分布进行复合，提出了一种新的复合极值分布：两参数的Rayleigh-Geometr ic分布。
讨论了该分布的分布函数、概率密度函数、参数特定取值时密度函数的图像特征，讨论了分布的分位数、众数等数字特征，讨论了分布的生存函数和危险率函数，最后用极大似然法研究了分布参数的点估计。
关键词：Rayleigh-Geometric分布 复合极值分布 性质 极大似然估计中图分类号：O212.3 文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)08(a)-0011-05Study on Rayleigh-Geometric Distribution and Its PropertiesYAO Hui DAI Yong HU Yunxue(School of Mathematics and Statistics, Qiannan Normal University for Nationalities, Duyun, GuizhouProvince, 558000 China)Abstract: With the in-depth study of extreme value theory, the compound extreme value distribution is widely used in meteorology, transportation, hydrology, f inance, insurance and other f ields. In this paper, Rayleigh distribution and Geometric distribution are combined by using extreme value theory, and a new composite extreme value distribution is proposed, namely two-parameter Rayleigh-Geometric distribution, which is obtained by compounding a Rayleigh and a geometric distribution based on extreme value theory. This paper discusses the distribution properties, probability density function,the graph features of the density function with specif ic values of parameters, the digital characteristics of distribution, such as quantile, mode and so on, survival function and risk rate function of distribution. Finally utilizes the maximum likelihood estimation to discuss the point estimation of the parameters.Key Words: Rayleigh-Geometric distribution; Compound extreme value distribution; Properties; Maximum likelihood estimation基金项目：黔南民族师范学院数学建模课程群教学与科研创新团队建设项目《Rayleigh-Geometric分布的性质 及其参数估计研究》（项目编号：2014ZCSX09）。
剖析原始物理问题 培养学生核心素养
剖析原始物理问题㊀培养学生核心素养路㊀阳(江苏省溧水高级中学附属初级中学ꎬ江苏南京２１１２００)摘㊀要:«初中物理课程标准(２０２２年版)»中ꎬ明确提出了把培养学生的核心素养作为主要的教学目标.通过对原始物理问题进行模型构建ꎬ转化为可探究的物理实验ꎬ可以很好地发展学生的科学思维ꎬ达到培养学生学科核心素养的目标.关键词:原始物理问题ꎻ核心素养ꎻ模型构建ꎻ探究实验中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００７２－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:路阳(１９８１.５－)ꎬ男ꎬ安徽省寿县人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中物理教学研究.㊀㊀原始物理问题是指自然界及社会生活㊁生产中客观存在且未被加工的典型物理现象和事实ꎬ是物理学的本源ꎬ物理习题则是指对物理现象和事实进行再次抽象和加工[１].现阶段的习题教学ꎬ只重视学生短期掌握知识ꎬ死记硬背ꎬ忽视知识的来源ꎬ不重视过程评价ꎬ对学生的学科核心素养的培养极为不利.１解决原始物理问题与培养核心素养的关系学生在面对一道原始物理问题时ꎬ首先是对问题中包含的生活情境理想化ꎬ进行分析和抽象建立物理模型ꎬ利用物理原理㊁公式㊁数学方程等进行求解ꎬ最后根据结论反思或讨论ꎬ检验结论是否符合情境ꎬ解决问题的过程是否完善.«初中物理课程标准(２０２２年版)»中提出的核心素养培养ꎬ其中科学思维包括模型构建㊁科学推理㊁科学论证㊁质疑创新四个方面[２].通过模型构建或转化为可探究的物理实验来解决原始物理问题ꎬ原始物理问题的解决与核心素养培养的关系如图１所示.２解决原始物理问题的能力及原因为了探究现阶段学生解决原始物理问题的能图１㊀原始问题的解决与核心素养培养的关系力ꎬ命制了原始物理问题和常规物理问题各５道ꎬ选取了九年级学生６０名ꎬ其中３０名学生解答原始物理问题ꎬ另外３０名学生解答常规物理问题ꎬ具体问题及分值如表１所示ꎬ测试结果如表２所示.通过测试结果分值表可以看出ꎬ对于常规问题ꎬ学生答题结果还比较满意ꎬ７０分以上同学占了大多数ꎬ说明能够熟练的应用物理知识解答问题.但对于原始物理问题ꎬ大部分同学得分在７０分以下.可以反映出学生对于原始的物理情境不会进行现象的描述和分析ꎬ不善于进行抽象和转化ꎬ缺少应对的方法和策略.如图２所示ꎬ传统的物理习题教学只有验算和推导ꎬ学生缺少对原始物理问题情境进行构建模型的能力ꎬ无法进一步分析㊁科学推理㊁总结.长期以２７表１㊀原始物理问题与常规习题对比㊀㊀表２㊀测试结果分值表类型ɤ４０４０~５０５０~６０６０~７０７０~８０８０~９０９０~１００原始物理问题５６７７３２０常规物理问题０１２４１３８２来ꎬ学生的科学思维得不到锻炼ꎬ核心素养得不到提升.为了破除题海战术带来的弊端ꎬ原始物理问题的引入恰好可以弥补这一不足[３].图２㊀原始问题解决过程３通过原始物理问题提升核心素养的教学策略３.１构建物理模型模型建构是学生根据研究问题和情境ꎬ在客观事物和概括的基础上建构易于研究㊁能反映事物本质特征和共同属性的理想模型㊁理想过程㊁理想实验和物理概念的过程.建构模型有助于学生抓住事物的关键要素ꎬ加深对概念的理解ꎬ形成系统思维.初中阶段ꎬ学生能够在真实情境中ꎬ具有构建模型的意识和能力ꎬ通过科学推理找出规律㊁形成结论ꎬ从而解释自然现象和解决实际能力.可以看出在解决原始问题过程中ꎬ通过模型构建和科学推理可以培养学生的科学思维ꎬ提高学生的科学素养ꎬ而通过原始物理问题的解决正好可以达到这一目的[４].案例１㊀俯卧撑是一项常见的健身项目ꎬ采用不同的方式做俯卧撑ꎬ健身效果通常不同.图３是小苏在水平地面上和手扶凳子做俯卧撑保持静止时的两种情景ꎬ估测第一种情况手掌受到力的大小ꎬ比较前后两次手掌受到力大小的关系.图３㊀俯卧撑图示这是一个常见的原始物理问题ꎬ没有具体的物理量ꎬ也没有特定的物理模型和解题规律和方法.学生要解决此问题ꎬ需要对俯卧撑进行简化㊁抽象ꎬ忽略次要因素㊁突出主要矛盾构建出相应的物理模型ꎬ具体分析如下:物理规律分析:(１)赋值:人的重力为５６０ＮꎬＯＡ长为１ｍꎬＯＢ长为１.４ｍ(２)受力分析:重力㊁地面对脚的支持力㊁手受到的力３７(３)杠杆平衡条件:Ｆ１Ｌ１＝Ｆ２Ｌ２(４)解答求解㊁对比分析求解过程:模型一㊀列式分析ңＦ１＝ＧＬＡＬＢ＝５６０Ｎˑ１ｍ１.４ｍ＝４００ｎ模型二㊀列式分析ңＦ２ＬＢᶄ＝ＧＬＡᶄ变形ңＦ２＝ＧＬＡＬＢ推导:因为ＬＡᶄ<ＬＡ㊀ＬＢᶄ＝ＬＢꎬ所以Ｆ２<Ｆ１.教学思考与建议:此类题原始数据不足ꎬ要求学生根据生活经验进行合理的估算ꎬ构建物理模型ꎬ运用数学知识推导验算ꎬ分析总结结论和规律.只有平时善于观察㊁思考ꎬ才能在建模的过程中培养科学思维.３.２转化为可探究的物理实验«初中物理课程标准(２０２２年版)»指出ꎬ科学探究是基于观察和实验提出物理问题㊁形成猜想与假设㊁设计实验与制定实验方案㊁获取与处理信息㊁基于证据得出结论并作出解释ꎬ以及对科学探究过程和结果进行交流㊁评估㊁反思的能力.科学探究主要包括问题㊁证据㊁解释㊁交流等要素.将原始物理问题转化为可探究的物理实验问题ꎬ如图４所示ꎬ学生能通过物理现象的再现ꎬ形成问题意识.在探究过程中ꎬ可以提升学生设计实验方案㊁数据处理的能力.反思与讨论的过程ꎬ也可以培养学生交流合作的能力.因此ꎬ把原始物理问题转化为可探究的物理实验ꎬ可以培养学生的科学探究能力.图４㊀原始问题转化为可探究实验提升科学素养案例２㊀探究树荫下的光斑ꎬ发现这些光斑形状不一(大部分是圆形)ꎬ提出问题:这些圆形光斑为什么大小不一ꎬ亮暗不同[５]分析过程㊀地面光斑(图５)分析㊁转化ң可探究的物理实验ң凸透镜成像实验(图６)图５㊀树荫下的光斑㊀㊀㊀㊀图６㊀凸透镜成像实验教学思考与建议:把原始物理问题转化为可探究的物理实验ꎬ学生通过设计实验㊁进行实验㊁数据处理㊁反思讨论的过程ꎬ锻炼了思维能力ꎬ提升了学生的科学探究能力和科学素养.４结束语本文探讨了解决原始物理问题和提升核心素养的关系ꎬ以模型构建和探究实验为途径ꎬ培养学生的思维能力和科学探究能力.平时的教学过程中ꎬ教师应多关注原始物理问题的创设ꎬ让学生经历建模和探究的过程ꎬ从而提升学生的核心素养.参考文献:[１]何述平ꎬ杨英恺.通过原始物理问题提升核心素养的教学策略[Ｊ].物理通报ꎬ２０２１(０５):１４－１９.[２]李春密ꎬ苏明义.新版课程标准解析与教学指导(初中物理)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２:７－１６.[３]熊宏华.洞悉原始物理问题ꎬ培育科学思维能力[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０１８(０３):１３－１６.[４]陈辉.剖析原始物理问题培养物理建模能力[Ｊ].物理教学ꎬ２０１８(１０):５－８.[５]张楠.深度学习视角下的综合实践活动的深度备课:以 探究树荫下的光斑 为例[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(３５):７０－７１.[责任编辑:李㊀璟]４７。
利用PCA进行深度学习图像特征提取后的降维研究
利用PCA进行深度学习图像特征提取后的降维研究杨博雄;杨雨绮【摘要】深度学习是当前人工智能领域广泛使用的一种机器学习方法.深度学习对数据的高度依赖性使得数据需要处理的维度剧增,极大地影响了计算效率和数据分类性能.本文以数据降维为研究目标,对深度学习中的各种数据降维方法进行分析.在此基础上,以Caltech 101图像数据集为实验对象,采用VGG-16深度卷积神经网络进行图像的特征提取,以PCA主成分分析方法为例来实现高维图像特征数据的降维处理.在实验阶段,采用欧氏距离作为相似性度量来检验经过降维处理后的精度指标.实验证明:当提取VGG-16神经网络fc3层的4096维特征后,使用PCA法将数据维度降至64维,依然能够保持较高的特征信息.【期刊名称】《计算机系统应用》【年(卷),期】2019(028)001【总页数】5页(P279-283)【关键词】深度学习;卷积神经网络;主成分分析法;特征降维【作者】杨博雄;杨雨绮【作者单位】三亚学院信息与智能工程学院,三亚572022;北京师范大学研究生院珠海分院,珠海519085;北京师范大学研究生院珠海分院,珠海519085【正文语种】中文1 引言随着以深度学习为代表的新一代人工智能算法的研究与快速发展，建立在该方法之上的各种智能应用系统越来越依赖大数据的自主训练与学习，特别是在一些复杂的智能应用系统，如图像识别、语音识别、视频检索、自然语音处理等领域更是如此[1]. 深度学习对数据的依赖导致数据的体量和维度均出现指数级增长. 很明显，过高的数据维度会造成维度灾难，既影响了计算效率，也影响分类性能[2]. 这就有必要采用某种方法来降低数据维度，以此降低进一步数据处理的复杂度，提高处理效率[3].由于深度学习的本质依然是机器学习，因此在降维处理方面可以借鉴传统的机器学习方法，并在此基础上进行优化以适应深度学习的应用场景. 机器学习中较常采用的降维方法有: 主成分分析法(Principal Component Analysis， PCA)、线性判别分析法(Linear Discriminant Analysis， LDA)、局部线性嵌入法(Locally linear embedding， LLE)、拉普拉斯特征映射法(Laplacian Eigenmaps)等[4-7].下面，本文将以卷积神经网络获取图像特征为研究目标，以 Caltech 101 图像数据集为实验对象，采用 VGG-16深度卷积神经网络进行图像的特征提取. 在此基础上，通过研究图像高维特征信息，选取统计学中的PCA法作为降维处理方法，并配合SVD分解算法降低处理的复杂度，进而再通过以相似性对降维后特征进行精度比对，来分析降维后不同维度图像特征的精度损失.2 PCA降维2.1 PCA原理主成分分析PCA也称主分量分析，它是一种将原有的多个变量通过线性变换转化为少数几个新的综合变量的统计分析方法. 这些新变量(也称主成分)互不相关，能有效地表示原变量的信息，不丢失或尽量少丢失原有变量的信息). PCA追求的是在降维之后依然能够最大化保持数据的内在信息，并通过衡量在投影方向上的数据方差的大小来判断该方向的重要性. 其基本数学原理如下:设n维向量w是低维映射空间的一个映射向量，则经过最大化数据映射后其方差公式如下:式(1)中， m是参与降维的数据个数，是随机数据i具体向量表达是所有参与降维的数据的平均向量.定义W为包含所有特征映射向量的列向量组成的矩阵，该矩阵可以较好地保留数据中的信息，该矩阵经过代数的线性变换可以得到一个优化的目标函数如下:式(2)中tr是矩阵的迹， A是协方差矩阵，表达式如下:PCA的输出就是，最优的W是由数据协方差矩阵前k个最大的特征值对应的特征向量作为列向量构成的，由此将X的原始维度降低到了k维.2.2 SVD分解PCA需要计算其特征值和正交归一化的特征向量，这两个向量在实际应用中都会非常大，直接计算非常困难，通常会用SVD分解来解决这个问题[8].SVD 即 Singular Value Decomposition，它是处理维数很高的矩阵经常用的方法，通过SVD分解可以有效的将很高维的矩阵分解到低维空间里面来进行求解.通过SVD分解可以很容易的求解出高维矩阵的特征值和其相应的特征向量. SVD 分解的基本原理如下:设A是一个秩为r的维矩阵，则存在两个正交矩阵(4)、(5)和一个对角矩阵(6).式(4)、(5)、(6)三式满足:其中，λ i(i=1,2,···,r)为矩阵的非零特征值；分别为对应于的特征向量.上述分解过程即为矩阵A的SVD分解， A的奇异值为由于可表示为:因此求出构造矩阵为:由此求出的正交归一化特征向量为:该特征向量通过计算较低维矩阵R的特征值和特征向量而间接求出的，从而实现从高维到低维的快速计算.2.3 PCA特征降维流程在SVD分解中U一共有M个特征向量. 虽然在很多情况下M要比小很多，然而在通常情况下， M仍然显得较大，所以需要对特征向量进行选取，在实际应用中并不需要保留所有的特征向量. PCA降维处理的具体流程如下:1) 首先计算特征平均值构建特征数据的协方差矩阵；2) 再通过SVD分解求解该协方差矩阵的特征值以及特征向量；3) 求出来的特征值依次从大到小的排列以便于选出主成分的特征值；4) 当选出了主成分的特征值后，这些特征值所对应的特征向量就构成了降维后的子空间.3 基于CNN的图像特征提取3.1 CNN卷积神经网络卷积神经网络(Convolutional Neural Network， CNN)是深度学习技术中极具代表的网络结构之一，在图像处理领域取得了很大的成功，许多成功的深度学习模型都是基于CNN的[9，10]. CNN相较于传统的图像处理算法的优点之一在于可以直接输入原始图像提取人工特征，避免了对图像复杂的前期预处理过程[11].本文选取VGG-16作为CNN特征提取网络， VGG-16获得2014年ImageNet 比赛的冠军，在学界有很广泛的应用，而且被验证为最有效的卷积神经网络之一[12].VGG-16网络的总体结构共有16层，其中包括13个卷积层和3个全连接层[13]，如图1所示.图1 VGG-16结构图实验输入的图像像素大小为224×224，输出层为1000维. 卷积神经网络的特点是靠近输入层的节点表示图像在低维度上的抽象，而靠近输出层的节点表示图像更高维度的抽象. 低维抽象描述图像的纹理和风格，而高维度抽象描述了图像的布局和整体特征，因此高维度特征能够较好的表示图像的内容. 在本次实验中，以卷积神经网络的fc3层的输出的高维度特征作为图像的特征向量，由于fc3是网络的第三个全连接层，根据网络结构，它具有4096维的输出，因此我们获得的特征维度就是4096.3.2 数据集选取Caltech 101数据集是加利福尼亚理工学院整理的图片数据集， Caltch101包括了101类前景图片和1个背景类，总共9146张图片，其中有动物、植物、卡通人物、交通工具、物品等各种类别. 每个类别包括40-800张左右的图片，大部分类别包括50张左右的图片.图片的大小不一，但是像素尺寸在300×200左右[14]. 为了减少实验时的计算量，本文从102类数据中选择了25类数据，每类选择40张图片，总共1000张图片. 这25类数据都属于动物(此举增加判别难度，动物和动物比动物和其他类别更相近)，每类都选40张.4 实验测试4.1 实验环境搭建为使PCA降维后对普遍特征的影响效果进行一个比对，本文以图像特征的相似度比对为精确度检验指标，采用欧式距离作为相似度特征度量指标，检验降维后图像特征与没有降维前的精度损失变化情况. 实验软件环境为Linux操作系统和Keras神经网络框架，编程语言采用Python 3.5，硬件为配置有支持支持CUDA 的NVIDIA GPU显卡GeForce GTX 285、至强四核处理器和32 GB内存的PC 机. 实验流程如图2所示.4.2 实验结果采用VGG-16的fc3提取的特征有4096维，当在1000张图片的数据集中进行特征比对，能够在较快的时间内完成. 但是，在真实的检索环境下，图片库中的图片要远远大于1000，此时数据的维度会显著的影响检索效率. 降低数据的维度是检索中非常重要的一个环节.先分析降维的可行性， VGG-16原本用于ImageNet图像分类竞赛，竞赛任务是对100多万张属于1000个类别的图片进行识别. 这1000类数据囊括了已知的各种类别的事物，所以可以将VGG-16定义为一个泛化的神经网络，即对于各种类别的事物都具有学习能力.然而实验的数据集仅仅具有25类，且均为动物，可以视为ImageNet数据集的一个子集. 但是使用一个大数据集的特征来描述其子集的特征是会存在冗余的.图2 实验流程图本实验采用PCA去除数据集中的冗余， PCA通过线性映射将高维空间的数据投影到低维空间中，并且尽量使低维空间上数据的方差尽量大. 这样在保持原有数据点关系不变的情况下能够有效的降低维度. 基于此原理，实验使用PCA降维，统计降维后维度与精确度的数据如表1所示.表1 PCA不同维度的相似度精度比对值维度 4096 1024 256 64 32 16 8精确度0.9038 0.9038 0.9030 0.9152 0.919 15 0.9049 0.81895对应的变化折线图如图3所示.5 结论从实验的数据变化和曲线表现来进行分析，本实验获得两点结论.1) 进行PCA降维后，并没有产生精度的损失，相反，当维度降低到 64 的时候，精度最高，相比于不降维的情况，提高了2.7%. 分析折线图可以看出，维度从4096降到8维经历了缓慢上升和快速下降两个阶段. 第一个阶段从4096维到64维，这个阶段的缓慢上升，原因是由于冗余信息的去除导致的. 实验结果证明，CNN特征也有一定的信息冗余，信息冗余所带来的影响比降维所带来的损失的影响要更大，因此去除冗余能够提升准确率. 第二个阶段从64维到8维，这个阶段准确率急速下降，这是因为特征维度小于64后，降低维度会去除有用信息，有用信息受损，导致了准确率的急速下降.图3 PCA降维后的比对准确率折线图2) 进行PCA降维后，除欧式距离外，其他相似性度量的准确率都非常低. 产生这个现象是因为PCA计算时仅仅保证低维空间上数据的方差尽量大. 在仅考虑方差的降维条件下，其他相似性度量方式失效就不难理解了.综合以上实验得出: 当提取VGG-16神经网络fc3层的4096维特征，使用PCA降至64维，并采用欧氏距离作为相似性度量时依然能够获得最高的准确率，保持最佳的图像特征信息.参考文献【相关文献】1 Jose C. A fast on-line algorithm for PCA and its convergence characteristics. IEEE Transactions on Neural Network， 2000，4(2): 299-305.2 Majumdar A. Image compression by sparse PCA coding in curvelet domain. Signal，Image and Video Processing， 2009，3(1): 27-34. [doi: 10.1007/s11760-008-0056-5]3 Gottumukkal R， Asari VK. An improved face recognition technique based on modularPCA approach. Pattern Recognition Letters， 2004， 25(4): 429-436. [doi:10.1016/j.patrec.2003.11.005]4 Mohammed AA， Minhas R， Wu QMJ， et al. Human face recognition based on multidimensional PCA and extreme learning machine. Pattern Recognition， 2011，44(10-11):2588-2597. [doi: 10.1016/j.patcog.2011.03.013]5 Kuo CCJ. Understanding convolutional neural networks with a mathematical model. Journal of Visual Communication and Image Representation， 2016， 41: 406-413. [doi: 10.1016/j.jvcir.2016.11.003]6 Schmidhuber J. Deep learning in neural networks: An overview. Neural Networks， 2015，61: 85-117. [doi: 10.1016/j.neunet.2014.09.003]7 Girshick R. Fast R-CNN. 2015 IEEE International Conference on Computer Vision. Santiago， Chile. 2015.1440-1448.8 Szegedy C， Liu W， Jia YQ， et al. Going deeper with convolutions. 2015 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Boston， MA， USA. 2015. 1-9.9 Rampasek L，Goldenberg A. TensorFlow: Biology’s gateway to deep learning? Cell Systems， 2016， 2(1): 12-14. [doi:10.1016/j.cels.2016.01.009]10 Sebe N， Tian Q， Lew MS， et al. Similarity matching in computer vision and multimedia. Computer Vision and Image Understanding， 2008， 110(3): 309-311. [doi:10.1016/j.cviu.2008.04.001]11 Hinton GE， Salakhutdinov RR. Reducing the dimensionality of data with neural networks. Science， 2006， 313(5786):504-507. [doi: 10.1126/science.1127647]12 Zhuang FZ， Luo P， He Q， et al. Survey on transfer learning research. Journal of Software， 2015， 26(1): 26-39.13 Han S， Pool J， Tran J， et al. Learning both weights and connections for efficient neural networks. Proceedings of the 28th International Conference on Neural Information Processing Systems. Montreal， Canada. 2015. 1135-1143.14 Zeiler MD， Fergus R. Visualizing and understanding convolutional networks. 13th European Conference on Computer Vision. Zurich， Switzerland. 2014. 818-833.。
深度学习数学案例-张楠PPT课件
解决问题，学以致用。
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7
“深度学习”教学理念下的数学学习
学生在学习新知的时候，教师能找到学科知识的 生长点，在学生原有认知的基础上，找到学生的发展区， 让学生能够在不知不觉中感受到，这些数学知识的产生 和发展不是人为编造的强加于他们的，而是在他们“灵 魂”深处本来就有的，作为教师的职责就是要准确把握 学科及学科教育的本质，设计教学以“唤醒”学生“灵 魂”深处已有的东西——知识、方法、经验。引导他们 自主构建新的认知体系，逐渐形成具有探索、发现、研 究特质的新的自我。这些也正是“深度学习”教学改进 项目的核心目标——更好的关注学生的学
单项式
加法运算
实数
字母表示数（乘法运算）
.
37
单元• 整体
从整体到局部 进行系统定位
逐步形成研究运算的基本方法：对象，法则，算律。承袭， 迁移。
新对象新运算 函数统领
初步体会运算的本质：映射。 初步体会运算的作用：产生新对象，新运算，解决新 问题
.
30
5个概念（负数、有理数、相反数、绝 对值、非负数）
1个工具（数轴）
3个符号（负号、绝对值号、乘方符号）
6条法则（有理数比大小、有理数加、减、乘、
除、乘方运算法则）
5个基本运算（加、减、乘、除、乘方）
5条运算律（加法交换律、结合律、乘法交换
律、结合律、分配律）
.
本章教学内容（19 课时） 1.1 正数和负数 1.2有理数 1.3有理数加减法 1.4有理数乘除法 1.5有理数乘方
函数是一种相依关系的反映，是相依关系的数
学表示，进而上升到函数是一种关系，一种映
射．在函数概念的扩张过程中，函数思想也不
断更新．除了基本的从运动变化和联系的观点
基于深度学习的“智慧树”研学范式的探究
基于深度学习的“智慧树”研学范式的探究发布时间：2021-04-07T12:09:35.230Z 来源：《教学与研究》2020年33期作者：郑维超[导读] 培养学生应该拥有的最重要的一项能力是学会如何去学习郑维超杭州市采荷中学浙江杭州 310004摘要：培养学生应该拥有的最重要的一项能力是学会如何去学习。
而深度学习的目标为让学生掌握核心课业内容、批判性思维和解决问题、合作、有效沟通、自主学习和学术心态。
笔者基于初中学生的认知能力，通过深度学习的思维导图（智慧树）研学范式探究力图培养学生的学习和迁移能力，实现每一位学生数学素养的提升。
本文中笔者就深度学习、思维导图（以下简称“智慧树”）概念、数学核心素养概念等展开分析和实践探究，旨在突破传统数学教学中的问题，顺应现阶段数学改革的要求，实现学生数学素质的综合性发展并提升教学效率，为培育具有创新能力、协作交流能力、批判性思考和解决真实问题等未来核心能力的学生不断努力。
关键词：深度学习；思维导图；研学范式、核心素养。
一、传统教学的表象和分析（1）调查数据的鉴定与诊断：为了解当前学生的学习状况。
笔者学校借助区层面在2018学年第二学期末阶段。
在作业指数、睡眠状况、学习压力、师生关系、探究学习、因材施教、合作学习、沟通合作、高阶思维等九大维度共44个问题对本校区七年级223名学生进行全覆盖、全方位的调查；借助大数据分析我们发现该大数据调查报告对学校七年级学生的学习状况一是起到鉴定作用：对评价对象本校区七年级全体学生核心素养、学习过程和成长因素的较真实调研分析；二是诊断作用：对当前校区教育管理体系的绿色和生态有效发展提供了一定的参考诊断数据；三是激励作用：大数据数据报告更好地激发了本校区教师优化教学方式的内驱力。
我们发现在作业指数、学习压力、师生关系、探究学习、因材施教、合作学习、沟通合作这些维度上校区数据均优于区常模。
但在“高阶思维上”横向对比区常模数据偏低我们分析大数据后发现：高阶思维维度从横向对比（区常模）、纵向对比（2017学年）数据都偏弱，说明学生的创新意识整体能力不足。
小学数学“融学课堂”构建新思路
小学数学“融学课堂”构建新思路摘要：在时代的不断进步与发展中，我们对当前的教学品质有了更高的要求。
“融学课堂”建设是立足高质量发展，贯彻落实立德树人的基本要求而进行的一种重大的教育教学方式。
以多个不同的专业为基础，突破不同专业的隔阂，以小学数学为起点，对其进行思考、创造、应用、动手等方面的训练，让他们体会到不同专业的相似性，以一种“寓教于乐”的形式，创造出一种“融学课堂”。
关键词：小学数学；融学课堂；新思路在新的教学观念下，应转变以往的教学模式，根据当前的教学需求，立足于“融学”，在整个教学过程中，小学数学占有很大的比重，是让孩子们从课本中认识现实的一种方法，也是孩子们进行逻辑思考的初始环节，但是，也有可能让孩子们觉得很难，很无聊。
在“融学课堂”建设过程中，要灵活处理好小学生之间的冲突，凸显他们的个性特征，增加其学习乐趣，激发其学习活力。
一、小学数学“融学课堂”课程建设理念在进行现代化教育的过程中，要求对学生的综合素质和核心素养进行协调发展，要求进行课程创新、课堂融合，让课程与课堂进行有效融合，让课程与当前环境的适应能力得到增强。
[1]在新的教学环境下，要本着“融”与“学”相融合的理念，主动寻找各学科内容的交汇点，核心理念的衔接点，增强其在实际中的实用性，从而对新的教学环境建设提出对应的思考，让新的教学环境变得更为丰富多彩，更接近于现实。
学校和老师要正确理解“融”和“学”的特征，掌握实用的含义，对整个学科框架进行再整理，将学科教材和学校活动有机地结合起来，增强学科的普遍性，从而提升整个小学数学教育的质量。
二、小学数学“融学课堂”问题诊断本文从当前我国中小学的教学现状和“融学课堂”的教学实践出发，提出了当前我国的教学实践中还应注意的三点问题。
首先，伴随着技术的不断发展，在教育界，更多的应用了先进的教学仪器，但是，在小学的数学教学中，仪器的应用还停留在较低的层次上，仪器对教室的帮助不大，无法充分发挥仪器的作用，无法将课本知识与仪器所能获得的各种资讯进行有效的整合。
利用支持向量机和人工神经网络填补缺失数据
利用支持向量机和人工神经网络填补缺失数据张楠;程理;王鹏【摘要】本文从R内置数据集iris中按需要选取样本数据建立学习样本,模拟生物样本属性值缺失和类别缺失两种缺失数据的情况,以MATLAB为工具,利用支持向量机和人工神经网络对缺失值进行填补。
对于生物样本数据中存在属性值缺失的情况,可以分别采用支持向量机和人工神经网络进行回归填补,并对BP神经网络和RBF神经网络的适用性进行了对比;对于生物样本数据中存在样本类别缺失的情况,采用支持向量机分类填补。
结果显示,用神经网络预测填补缺失的属性值时,RBF网络对隐层神经元数目选取的自适应性使之比BP网络更为稳定;相比人工神经网络,支持向量机对有限的样本更为适用,并且不依赖设计者经验,泛化能力强。
【期刊名称】《应用数学进展》【年(卷),期】2017(006)005【总页数】8页(P677-684)【关键词】生物样本;填补缺失数据;支持向量机;人工神经网络【作者】张楠;程理;王鹏【作者单位】[1]北京林业大学理学院,北京;;[1]北京林业大学理学院,北京;;[1]北京林业大学理学院,北京【正文语种】中文【中图分类】TP1In this paper, we use the built-in data set iris to select the sample data according to the need to establish the learning samples, simulate the missing values of the biological sample attributes and the missing two types of missing data. Using MATLAB as the tool, we use the support vector machine and the artificial neural network to carry out the missing values to fill. For the case of missing attribute values in the biological sample data, the support vector machine and the artificial neural network can be used for the regression filling, and the applicability of the BP neural network and the RBF neural network can be compared. For the sample of the biological sample,missing situation, using support vector machine classification to fill. The results show that the adaptability of the number of hidden neurons in the RBF network is more stable than that of the BP network when the neural network is used to predict the missing attribute values. Compared with the artificial neural network, the support vector machine for the application, do not rely on the designer experience and has generalization ability.Biological Sample, Filling Missing Data, Support Vector Machine, Artificial Neural Network生物样本，填补缺失数据，支持向量机，人工神经网络一个简单的生命，也包含庞大的数据信息，数据构成十分复杂。
基于矩阵的BCNF分解算法
基于矩阵的BCNF分解算法
刘乙竹
【期刊名称】《电子制作》
【年(卷),期】2015(000)014
【摘要】本文以矩阵为工具，讨论了将矩阵运用到关系模式规范化过程中，用矩阵来表示函数依赖关系，利用矩阵求属性集合的闭包，给出了基于矩阵的BCNF 分解算法。
【总页数】2页(P16-17)
【作者】刘乙竹
【作者单位】四川大学计算机学院成都 610225
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于BCNF的数据模型的层次分解算法 [J], 胡军;夏英
2.基于逆向超图的“改进的BCNF”的分解算法 [J], 刘文远
3.基于改进非负矩阵分解算法的人脸识别研究 [J], 王焕庭;王鑫印
4.基于特定用户约束的概率矩阵分解算法 [J], 郝昱猛;马文明;王冰
5.基于填充先验约束的矩阵分解算法 [J], 袁晓峰;钱苏斌;周彩根
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映射说
函数概念理解的可持续性
中小学对于函数概念本质的理解定位在： 函数是一种相依关系的反映，是相依关系的数 学表示，进而上升到函数是一种关系，一种映 射．在函数概念的扩张过程中，函数思想也不 断更新．除了基本的从运动变化和联系的观点 看问题，建立函数关系解决问题外，函数思想 也是一种对应思想或一种映射思想．
研究 对象
• 定义域、值域、单调 性、奇偶性、周期性、 有界性、特殊点处的 函数值、图象的变化 趋势、图象的凸性、 图象的对称性
单元学习主题：函数的概念
概念理解
知识的
可持续性 函数概念
性态研究
方法的
可迁移性
函数研究
数学建模
函数研究方法可迁移性
发现和 提出问题 生活 实际 问题
建立模型
求解模型
检验结果 和完善模型 解决实 际问题
描述、归纳
对数
逆
开方
逆
指数幂
指数扩充
除法
逆
乘方
同因数
减法
逆
乘法
同加数
实数集 有理数集
添加无理数
加法
整数集
自然数集
添 加负整数
添加分数
对数
逆
根式 分式
开方
逆
指数幂
指数扩充
除法
逆
乘方
同因数 开方运算
减法
逆
乘法
同加数
实数
加法
多项式 单项式
加法运算
除法运算
字母表示数（乘法运算）
单元 整体
•
关系说
映射说
变量说
单元学习主题：函数的概念
概念理解
知识的
可持续性 函数概念
性态研究
方法的
可迁移性
函数研究
数学建模
函数性态研究的可持续性
对函数的研究就是对函数性态进行研究．随着对函 数的不断学习，学生对函数性态的研究角度更加多元．
研究 途径
多依赖于图象直观 初等研究
解析式的深入研究 高等研究
• 连续性、 • 微分、 • 积分、 • 极值
坐 标 系
关系说
表示 概念 函数 性质
定 义 域
值 域 单 调 性 奇 偶 性
变量说
映射说
基本初等函数
二次函数 反比例函数 ……
大小
形状
位置
周 期 性
特 殊 点
……
人教版教材“函数”相关章节：
八年级下册 第19章 一次函数 19.1 变量与函数 19.2 一次函数
为之后的内容提供 知识基础、研究方法
单元学习主题的确定 ——“术”“法”并重 以知识的生成为载体 以方法的掌握为目标 以素养的形成为理念
凡学问者，皆有术法道三大层次。 术者，技术、技巧，学问之 基本层次。达于术者，达下乘也。 法者，于术精通而升华成理， 复以理指导术之提高，学问之提 高层次。达于法者，达中乘也。 道者，人生之道也，通过术 法研讨而达人生。探索大道，以 求人生妙谛，复以之贯彻于人生。 达于道者，达上乘也。
术
法
道
案例
“有理数” 单元学习主题的确定
5个概念（负数、有理数、相反数、绝 对值、非负数） 1个工具（数轴） 3个符号（负号、绝对值号、乘方符号） 6条法则（有理数比大小、有理数加、减、乘、
除、乘方运算法则）
本章教学内容（19 课时） 1.1 正数和负数 1.2有理数 1.3有理数加减法 1.4有理数乘除法 1.5有理数乘方
学科能力
经验能力
复数，集合，向量，逻辑…… 类比，预测，验证 远
方程，不等式，函数 整式，分式，根式及其运算
分析、解释、论证
抽象概括和 构建知识关系
迁 移
基于面积体积及运算认识实数
实数及其运算
类比，预测，验证
迁 基于运算认识有理数
有理数及其运算
非负有理数及运算
类比，预测，验证
移
基于生活认识非负有理数
函数
函数的 性态
一次函数、反比例函数、二次函数„„
单元学习主题：函数的概念
概念理解
知识的
可持续性 函数概念
性态研究
方法的
可迁移性
函数研究
数学建模
数学建模思想方法可迁移性
发现和 提出问题 检验结果 完善模型
建立模型
求解模型
函数 生产
生活 方程 不等式 ……
函数的性态
方程的解
不等式的解集
实际
问题
……
19.3 课题学习 选择方案
22.1 二次函数的图象和性质 22.2 用函数观点看一元二次方
九年级上册
第22章 二次函数
九年级下册
程
22.3 实际问题与二次函数 26.1 反比例函数
第26章 反比例函数 26.2 实际问题与反比例函数
单元核心内容：函数的概念、函数的三种表示方法 本单元是结合实际问题，对事物的运动变化 进行数量化讨论，引出常量和变量的意义，再从描 述变量之间对应关系的角度刻画了一般函数的基本
初中 阶段
函数的概念：函数指在一个变化过程中，有两个变量x， y，如果y随x的变化而变化，那么称y是因变量，x是自变 量，因变量就称为函数 函数的表示方法：解析式法、图象法、列表法 能结合函数的三种表示方法对函数关系和变化情况进行 初步探究
学科基本思想方法分析
单元核心思想方法： 运动变化思想、建模思想、 函数思想、数形结合思想
“深度学习”教学理念下的数学学习
学生在学习新知的时候，教师能找到学科知识的 生长点，在学生原有认知的基础上，找到学生的发展区， 让学生能够在不知不觉中感受到，这些数学知识的产生 和发展不是人为编造的强加于他们的，而是在他们“灵 魂”深处本来就有的，作为教师的职责就是要准确把握 学科及学科教育的本质，设计教学以“唤醒”学生“灵 魂”深处已有的东西——知识、方法、经验。引导他们 自主构建新的认知体系，逐渐形成具有探索、发现、研 究特质的新的自我。这些也正是“深度学习”教学改进 项目的核心目标——更好的关注学生的学
二次函数和其它函数的基础．
单元学习主题：函数的概念
概念理解
知识的
可持续性 函数概念
性态研究
方法的
可迁移性
函数研究
模型研究
函数概念理解的可持续性
函数描述了自然界中变化的量之间的依存关系， 反映了一个事物随着另一个事物变化的关系和规律． 小 学 函数反映了一个变化过程中两个变量x，y 关系说
之间的相依关系． 初 中
北京市师达中学
张楠
什么是智力？
语言 能力
智力
数理
逻辑 传统的智力理论
传统的智力理论： 智力 = 学业智力 = 语言、数学能力
1.忽视了“元认知理 论”元成分和知识获 得成分的测量 2.忽视了对发散思维 能力的测量
3.智力与经验关系的 认识模糊不清
4.一定程度上丧失了 智力活动的实际情境
阿里巴巴集团创始人 马云
第1章 有理数 “数的成长”？
确定单元学习主题 ≠ 将教学内容分门别类
一次函数 二次函数 反比例函数 一元一次方程 “函数”？ 二元一次方程组 一元二次方程
“方程”？
一、单元学习主题——学什么
维度1： 课标和教材内容 主题1 大单元 主题2 主题3 …… 学 习 基 础 生 活 经 验 学 习 障 碍 点 发 展 空 间 中单元 小单元
实际情境 常量与 变量 修改 提出问题 函数 模型 函数 性态研究 不合乎实际
单元核心素养：数学建模
《义务教育数学课程标准》中“数学建模”：通 过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程
数学模型
数学建模思想就是在提炼和抽取实际
数学结果
问题中的数学信息时，利用数学语言对其进
行描述，运用数学工具及数学方法解决问题 的一种思想方法。数学建模的过程，就是把 实际问题数学化的过程。
21世纪新的要求难以通过那种只聚焦基本技能 和零散事实的被动学习来满足。我们需要这样一种 新的学习方式，能达到批判性思维、灵活地解决问 题和在新的情境中实现技能迁移与知识运用。这种 迁移不是仅仅记住事实和遵循一组固定的程序就能 实现的，其本身是受到了理解程度的影响。 ——达林哈蒙德
传统的教学观念和学习方式已经不符合 新时代的需要
检验 合乎实际 可用结果
单元学习主题：函数的概念 函数是中学数学中的重要内容．函数概念的引入 是由常量数学进入变量数学的转折点，由此确立起运动 变化的观念，并为研究两个变量间的相互依赖的变化规 律建立起一套基本理论和基本方法．《一次函数》一章
是学生中学函数学习的起始课，本单元的知识及其思想
是高中学习函数概念，以及学习一次函数、反比例函数、
诺贝尔生理学或医学奖得主 约翰·格登
小学念七年，高考考三次 从不是成绩好的学生
中学生物成绩男生倒数第一 其它理科成绩垫底
传统的智力理论已经不符合新时代的需要
霍华德· 加德纳的多元智能理论
“智力”新的涵义： 个体解决问题或生产 及创造出社会需要的有效产 品的能力。 人的智力应该包含一 系列解决实际问题的能力， 同时必须包含那些为获得新 知识奠定基础的发现或创造 问题的潜力，又必须包含能 对自己所属文化提供有价值 的创造和服务的能力。
维度2： 学生分析
微单元
维度3： 学科基本 思想方法
案例
“函数的概念” 单元学习主题的确定
教 学 内 容 分 析
有理数 实数 无理数 虚数