用表格法解决线性规划问题
线性规划
线性规划问题建模求解实例分析
产品甲 产品乙 产品丙 工时限制 单件铸造工时（小时） 单件机加工工时（小时） 单件装配工时（小时） 自产铸件成本（元/件） 外协铸件成本（元/件） 机加工成本（元/件） 装配成本（元/件） 产品售价（元/件） 5 6 3 3 5 2 3 23 10 4 2 5 6 1 2 18 7 8 2 4 3 2 16 8000 12000 10000
应用EXCEL工具求解线性规划问题
三、线性规划问题解的表现
EXCEL建模求解，其解的结果在“规划 求解结果”对话框中提示： 1、唯一最优解为“找到一个解”
2、无穷多最优解为“满足条件有多个解”
3、无解为“未找到可行解”
线性规划问题建模求解实例分析
（一）生产计划问题 例1：某工厂生产甲、乙、丙三种产品，都要经过铸造、 机加工(包括本场和外包的)和装配三个车间。甲、乙 两种产品的铸件可以外包协作，也可自行生产，但 产品丙必须在本厂铸造才能保证质量。数据见表。 问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品 应各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件应由本公 司铸造和由外包协作各多少件?
方案。一般要求其非负。
约束条件：反映所给问题的客观限制及完成任务的
具体要求，一般表示为一组决策变量的线性等式或
不等式。
目标函数：问题所要达到的目标。一般表示为决策
变量的线性函数，取最大值或最小值。
线性规划问题基本理论及方法
建模步骤：
确定决策变量：根据决策问题，确定 找出约束条件：找出所有的限制条件，写出其
2
n
(, ) b2
…
a x a x ... a x (, )b x , x , x ,...,x 0
EXCEL规划求解功能操作说明
EXCEL规划求解功能操作说明Excel规划求解功能是Excel内置的解决最优化问题的工具，可用于线性规划、整数规划、非线性规划等诸多领域。
该功能十分便捷灵活，可以帮助用户快速找到问题的最优解。
一、添加求解功能1.打开Excel表格，点击“文件”>“选项”>“加载项”。
2.在弹出的窗口中选择“Excel加载项”>“转到”>“excel加载项”>“管理”。
在“可用的加载项”中勾选“求解器”并关闭窗口。
3.返回Excel表格，在数据选项卡中选择“分析”>“求解”，弹出求解对话框。
二、建立规划模型1.确定目标：需要确定最终要达到的目标或绩效指标，例如最大化利润、最小化成本等。
2.确定决策变量：需要确定影响目标的变量，例如销售量、成本等。
3.建立约束：需要确定影响决策变量的条件，例如材料成本、生产时间等。
注意约束需要用等式、不等式等数学形式表示。
例如，在一个玩具生产厂家的例子中，有以下规划问题：在有限的资源下，最大化玩具的利润。
目标：最大化利润。
决策变量：生产每种玩具的数量。
三、设置求解参数1.目标单元格：选择Excel表格中目标单元格，该单元格包含要优化的方程式。
4.变量单元格必须满足约束：勾选此项，保证变量单元格满足约束条件。
5.求解方法：选择要使用的求解算法，包括线性规划、非线性规划和整数规划等。
1.点击“求解”按钮，系统会自动寻找目标单元格、变量单元格和约束单元格区域。
2.系统执行计算，找到最优解并将其展示在新的单元格区域中。
3.若求解成功，单击“继续”将结果保存在Excel表中。
总之，利用Excel规划求解功能，用户可以通过建立规划模型，设置求解参数和运行求解功能轻轻松松地优化各种最优化问题。
应用电子表格求解线性规划问题实验报告
应用电子表格求解线性规划问题实验报告
应用电子表格求解线性规划问题实验报告
一、实验目的与要求：
1．会在Excel中建立选址问题相关模型；
2．熟练使用Excel求出选址问题的解；
3．理解求解选址问题中每一步的原理。
二、实验步骤与方法：
1．在Excel中加载规划求解工具；
2．在Excel中建立选址问题模型数据表；
3．确定需要做出的决策，并指定可变单元格和目标单元格，作好标识；
4．指出约束条件，并将以数据和决策表示的被限制结果放入输出单元格；
5．在“规划求解”对话框中点击“选项”按钮，选“采用线性模型和假定非负”；
6．回到“规划求解”对话框，点击“求解”按钮；
7．选择保存规划求解结果，点击右侧“运算结果报告”。
三、部分截图：。
利用Excel求解线性规划问题
利用Excel求解线性规划问题线性规划问题的求解有很多方法，也有很多工具。
比如常用的Matlab、Lingo，记得参加数学建模的时候就是用的Lingo解决线性规划问题的。
本文主要讲解如何使用Excel求解线性规划问题，Excel本身是没有计算线性规划问题能力的，因此我们首先要加载相应的宏定义。
一、加载宏定义（不同版本的加载方式有所不同）：Excel 2003：单击“工具”菜单，然后单击“加载宏”，选择“规划求解”点击确定。
Excel 2007：方法一：用快捷键。
先按Alt+T，再按I键，即可打开加载宏对话框。
方法二：单击“Office按钮→Excel 选项→加载项”，确保“管理”右侧下拉列表中的选项是“Excel 加载项”，单击“转到”按钮即可。
Excel 2010：直接在功能区中选择“开发工具”选项卡，在“加载项”组中单击“加载项”命令，选择“规划求解”点击确定。
注意：如果功能区中没有“开发工具”选项卡，可以通过自定义功能区来显示“开发工具”选项卡：单击“文件→选项→自定义功能区”，然后在右侧区域中勾选“开发工具”并单击“确定”。
二、初始化数据（以Excel 2010为例，其他版本大同小异）：比如我们要计算的线性规划问题如下：那么，我们可以构造如下的表格数据。
其中，B2:F2为待求的值Xi，B3:F3为目标函数的系数，B4:F4、B5:F5、B6:F6为约束条件的系数。
在G3单元格中输入公式=$B$2*B3+$C$2*C3+$D$2*D3+$E$2*E3+$F$2*F3，并将鼠标放到单元格的右下角会变成黑色十字架，向下拖拽复制单元格公式到G4、G5、G6单元格。
然后，单击“数据”选项卡，单击“规划求解”打开“规划求解参数”对话框。
∙修改“设置目标”为$G$3,即最优解下目标函数的值z所在的单元格。
∙选择是求最大值，还是最小值。
∙“可变单元格”指的是最优解取值变量所在的单元格。
∙“遵守约束”指的是约束条件中对各变量的约束情况。
用excel做线性规划的收获与心得
用excel做线性规划的收获与心得
EXCEL解决线性规划问题,用枚举法解决线性规划问题，在EXCEL 中实现枚举提高EXCEL的综合应用能力。
过程与方法使用自定义公式，自主学习新的函数，在EXCE L中实现枚举法的运算。
我获得了情感态度与价值:利用信息技术手段解决教学问题，体现出电脑工具在学科学习中的价值激发我们的学习兴趣。
我们解决了以下问题什么是枚举法?线性规划的问题用枚举法来列出来。
钢铁的截取问题。
采用枚举法的思想解决了一个数学上的线性规划的问题，开拓思路，使用电子表格，电脑做为辅助学习的工具，通过自主学习掌握了IF函数和MAX函数。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。
在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。
例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。
表格法
l
l1
l2
l3
优 秀 是 一 种 习 惯，坚 持 是 一种 品 位
一个线性规划问题如果存在最优解，其最优解一 定在可行域的某个顶点（唯一最优解）或某两个顶点 及其连线上（无穷多最优解）得到。
因此，对于两个决策变量大的线性规划问题，在 画出可行域以后，我们可以通过列表查点的方法得到 他的最优解。
优 秀 是 一 种 习 惯，坚 持 是 一种 品 位
优 秀 是 一 种 习 惯，坚 持 是 一种 品 位
作业
p140、二
x 3y 5 0
x
解：画出约束条件所表示的 平面区域， 可行域是四边形ABCD的内部（包括边界），于是， 我们可通过解方程组求出A、B、C、D四点的坐标， 列表查点，如表：
优 秀 是 一 种 习 惯，坚 持 是 一种 品 位
x y 4 0 6 x y 11 0 x 3 y 5 0 3x 2 y 7 0
x y40
6 x y 11 0 x 3y 5 0 3x 2 y 7 0
\
A(1,5) \
\ D(2,-1) \
B(-3,1) \ C(-1,-2) \
z 5x 2 y
-5
12
-17,-1
由表可知，当x=2、y=-1时,z取最大值12.当x=-3、y=1时， z取最小值-17。
x 4y 一 3种 习 惯，坚 持 是 一种 品 位 优 秀 是 例5. 已知 3 x 5 y 25 ， z=2x+y，求z的最大值和最小值。 y x 1
解：不等式组表示的平 面区域如图所示： A(5,2), B(1,1), 22 C (1, )。 5 作斜率为-2的直线
线性规划问题计算机解法
线性规划问题计算机解法本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法．1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题以EXCEL2007为例，首先加载EXCEL规划求解加载项，具体操作步骤为：Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项，此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组．下面仍然以例１．５为例，说明其求解过程：１设计电子表格将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档．其中，Ａ列为说明性文字，Ａ3为决策变量的初始值，可以任意给定，本例均设为０；在Ｄ4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择，SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和，因此表示表示目标函数值，由于12值设为０，因而显示０；同理在Ｄ5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”，以此类推，其显示值均为０．２设置规划求解参数点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框：在设计目标目标单元格中键入$D$4，或者直接点击单元格D4，并选择“最大值”选项，如下图所示点击对话框中“添加”，弹出如下对话框在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”（或点击单元格D5），选择“<=”(点击出现下拉菜单，可以选择其他约束形式)，在约束值栏中键入“$F$5”（或点击单元格F5），确定后弹出下面对话框：类似于上一步操作，添加所有的约束条件后如下图所示：3 应用规划求解工具：点击“求解”弹出如下对话框，选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”确定后则形成一张新的工作表：如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响，可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”．1.6.1应用LINGO求解线性规划问题从上面的介绍中看出，用EXCEL求解线性规划问题时操作简单，而其在输入数据方面有其方便之处．但如果决策变量和约束条件很多的话，其运行速度就不及专业的优化软件了．本节介绍一种专业的优化软件－－LINGO的使用方法．LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写，是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本，最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个，最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个，最大整数变量个数可以达到100,000个。
表格法解线性规划问题
表格法解线性规划问题【教学目标】知识目标:理解用表格法解线性规划问题得方法与步骤、能力目标:通过例子详细地介绍了表格法解线性规划问题得过程,并引入了线性规划标准型得概念,归纳总结了表格法解线性规划问题得步骤、【教学重点】理解用表格法解线性规划问题得方法与步骤、【教学难点】理解用表格法解线性规划问题得方法与步骤、【教学设计】1、表格法也称单纯形法,就是解线性规划问题得常用方法,使用该方法时,首先要将一般得线性规划问题化为标准型、在教材中给出了化标准型得方法、讲解时一定要注意b≥0以及变量得非负性、2、表格法解线性规划问题得过程,教材中归纳为五个步骤,这实际上就是一个算法,可以利用前面介绍过得算法知识来学习、3、初始表格中初始解组得确定就是关键,一般可取松弛变量,但当标准型中没有这样得变量满足初始解组得要求时,通常要通过添加人工变量来解决,本教材没有就这方面得问题进行深入讨论(一般得运筹学教材中都可找到该内容)、4、表格在转换时(通常称为转轴),教材中提到用加减消元法来转轴、教师可就这部分内容作适当得讲解、5、由于通常得表格转换要进行多次,而表头部分就是不变得,因此可以将多张表格合并起来,具体样式可参见5、5节表5-16、【教学过程】5.3.1线性规划问题得标准形式求线性规划问题得图解法虽然直观简便,但对多于两个变量得情况就不能适用了,对于多于两个决策变量得线性规划问题,可以用什么方法呢？下面介绍一种用表格得方法来求解线性规划问题得解、 表格法就是根据单纯形法而专门设计得一种计算表格、 单纯形法(Simple Method)就是求解线性规划问题得主要方法,该法由丹赛(Dantzig)于1947年提出,后经过多次改进而成,就是求解线性规划问题得实用算法、由上节得叙述可知,如果线性规划问题得最优解存在,则必定可以在其可行解集合得顶点(极点)中找到.因此,寻求一个最优解就就是在其可行域得各个极点中搜索最优点、单纯形法实质上就是一个迭代过程,该迭代即就是从可行域得一个极点移到另一个近邻得极点,直到判定某一极点为最优解为止、为使用表格法,首先介绍线性规划问题得标准形式、一般得线性规划问题中目标函数可能就是求最大(或最小)值,而线性约束条件中可能就是线性方程,也可能就是线性不等式,约束条件中约束方程(或不等式)得个数也未必就比决策变量得个数少,这些问题对于线性规划得求解,带来极大得不便,为此,引入下述标准形式:求目标函数最大值 n n x c x c x c x c Z ++++=...m ax 332211 (用与式表示为j j nj x c Z ∑==1max )⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥=+++=+++=+++0,...,0,0.....................2122112222212111212111n mn mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 满足用与式表示为满足⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑=),,3,2,1(,0),,3,2,1(,1n j x m i b x a j i i ij nj 其中,),,2,1;,,3,2,1(,,n j m i c b a j i ij ==各都就是确定得常数,),,2,1(n j x j =就是决策变量,Z 就是目标函数,ij a 叫做技术系数,i b ≥0(),2,1m i =叫做资源系数,j c 叫做目标函数系数、 特点:1、目标函数为极大化;2、除决策变量得非负约束外,所有得约束条件都就是等式,且右端常数均为非负;3、所有决策变量均非负.如果根据实际问题建立起来得线性规划模型不就是标准型得,可以用下述方法将它化为标准型、(1)若目标函数就是n n x c x c x c x c Z ++++=...m in 332211可令,'z z -=将目标函数转化为)...(max 332211'n n x c x c x c x c Z ++++-= (2)若约束条件不等式中就是“≤”,可在不等式左边加上非负变量,将不等式转化为方程、如2126x x +≤180可转化为,18026321=++x x x 其中3x ≥0、这里得3x 叫做松弛变量、 表示没有用完得资源、(3)若约束条件不等式就是“≥”,可在不等式左边减去非负变量,将不等式转化为等式方程,如2122x x +≥10可转化为1022421=-+x x x ,其中,4x ≥0、这里得4x 叫做多余变量,表示不存在得资源、一般地,松弛变量与多余变量得目标函数系数为0、 (4)若有一个变量k x 没有非负约束(叫做自由变量),可令s l k x x x -=,其中l x ≥0,s x ≥0、 知识巩固例1 将5、1节问题1中得线性规划问题化为标准型约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0210534001041802621212121x x x x x x x x 求目标函数最大值 212231m ax x x Z +=解 分别对前三个约束条件引入松弛变量543,,x x x ,得标准型:约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++.5,3,2,1,02105340010418026521421321 j x x x x x x x x x x j 求目标函数最大值 212231m ax x x Z +=5.3.2表格法下面我们通过实例来介绍表格法、首先要列出初始表格.为了得到初始表格,我们分几步来说明: 先把标准型中得约束条件方程转换成表格(表5、4)得形式. 如:5、1问题1转化得结果为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++++=++++=++++.5,,2,1,02100053400001041800026543215432154321 j x x x x x x x x x x x x x x x x j 列成表格为: 表5、4(表格中得列数为变量个数加1,行数为方程个数加1) 从约束方程中,很容易得到,当01=x ,02=x 时,1803=x ,4004=x ,2105=x ,显然这就是一组可行解(我们把它叫作初始解组),将其中三个取非0值得变量543,,x x x 列成一列对应地加在上表得最左侧,然后再在所得表得左侧添加一列对应于该初始解组变量得目标函数系数,在表得上侧添加一行对应于各变量得目标函数系数,得如下表:其中在初始解组中得变量必须满足在对应行得约束条件方程中系数为1,而同列其她系数为0,(如果约束条件方程中不满足这要求,可以通过对线性约束条件方程作加减消元法而得到、)再在上表得基础上,增加1行(叫做检验数行j σ)与1列(叫做比值列i θ)得下面形式:按下面得计算公式在表中依次填上检验数行j σ与比值列i θ,其中检验数计算公式,1ij mi i j j a c c ∑=-=σ例如31=j σ,即为1x 所在列得目标函数系数行中得1c 值减去该列系数与第一列初始解组得目标函数系数得对应乘积与,31)304060(311=⨯+⨯+⨯-=σ、选取检验数最大得正数所在列(记作k 列,表中用[ ]表示)然后计算比值i θ.比值得计算公式,0,>=ik ik i i a a b θ,例如61801=θ、 选取最小得i θ值,记所在行为i 行(表中用[ ]表示),如下表(1=i ) 最后填上目标函数Z 值一格,其中目标函数Z 为第一列B C 与b 所在列对应乘积与. 得下表:这样我们得到了初始表格(表5、7)显然,前面得初始解组并不能产生最优目标函数值,因此,必须要对初始解组中得变量进行替换,以求更好得解、通常,我们按下述方法进行变量得替换:根据上面所选得第k 列第i 行(如上表中3x 所在行与1x 所在列,我们将两者得交叉点用( )表示),对初始解组作调整,将变量k x 换入,替代第i 行中得初始变量(即表中换入1x ,换出3x ),根据表格法得要求,必须同时将换入变量k x 在( )中得系数通过加减消元法化为1,且同列其她系数为0,而初始解组中其她未换出变量所在列得系数不变,通常可用加减消元法来求得.下面我们具体来说明表格得转换.框中<A>行除以6得<A />行;<B>行减<A />×4得<B />行;<C>行减<A />×3得<C />行(表5、8转换到表5、9).表5、8表5、9再依次填上检验数行j σ与比值列i θ,得下表(表5、10).表5、10如果检验数全为非正数,那么,所得解就就是最优解.否则,继续按前方法修改可行解,直至不能继续为止.显然,上表中2x 换入,变量5x 换出.转下表(表5、11).表5、11因为所有得检验数j σ≦0,故当前可行解201=x ,302=x ,03=x ,04=x ,05=x 为最优解,删去松弛变量,即得原线性规划最优解为201=x ,302=x ,最优值为 Z=1280.通过上面得例子,可以归纳一般得表格法得计算步骤如下: 第一步:建立初始表格. 第二步:检查:若所有得j≤0,则当前可行解即为最优解;否则转入(3).第三步:检查:若存在k>0,且a ik ≤0,(i =1,2,…,m ),则无最优解;否则转入(4) .第四步:选取检验数行中最大得正数所在得列,(记作k 列,表中用[ ]表示)然后计算比值i θ,比值得计算公式0,>=ik ikii a a b θ.选取最小得i θ值,记所在行为i 行(表中用[ ]表示),确定x k ,将x k换入,将松弛变量x h 换出,用加减消元法化x k 得系数a ik 为1,且同列其她系数为0.以x k 取代x h 得新表,转入(2)、巩固知识 典型例题例2 用表格法解5、1节中得例1:某工厂用钢与橡胶生产3种产品A 、B 、C ,有关资料如表5、3所示、已知每天可获得100单位得钢与120单位得橡胶,问每天应按排生产A 、B 、C 三种产品各多少,能使总利润最大？试写出问题得线性约束条件与目标函数、表5、3产品 单位产品钢消耗量 单位产品橡胶消耗量 单位产品利润A2340则可得约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++0,0,012023310032321321321x x x x x x x x x目标函数为321244540m ax x x x Z ++= 解 引入松弛变量54,x x ,得标准型:321244540m ax x x x Z ++=满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++5,3,2,1,01202331003253214321 j x x x x x x x x x j列初始表格(表5、12).表5、12因为2σ 为最大正数,转下表(表5、13).表5、13将1x 换入,5x 换出,得表5、14.表5、14因为所有得检验数j σ≦0,故当前可行解201=x ,202=x ,03=x ,04=x ,05=x 为最优解,删去松弛变量,即得原线性规划最优解为201=x ,202=x ,03=x ,目标函数最优值为 1700=Z 、。
Excel表格法求解路径规划问题
实验四： Excel 表格法求解路径规划问题
根据题意及决策变量与目标函数得出本问题的 线性规划模型。
minY=6×X11+3×X12+2×X13+5×X14+7×X21+5×X2 2+8×X23+4×X24+3×X31+2×X32 +9×X33+7×X34
s.t. X11+ X12+ X13+ X14=5（满足A1矿的产量） X21+ X22+ X23+ X24=2（满足A2矿的产量） X31+ X32+ X33+ X34=3（满足A3矿的产量） X11+ X21+ X31 =2（满足B1厂的需求量） X12+ X22 +X32 =3（满足B2矿的需求量） X13+ X23 +X33 =1（满足B3矿的需求量） X14+ X24 +X34 =4（满足B4矿的需求量） Xij >=0(i=1,2,3,j=1,2,3,4)(决策变量非负约束)
执行【工具】→【加载宏】 菜单命令，这时将出现 “加载宏”的对话框，在 “可用加载宏”窗口的 “规划求解”选项上打 “√”。当需要进行规划求 解操作时，直接进行该命 令，就可进入“规划求解 参数”对话框。
实验四： Excel 表格法求解路径规划问题
根据题意，设置本问题的决策变量和目标 函数。 设：Xij为每天从Ai矿运往Bj厂的矿石数量 （百吨），Y为总运费 Y=6×X11+3×X12+2×X13+5×X14+7 ×X21+5×X22+8×X23+4×X24+3×X3 1+2×X32 +9×X33+7×X34 ，则本问题 表格法求解路径规划问题
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学模型，用于求解一组线性约束下的最优解。
线性规划具有广泛的应用领域，如供应链管理、生产计划、金融投资等。
在进行线性规划求解时，需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围等。
下面将介绍几种常见的线性规划求解方法。
1. 图形法（Graphical Method）：图形法是一种直观、直接的线性规划求解方法。
该方法适用于只有两个变量的问题。
首先，将线性约束条件绘制在平面坐标系上，然后通过计算目标函数在可行区域内的变化趋势，找到使目标函数取得最优值的点。
2. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是一种基于表格计算的线性规划求解方法，适用于多个变量的问题。
该方法通过逐步优化当前解，直到找到使目标函数取得最优值的解。
单纯形法的关键是构造单纯形表，并通过基变量的选择和对偶单纯形法进行转化来找到最优解。
3. 对偶理论（Duality Theory）：对偶理论是一种将原线性规划问题转化为对偶问题的求解方法。
通过对原问题的约束条件取负号并引入对偶变量，得到对偶问题。
对偶问题的解可以反映原问题的下界，从而为求解原问题提供了一种相对简化的方法。
4. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种在线性规划的基础上对决策变量引入整数限制条件的求解方法。
整数规划在实际应用中具有较高的难度，可以通过分支定界法、割平面法等方法进行求解。
5. 内点法（Interior Point Method）：内点法是一种通过迭代的方式逼近最优解的线性规划求解方法。
该方法通过在可行区域的内部搜索最优解，避免了传统单纯形法需要遍历整个可行区域的缺点，具有较高的计算效率。
以上是常见的线性规划求解方法，不同的方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，根据具体的问题性质和规模选择适合的求解方法，可以提高求解效率并得到较好的结果。
此外，还有一些高级的求解算法和软件工具可供选择，如整数规划的分支定界算法、割平面法等。
EXCEL求解第一章线性规划和灵敏度分析
EXCEL求解线性规划模型
应用规则：
当允许增加量（减少量）为无穷大时，则对于 任一个增加量（减少量），其允许增加（或减 少）的百分比都看成零。
百分之一百法则是判断最优解变与不变的充分 条件，但不是必要条件。
不能应用于目标函数决策变量系数和约束条件 右端常数同时变化的情况。
EXCEL求解线性规划模型
方法2：灵敏度分析
方法1：电子表格分析
最优解不变，总利润上升
方法2：灵敏度分析
对原电子表格模型运行“规划求解”功 能，得出“规划求解结果”对话框，选 择“敏感性报告”选项，得出结果。
比较
2、多个cj变动
例如把门的利润由300提高到450，同时 把窗的单位利润由500减少到400，原来 的最优解和最优值是否会发生变化。
3、单个bi变动 例：如果车间2的可用工时由12小时增加
到13小时，原来的最优解和最优值是否 发生变化？ 方法1：应用电子表格进行分析
改变电子表格模型中相应的参数，再运行 EXCEL”规划求解”功能，得出结果，看其是 否对原最优解、最优值有影响。 分析：2——10——18——20的不同结果？
方法1：电子表格分析，改变参数 方法2：灵敏度分析
电子表格分析
最优解不变，总利润下降300
灵敏度分析
应用敏感性报告以及百分之一百法则进 行分析。
百分之一百法则：
对于所有变化的目标函数决策变量系数（或约束 条件右边常数），当其所有允许增加百分比和允 许减少百分比之和不超过百分之一百时，最优解 不变。
解决方法：在原电子表格模型中增加一列，输入 防盗门的相关数据，修改相应的计算公式形成新 的电子表格模型，再运行EXCEL”规划求解”功 能，得出新的最优解、最优值。
表格法解线性规划问题
表格法解线性规划问题【教学目标】知识目标：理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.能力目标：通过例子详细地介绍了表格法解线性规划问题的过程，并引入了线性规划标准型的概念，归纳总结了表格法解线性规划问题的步骤.【教学重点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.【教学难点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.【教学设计】1、表格法也称单纯形法，是解线性规划问题的常用方法，使用该方法时，首先要将一般的线性规划问题化为标准型.在教材中给出了化标准型的方法.讲解时一定要注意b≥0以及变量的非负性.2、表格法解线性规划问题的过程，教材中归纳为五个步骤，这实际上是一个算法，可以利用前面介绍过的算法知识来学习.3、初始表格中初始解组确实定是关键，一般可取松弛变量，但当标准型中没有这样的变量满足初始解组的要求时，通常要通过添加人工变量来解决，本教材没有就这方面的问题进展深入讨论〔一般的运筹学教材中都可找到该容〕.4、表格在转换时〔通常称为转轴〕，教材中提到用加减消元法来转轴.教师可就这局部容作适当的讲解.5、由于通常的表格转换要进展屡次，而表头局部是不变的，因此可以将多表格合并起来，具体样式可参见5.5节表5-16.【教学过程】5.3.1线性规划问题的标准形式求线性规划问题的图解法虽然直观简便，但对多于两个变量的情况就不能适用了，对于多于两个决策变量的线性规划问题，可以用什么方法呢？下面介绍一种用表格的方法来求解线性规划问题的解. 表格法是根据单纯形法而专门设计的一种计算表格.单纯形法〔Simple Method 〕是求解线性规划问题的主要方法，该法由丹赛〔Dantzig 〕于1947年提出，后经过屡次改良而成，是求解线性规划问题的实用算法.由上节的表达可知，如果线性规划问题的最优解存在，那么必定可以在其可行解集合的顶点〔极点〕中找到．因此，寻求一个最优解就是在其可行域的各个极点中搜索最优点.单纯形法实质上是一个迭代过程，该迭代即是从可行域的一个极点移到另一个近邻的极点，直到判定某一极点为最优解为止. 为使用表格法，首先介绍线性规划问题的标准形式.一般的线性规划问题中目标函数可能是求最大(或最小)值，而线性约束条件中可能是线性方程，也可能是线性不等式，约束条件中约束方程〔或不等式〕的个数也未必就比决策变量的个数少，这些问题对于线性规划的求解，带来极大的不便，为此，引入下述标准形式：求目标函数最大值 n n x c x c x c x c Z ++++=...max 332211(用和式表示为j j nj x c Z ∑==1max )⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥=+++=+++=+++0,...,0,0.....................2122112222212111212111n mn mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 满足用和式表示为满足⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑=),,3,2,1(,0),,3,2,1(,1n j x m i b x a j i i ij nj 其中，),,2,1;,,3,2,1(,,n j m i c b a j i ij ==各都是确定的常数，),,2,1(n j x j =是决策变量，Z 是目标函数，ij a 叫做技术系数，i b ≥0〔),2,1m i =叫做资源系数，j c 叫做目标函数系数. 特点：1、目标函数为极大化；2、除决策变量的非负约束外，所有的约束条件都是等式，且右端常数均为非负；3、所有决策变量均非负．如果根据实际问题建立起来的线性规划模型不是标准型的，可以用下述方法将它化为标准型.〔1〕假设目标函数是n n x c x c x c x c Z ++++=...min 332211可令,'z z -=将目标函数转化为)...(max 332211'n n x c x c x c x c Z ++++-= 〔2〕假设约束条件不等式中是“≤〞,可在不等式左边加上非负变量，将不等式转化为方程.如2126x x +≤180可转化为,18026321=++x x x 其中3x ≥0.这里的3x 叫做松弛变量. 表示没有用完的资源.〔3〕假设约束条件不等式是“≥〞，可在不等式左边减去非负变量，将不等式转化为等式方程，如2122x x +≥10可转化为1022421=-+x x x ， 其中，4x ≥0.这里的4x 叫做多余变量，表示不存在的资源.一般地，松弛变量和多余变量的目标函数系数为0.〔4〕假设有一个变量k x 没有非负约束〔叫做自由变量〕，可令s l k x x x -=，其中l x ≥0，s x ≥0.知识稳固例1 将5.1节问题1中的线性规划问题化为标准型约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0210534001041802621212121x x x x x x x x求目标函数最大值212231max x x Z +=解 分别对前三个约束条件引入松弛变量543,,x x x ，得标准型：约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++.5,3,2,1,02105340010418026521421321 j x x x x x x x x x x j求目标函数最大值212231max x x Z +=5.3.2表格法下面我们通过实例来介绍表格法.首先要列出初始表格．为了得到初始表格，我们分几步来说明： 先把标准型中的约束条件方程转换成表格〔表5.4〕的形式． 如:5.1问题1转化的结果为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++++=++++=++++.5,,2,1,02100053400001041800026543215432154321 j x x x x x x x x x x x x x x x x j 列成表格为： 表5.41x2x3x 4x 5x i b6 2 1 0 0 4 10 0 1 0 400 351210(表格中的列数为变量个数加1，行数为方程个数加1) 从约束方程中，很容易得到，当01=x ，02=x 时，1803=x ，4004=x ，2105=x ，显然这是一组可行解〔我们把它叫作初始解组〕，将其中三个取非0值的变量543,,x x x 列成一列对应地加在上表的最左侧，然后再在所得表的左侧添加一列对应于该初始解组变量的目标函数系数，在表的上侧添加一行对应于各变量的目标函数系数，得如下表：其中在初始解组中的变量必须满足在对应行的约束条件方程中系数为1，而同列其他系数为0，〔如果约束条件方程中不满足这要求，可以通过对线性约束条件方程作加减消元法而得到.〕再在上表的根底上，增加1行(叫做检验数行j σ)和1列(叫做比值列i θ)得下面形式：按下面的计算公式在表中依次填上检验数行j σ和比值列i θ,其中检验数计算公式,1ij mi i j j a c c ∑=-=σ例如31=j σ，即为1x 所在列的目标函数系数行中的1c 值减去该列系数与第一列初始解组的目标函数系数的对应乘积和，31)304060(311=⨯+⨯+⨯-=σ.选取检验数最大的正数所在列(记作k 列，表中用[ ]表示)然后计算比值i θ．比值的计算公式,0,>=ik iki i a a b θ，例如61801=θ. 选取最小的i θ值，记所在行为i 行(表中用[ ]表示)，如下表(1=i 〕最后填上目标函数Z 值一格，其中目标函数Z 为第一列B C 与b 所在列对应乘积和． 得下表：这样我们得到了初始表格〔表5.7〕显然，前面的初始解组并不能产生最优目标函数值，因此，必须要对初始解组中的变量进展替换，以求更好的解.通常，我们按下述方法进展变量的替换：根据上面所选的第k 列第i 行(如上表中3x 所在行和1x 所在列，我们将两者的穿插点用( )表示)，对初始解组作调整，将变量k x 换入，替代第i 行中的初始变量(即表中换入1x ，换出3x )，根据表格法的要求，必须同时将换入变量k x 在( )中的系数通过加减消元法化为1，且同列其他系数为0，而初始解组中其他未换出变量所在列的系数不变，通常可用加减消元法来求得．下面我们具体来说明表格的转换．框中<A>行除以6得<A />行；<B>行减<A />×4得<B />行；<C>行减<A />×3得<C />行(表5.8转换到表5.9)．表5.8表5.9再依次填上检验数行j σ和比值列i θ，得下表(表5.10)．表5.10如果检验数全为非正数，那么，所得解就是最优解．否那么，继续按前方法修改可行解，直至不能继续为止．显然，上表中2x 换入，变量5x 换出．转下表(表5.11)．表5.11因为所有的检验数j σ≦0，故当前可行解201=x ，302=x ，03=x ，04=x ，05=x 为最优解，删去松弛变量，即得原线性规划最优解为201=x ，302=x ，最优值为 Z=1280．通过上面的例子，可以归纳一般的表格法的计算步骤如下： 第一步：建立初始表格．第二步：检查：假设所有的σj ≤0，那么当前可行解即为最优解；否那么转入(3)．第三步：检查：假设存在σk >0,且a ik ≤0，(i =1,2,…,m )，那么无最优解；否那么转入(4)．第四步：选取检验数行中最大的正数所在的列，(记作k 列，表中用[ ]表示)然后计算比值i θ，比值的计算公式0,>=ik ikii a a b θ． 选取最小的i θ值，记所在行为i 行(表中用[ ]表示)，确定x k ，将x k 换入，将松弛变量x h 换出，用加减消元法化x k 的系数a ik 为1，且同列其他系数为0．以x k 取代x h 得新表，转入(2). 稳固知识 典型例题例2 用表格法解5.1节中的例1：某工厂用钢与橡胶生产3种产品A 、B 、C ,有关资料如表5.3所示.每天可获得100单位的钢和120单位的橡胶，问每天应按排生产A 、B 、C 三种产品各多少，能使总利润最大？试写出问题的线性约束条件和目标函数.表5.3那么可得约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++0,0,012023310032321321321x x x x x x x x x目标函数为321244540max x x x Z ++= 解 引入松弛变量54,x x ，得标准型：321244540max x x x Z ++=满足⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++5,3,2,1,01202331003253214321 j x x x x x x x x x j列初始表格(表5.12)．表5.12因为2σ为最大正数，转下表(表5.13)．表5.13将1x 换入，5x 换出，得表5.14．表5.14因为所有的检验数j σ≦0，故当前可行解201=x ,202=x ,03=x ，04=x ，05=x 为最优解，删去松弛变量，即得原线性规划最优解为201=x ,202=x ,03=x ，目标函数最优值为1700=Z .。
利用excel求解线性规划问题
利用excel求解线性规划问题线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解最优化问题的数学方法。
它在经济学，管理学，工程学等领域得到了广泛应用。
Excel是一种功能强大的电子表格软件，提供了一些内置的工具和函数，可以帮助我们求解线性规划问题。
在Excel中求解线性规划问题，通常需要使用“规划求解”工具，该工具位于“数据”选项卡的“分析”分组中。
下面将逐步介绍如何使用Excel求解线性规划问题。
步骤1：建立模型首先，我们需要建立线性规划模型。
模型通常包括目标函数和约束条件。
目标函数：我们需要定义一个目标函数，它表示我们希望最大化或最小化的目标。
在Excel中，可以使用单元格引用和各种数学运算符来定义目标函数。
约束条件：我们需要定义一系列约束条件，这些约束条件是对决策变量的限制。
在Excel中，可以使用不等式和等式来表示约束条件。
每个约束条件都可以转化为一个单元格引用和数学运算符的组合。
步骤2：输入数据在建立模型之后，我们需要输入相关数据。
这包括目标函数中的系数和约束条件中的系数和约束值。
在Excel中，我们可以使用单元格来输入这些数据。
步骤3：设置规划求解选择“数据”选项卡，在“分析”分组中找到“规划求解”工具。
如果没有找到该工具，可能需要先启用“加载项”中的“分析工具包”。
点击“规划求解”，将会打开一个对话框。
在这个对话框中，我们需要输入一些参数来设置求解过程。
目标单元格：这是包含目标函数结果的单元格。
调整变量单元格：这是包含决策变量的单元格范围。
约束条件：这是包含约束条件的单元格范围。
约束条件中的系数：这是一个选择项，用于指定约束条件中的系数是包含在单元格范围中还是直接输入。
约束条件的约束值：这是一个选择项，用于指定约束条件中的约束值是包含在单元格范围中还是直接输入。
约束条件的约束类型：这是一个选择项，用于指定约束条件的类型（大于等于，小于等于等）。
非负约束：这是一个复选框，用于指定决策变量是否具有非负约束。
单纯形表法
单纯形表法
单纯形表法是一种解决线性规划问题的常用方法。
线性规划是指在一定的约束条件下，求解最大（或最小）值的问题。
单纯形表法通过构造一个表格，逐步迭代，找到最优解。
单纯形表法的基本思路是，首先将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数与约束条件都转化为“≤”形式。
然后，构造一个初始的单纯形表格，其中包含目标函数、约束条件和松弛变量等信息。
接着，通过一系列的操作，逐步迭代表格，直到找到最优解。
单纯形表法的操作包括：选择入基变量、选择出基变量、计算新的基变量、更新单纯形表格等。
选择入基变量和选择出基变量的方法有多种，例如最小比值法、Bland法等。
计算新的基变量则涉及到对表格进行一系列的运算和变换，从而得到新的基变量和目标函数值。
更新单纯形表格则是在计算新的基变量后，将表格中的系数、约束条件、基变量等信息进行更新，以便继续下一轮迭代。
单纯形表法是一种迭代算法，它的收敛性和效率都与初始表格的选取有关。
当初始表格选取不合适时，可能会导致算法无法收敛或收敛速度过慢。
因此，对于复杂的线性规划问题，需要结合实际情况，选择合适的初始表格和算法，以达到最优解的目标。
- 1 -。
excel 线性规划
excel 线性规划Excel是一种非常强大的电子表格软件，可以用来进行各种类型的数学和统计分析，包括线性规划。
线性规划是一种最常见的优化方法，广泛应用于工程、经济和管理等领域。
它通过线性数学模型来找到最佳解决方案，以满足一组约束条件。
在Excel中进行线性规划，我们可以使用Excel的Solver插件。
Solver插件可以帮助我们找到目标函数的最大值或最小值，同时满足约束条件。
下面是一个示例，通过Excel进行线性规划的步骤：1.首先，我们需要创建一个Excel表格，其中包括如下内容：目标函数、约束条件、可调整的单元格等。
2.输入目标函数。
在一个单元格中输入目标函数，例如“=A1*10+B2*15+C3*20”，其中A1、B2、C3是可调整的单元格的引用，而10、15和20是目标函数中每个单元格对应的系数。
3.输入约束条件。
在另一行中，输入约束条件。
例如，“A1>=10”、“B2<=20”等等。
4.确保所需的单元格被定义为可调整单元格，并设置目标单元格为需要最小或最大化的目标函数单元格。
5.打开Solver插件。
在“数据”选项卡中，点击“Solver”。
6.在Solver对话框中，选择“最小化”或“最大化”的目标设置，输入目标函数单元格的引用，并设置约束条件。
7.点击“确定”按钮，Solver会自动计算并找到最佳解决方案。
需要注意的是，Excel的Solver插件对于较大的线性规划问题可能需要更复杂的方法。
解决大规模问题时，可能需要使用更专业的线性规划软件。
总之，Excel是一个非常方便和灵活的工具，可以用来进行线性规划分析。
通过使用Excel的Solver插件，我们可以快速而准确地找到最佳解决方案，并满足所有的约束条件。
无论是对于学生、专业人士还是研究人员，使用Excel进行线性规划都是一种方便和高效的方法。
线性规划与单纯形法-计算步骤
max Z 3x1 5x2
x1
s.t.
3x1
x1 0
2x2 2 x 2 x2 0
4 12 18
第一次迭代 x2为入基， x4为出基 第二次迭代 x1为入基， x5为出基
X * (2, 6, 2, 0, 0) Z* 36
2.4 单纯形法计算步骤
3、确定进基变量（迭代的第一步）
确定进基变量对应于图解法的确定运动方向
x1
x3
8
3x1
2x2 4x2
x4
12
x5 36
3x1 5x2 0x3 0x4 0x5 Z
j
从目标函数-Z+3x1+5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0可知： 因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利 润更高一些，故应优先多生产乙产品。即x2为进基
5 2
x4
0 x5
Z 30
④
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
x1
1 2 x4
2 3 x4
1 3 x5
6 ② 4 ③
3x1 0x2
0 x3
5 2
x4
0 x5
Z 30 ④
④-3×③
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
1 2
x4
6 ②
x1
2 3
x4
1 3
x5
4 ③
0
x1
STOP 包括三个步骤： 1、确定进基变量（进基） 2、确定出基变量（出基） 3、对新基可行解的求解（高斯消元）
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用表格法解决线性规划问题
问题：
炼钢厂生产某种钢材，以甲、乙两种型号的废钢为原料，要求元素A，B含量分别不少于10个单位和9个单位．已知甲、乙两种型号的废钢每吨价格分别为400元和500元，且每吨废钢中元素A,B 的含量如下表所示．考虑在保证钢的质量的条件下，需要甲、乙两种型号的废钢各多少吨时，才能使得费用最省？
元素甲型号乙型号最低含量
A 2 2 10
B 1 3 9
每吨价格（元）400 500
数学化：
设需要甲、乙两种型号废钢分别为x 吨、y 吨，则
2210390,0x y x y x y +⎧⎪
+⎨⎪⎩
≥≥≥≥ 目标函数为
500400Z x y =+．
标准化：
设需要甲、乙两种型号废钢分别为1x 吨、2x 吨，则
1234123422010,309,0,1,2,3,4.i x x x x x x x x x i +-⋅=⎧⎪
+⋅-⎨⎪=⎩
++=≥ 目标函数为
123450040000Z x x x x =++⋅+⋅．
列出初始表格
j C → 400 500 0 0
B C B X 1x 2x 3x 4x i b。