数学物理方法期末考试卷与解答

华南师范大学信息光电子科技学院2008-2009年(一)学期末考试试卷

光电工程系《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案

注：本试卷共一页，共八大题。答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！ 可能用到的公式:

1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~

)]([00k k f x f e F x

ik −=;

4))]([1

])([

x f F ik

d f F x

=∫

∞

−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333

n l

n l xdx l n x l x −−=−=

∫

π

π

一、 简答下列各题。（12分，每题6分）

1. 试在复平面上画出3

)arg(0π

<

−

的区域。

解：如图阴影部分为所求区域 （6分）

2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）

；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。 二、 (9分) 试指出函数3

sin )(z

z

z z f −=

的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：2

21

12033)12()1(])12()1([1sin )(−∞

=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n n

n n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）

三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件

x

y x v y y x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂)

,(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）

du (x,y ) =u x (x,y )d x + u y (x,y )dy = cos x ch y dx + sin x sh y dy=d (sin x ch y ) f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c

上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）

四、 (10分) 求积分dz z e I L

z

∫−=6)

1(其中曲线L 为(a)圆周2

1

=

z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周2

1

=

z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，

I = 2πiRes f (1)= 2π i !

52)1()1()!16(166

551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）

解：已知 4

2

]2[sin ,][sin 2

2

2+=

+=p t L p t L 也即ωω

ω（2分） 由象函数微分定理

)3(4)

(4p

4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)

(4p )42

(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2

2222

22分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L n

n

n

n

六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。

解：已知：(2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), P 0(x )=1, P 1(x )=x

则： (l +1)P l+1(x )= (2l +1)xP l (x ) − lP l −1(x ) （1分）

(1+1)P 2(x ) = (2·1+1)xP 1(x )−P 0(x ) = 3x 2−1 → P 2(x ) = (3x 2−1)/2（2分） (2+1)P 3(x ) = (2·2+1)xP 2(x )−2P 1(x )=5x (3x 2−1)/2 −2x=15/2 x 3 −9/2 x P 3(x )=(5 x 3 − 3x )/2 （2分）

(3+1)P 4(x ) = (2·3+1)xP 3(x )−3P 2(x )=7x (5 x 3 − 3x )/2 −3(3x 2−1)/2 P 4(x )= (35 x 4− 30x 2 + 3)/8（2分） f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1 = a P 4(x )+b P 3(x )+c P 2(x )+d P 1(x )+e P 0(x )