2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试

数学（理科）试题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）

1．（3分）若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2}或x≥3} C．{x|x≥32} D．{x|﹣2≤x＜3}

2．（3分）已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）

A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1

3．（3分）已知b＞a＞1，t＞0，如果a x=a+t，那么b x与b+t的大小关系是（）

A．b x＞b+t B．b x＜b+t C．b x≥b+t D．b x≤b+t

4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）

A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂α

B．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥α

C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥c

D．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c

5．（3分）设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为

6．（3分）已知函数f（x）=sin（x﹣π），g（x）=cos（x+π）则下列结论中正确的是（）

A．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为2π

B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为2

C．将函数y=f（x）的图象向左平移单位后得y=g（x）的图象

D．将函数y=f（x）的图象向右平移单位后得y=g（x）的图象

7．（3分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中

心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

8．（3分）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值

范围是（）

A．0＜k≤1 B．0＜k≤C．1≤k D．k≥1

二、填空题（共28分.）

9．（3分）设复数z满足关系z•i=﹣1+i，那么z= ，|z|= ．

10．（3分）已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为，表面积为．

11．（3分）已知= ，S2015= ．12．（3分）若展开式的各项系数之和为32，则n= ，其展开式中的常数项为．（用数字作答）

13．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=+（a＞0，b＞0）的最大值为10，则5a+4b

的最小值为．

14．（3分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．15．（3分）若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1）=，则xy的最小值为．

三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（8分）在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2

（1）求∠A；

（2）若，求b2+c2的取值范围．

17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=BC=2，AD=1．M 是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥面SCD；

（2）设点N是线段CD上的一点，且在方向上的射影为a，记MN与面SAB所成的角为θ，问：a为何值时，sinθ取最大值？

18．（10分）数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N+）．

（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式b n；

（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：≤S n＜．

19．（10分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．

20．（10分）设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；

（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切

①求实数a，b的值；

②求函数上的最大值．

（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）

1．（3分）若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2}或x≥3} C．{x|x≥32} D．{x|﹣2≤x＜3}

【分析】分别求出M与N中不等式的解集，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，

由N中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，

解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，

∵全集U=R，

∴∁U N={x|x≤﹣1或x≥3}

则M∩（∁U N）={x|x＜﹣2或x≥3}．

故选：B．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．（3分）已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）

A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1

【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由p是q的必要不充分条件得到q能推出p，p推不出q，即q 是p的真子集，根据两解集列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可求出m的范围．

【解答】解：由命题p中的不等式（x﹣m）2＞3（x﹣m），

因式分解得：（x﹣m）（x﹣m﹣3）＞0，

解得：x＞m+3或x＜m；

由命题q中的不等式x2+3x﹣4＜0，

因式分解得：（x﹣1）（x+4）＜0，

解得：﹣4＜x＜1，

因为命题p是命题q的必要不充分条件，

所以q⊊p，即m+3≤﹣4或m≥1，解得：m≤﹣7或m≥1．

所以m的取值范围为：m≥1或m≤﹣7

故选B

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查学生掌握两命题之间的关系，是一道综合题．

3．（3分）已知b＞a＞1，t＞0，如果a x=a+t，那么b x与b+t的大小关系是（）

A．b x＞b+t B．b x＜b+t C．b x≥b+t D．b x≤b+t

【分析】构造函数f（m）=m x．g（m）=m+t，在同一坐标系内作出两函数图象，通过图象解决．

【解答】解：构造函数f（m）=m x．g（m）=m+t．∵a＞1，t＞0，a x=a+t＞a＞1，∴x＞1．