第四章 线性预测

页页
0.1
Original autoregressive signal
0.08
Signal estimate from linear predictor
0.06
Signal value
0.04
HANG0.02ZHOU DIANZI UNIVERSITY 0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08 0
HAN其G估计Z值HxˆO(n)U和预D测误IA差NepZ(nI)用U下式N表IV示E：RSITY
p
∑ xˆ(n) = - ap,k x(n - k) k =1 p
∑ ep (n) = x(n) - xˆ(n)=x(n)+ ap,k x(n - k) k =1
第第 页页
33
因信号是实的，式中预测误差ep
(n)和系数a
p
均是实数，
,k
xˆ(n)是由n时刻以前的p个数据x(n -1)、x(n - 2)" x(n - p) 得到的估计，
HAN因G此称ZeHp(nO)为前U向线D性I预A测N误Z差。I UNIVERSITY
对上式进行z变换，得到：
p
∑ Ep (z) = X (z) + ap,k X (z)z-k k =1
1166
p
∑ bp (n) = ap,k x(n - p + k) ap,0 = 1 k =0
对上式进行z变换，得到：
p
HANGBZpH(z)O= XU(z)zD-p I+A∑NapZ,k XI (zU)z-NpzkIVERSITY k =1 Hb (z)后向预测误差滤波器的系统函数为：
∑ Hb (z)
=
⎢⎢⎡σ0k2
⎢#
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
R(k
)
R(k − 1)
"
R(0)
⎥ ⎦
⎢ ⎢⎣ak
,k
⎥ ⎥⎦
⎢⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY
k+1阶Yule-Walker方程
⎡ R(0)
⎢ ⎢
R(1)
R(1) R(0)
" "
R(k ) R(k − 1)
R(k + 1)⎤⎡ 1 ⎤
HAN重G写Z如H下O：U DIANZI UNIVERSITY
∑ ⎧⎪⎪φ xx ( k ) +
⎨ ⎪
∑ ⎪⎩
p
a p ,iφ xx ( k - i ) =
k =1
p
σ
2 p
= φ xx (0) +
i =1
0 k = 1, 2, 3," ,
a p ,iφ xx (i )
p
第第 页页
77
将上式用矩阵方程表示为：
线性预测与格型滤波器
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY
前向预测 后向预测 格型滤波 Levinson-Durbin算法
22
第第
1、前向线性预测误差滤波器
页页
设信号属于实平稳随机信号，前向线性预测误差 滤波器直接由信号的线性一步预测导出。
由x(n -1), x(n - 2),", x(n - p)预测x(n),
R(k )
⎥⎢ ⎥⎢
ak +1,1
⎥ ⎥
⎡σ
⎢ ⎢
2 k +1
0
⎤ ⎥ ⎥
⎢#
#
#
#
⎢ ⎢
R(k )
R(k − 1) "
R(0)
⎢⎣R(k + 1) R(k) " R(1)
# R(1) R(0)
⎥⎢ # ⎥ = ⎢
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢⎢⎢⎣aakk++1,1k,k+1
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎣
# 0
0
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1111
第第
页页
设后向预测误差bp (n)表示（表示 信号在n - p时刻的预测误差）
bp (n) = x(n - p) - xˆ '(n - p)
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 同样，利用最小均方误差的准则， 可以得到后向预测的正交原理 以及Yule-Wal ker 方程。
后向预测是由x(n - p +1)，x(n - p + 2)，", x(n)预测x(n - p)。
这两种预测数据之间的关系如图所示。
1100
第第 页页
后向预测
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY x(n - p)，x(n - p + 1)," x(n - 2), x(n -1), x(n) 前向预测
-50
HANG-60 ZHOU DIANZI UNIVERSITY Hale Waihona Puke Baidu70
-80
-90
-100
-110
-120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Normalized frequency (× π rad/sample)
2222
第第
Linear Prediction
a p ,1
z-1 "
a p,2
"a p , p −1
z -1
a p,p
ep (n)
第第 页页
55
用均方误差最小的准则求前向预测误差
滤 波 器 的 最 佳 系 数 a p,k :
( ) ∂E
⎡ ⎢⎣
ep (n)
2⎤ ⎥⎦
HANGZ∂Ha p,Ok U
＝D0 IkA=N1,Z2,"I
,Up NIVERSITY
第第 页页
1188
为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，
需要解Yule-Walker方程。可以采用高斯消元法
解出a p ,k
(k
= 1, 2,3,"
p)以及σ
2 p
,但需要p3量级运算量。
HAN如G果Z利H用YOuleU-WalDkerI方A程N中Z的I自U相关N矩IV阵E是RSITY
埃尔米特(Hermitain)和托布列斯（Toeplitz)矩阵 的特点，且至少是半正定的，可以有效地减少 运算量:
2211
第第
Power Spectral Density Estimate
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Periodogram Power Spectral Density Estimate -20
PSD estimate of x
-30
PSD of model output
-40
One-sided PSD (dB/rad/sample)
=
Bp (z) X (z)
=
z- p
⎛⎜1+ ⎝
p k =1
ap,k zk
⎞ ⎟ ⎠
1177
第第
页页
与前向预测误差滤波器的系统函数对比，得到前、 后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是：
Hb (z) = z- pH f (z-1)
HAN前G向Z预H测滤O波U器：DIANZI UNIVERSITY p ∑ ep (n) = x(n)+ ap,k x(n - k) k =1 后向预测误差滤波器： p-1 ∑ bp (n) = x(n - p) + ap,k x(n - p + k) k =1
第第
2266
k阶Yule-Walker方程
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⎡ R(0)
⎢ ⎢
R(1)
⎢#
R(1) R(0)
#
" " #
R(k) ⎤⎡ 1
R(
k
−
1)⎥⎥
⎢ ⎢
ak
,1
# ⎥⎢ #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎢⎢⎡σ0k2
⎢#
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
φxx (0)
⎥ ⎦
⎢ ⎢⎣
a
p,
p
⎥ ⎥⎦
⎢⎥ ⎣0⎦
( ) 式
中
，
σ
2 p
=
E
⎡ ⎢⎣
ep (n)
2
⎤ ⎥⎦
min
。
如 果 已 知 信 号 自 相 关 函 数 φ xx (0)， φ xx (1)，" ， φ xx ( p )
可由上式解出前向线性预测误差滤波器的最佳系数， 以及最小前向预测误差。
2. k阶Yule-Walker方程的特点 某阶方程系数矩阵包含了前面各阶系数矩阵
系数矩阵先进行列倒序再进行行倒序，矩 阵不变
第第
2255
k阶Yule-Walker方程
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⎡ R(0)
⎢ ⎢
R(1)
⎢#
R(1) R(0)
#
" " #
R(k) ⎤⎡ 1
R(
k
−
1)⎥⎥
⎢ ⎢
ak
,1
# ⎥⎢ #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
σ '2p是后向预测误差的最小误差功率。
第第 页页
1133
有如下重要关系：
ap,k = a'p,k ,k = 1, 2, 3,", p
σ
2 p
=σ
'2p
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY
上两式表示前、后向预测的最小误差功率相等，
系数也相等（如果是复数，则是共轭关系）。
1144
第第
页页
p
∑ bp (n) = ap,k x(n - p + k) ap,0 = 1 k =0
式中，当k = 0，1, 2,3,", p时，p - k = p, p -1, p - 2,",0
HAN用PG-kZ=Hk代O入U上式DIANZI UNIVERSITY
也可写成下式：
p
∑ bp(n) = ap,p-kx(n-k) ap,0 =1 k=0
第第 页页
1155
后向预测误差滤波器的结构图所示。
x(n)
z-1 z-1 "
z-1
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY ap,p
" a a p , p -1 p , p -2
a p ,1
a p,0 bp (n)
对比前向预测误差滤波器的结构图，
可知它们系数一样，但排序是逆转排列。
第第 页页
可 得 E ⎡⎣ e p ( n ) x ( n - k ) ⎤⎦ = 0 k = 1, 2," , p 表明前向预测误差与用于预测的数据正交，
这就是对于前向预测误差的正交原理。
第第 页页
66
前 向 预 测 误 差 滤 波 器 的 最 佳 系 数 a p,k 和信号的自相关函数之间的关系式
称 为 Y ule-W al ker 方 程 式 。
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY ⎡φxx (0)
⎢ ⎢
φ
x
x
(1)
⎢#
⎢⎣φ xx ( p )
φ xx (1) φxx (0)
#
φ xx ( p - 1)
" "
φxx (0)
"
φxx ( p) ⎤
φ
xx
(
p
-
1)
⎥ ⎥
#⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
1
a p，1 #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡⎢⎢σ0p2
1122
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E ⎡⎣bp (n)x(n - p + k)⎤⎦ = 0 k = 1, 2,", p Yule-Wal ker 方程式：
HAN⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩φGxx (kZ)H+ σ∑kOp='12paU='p,iφφxxxDx((0kI)A-+i)N∑i==p1Z0a'Ipk,iφ=Uxx1(,iN2) ,I3V,"E, pRSITY
x(n
+
k)
k =1
第第 页页
99
一般前向、后向预测用同一数据进行，
即利用x(n)，x(n-1), x(n-2)," , x(n-p)进行预测，
p
∑ xˆ '(n - p) = -
a' p,k
x(n
-
p
+
k
)
HA前N向G预Z测H是O由xU(n - pD)，kI=x1A(nN- pZ+1I),"U, xN(n -I1V)预E测Rxˆ(nS)，ITY
20 40
60 80 100 120 140 160 180 200 Sample time
2233
第第
选做作业
页页
• 根据“Speech Processing.pdf ”文档提供流程， 编程仿真线性预测在语音处理中的应用
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY
2244
第第
Levinson-Durbin算法
如Levinson-Dubin递推算法，它的运算量级是p2。
1199
第第
复习
页页
前向预测误差滤波器的结构:
x(n)
z-1 z-1 "
z-1
a p,0
a p ,1
" a p,2
a p , p −1
a p, p
p
ep (n)
HAN前G向Z预H测滤O波U器：DepI(An) =NxZ(n)I+∑k=U1 apN,k xI(nV- Ek) RSITY
88
第第
2、后向线性预测误差滤波器
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如 果 利 用 x(n + 1), x(n + 2)," , x(n + p ) 数 据 预 测 x(n)， 则 称 为 后 向 预 测 ，
HANGZ其H估O计U值D用IxAˆ '(Nn )Z表I示U：NIVERSITY
p
∑ xˆ '(n ) = -
a' p ,k
第第 页页
44
∑ ∑ H f
(z)
=
Ep (z) X (z)
=1+
p
ap,k z-k
k =1
=
p
ap,k z-k , ap,0
k =0
=1
HANHGf (Zz)称H为O前U向预D测I误A差N滤Z波I 器U的N系统IV函E数R。SITY 前向预测误差滤波器的结构如图所示。
x(n) a p,0
z -1
后向预测误差滤波器的结构:
x(n)
z-1 z-1 "
z-1
a p, p
" a a p, p-1 p, p-2
a p,1
a p,0 bp (n)
p-1
∑ 后向预测误差滤波器：bp (n) = x(n - p) + ap,k x(n - p + k) k =1
2200
第第
Example
页页
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY
页页
1. 问题的提出
⎡ R(0)
⎢ ⎢
R(1)
⎢#
R(1) R(0)
#
" " #
R(k) ⎤⎡ 1
R(
k
−
1)⎥⎥
⎢ ⎢
ak
,1
# ⎥⎢ #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡σ
⎢
2 k
⎢0
⎢#
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
HA⎢⎣NR(Gk) ZRH(kO− 1U) "DIAR(N0)Z⎥⎦I⎢⎢⎣akU,k ⎥⎥⎦N⎢⎢⎣IV0 ⎥⎥⎦ERSITY