《线性代数》(郝志峰) 习题详解

习题一

1

、

（

1

）

()()()()1102

02112501220322211350021235

-=-=⨯⨯+⨯-⨯+-⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯=D .

（2）

33323==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---a b c

D b c a a b c b a c c b a c c c a a a b b b abc a b c c a b

.

2、（1）排列的逆序数为00235+++=. （2）排列的逆序数为()()()

1012212

-+++

+-+-=

n n n n . 3、含有因子1123a a 的项11233244-a a a a （纵标为1324，逆序数为00101+++=），11233442a a a a （纵标为1342，逆序数为00022+++=）.

4、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用2乘所有元素为52，经用()1-乘第2列加到第5列为行列式不变，经这些处置后行列式为32-D .

5、31a 的代数余子式为0，11a 的代数余子式为()()11

103326+-⨯--=⎡⎤⎣⎦.

6、()

()()()()()()

()

31

3233

34

125113107114103043++++=--⨯-+--⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯=-+-=D .

7、（1）()()()43

2

1111248⨯=-⨯⨯⨯-⨯-=D .

（2）1212

2

3443

00

0001111110

000001111011--------x x x r r c c x x x D r r c c y y y y

y

()

()21

22210

100101按第一行展开按第一列展开+--=--x y x y x x y y

y

.

8、（1）()

()()

()

1

1

1

1110

0020n 11!00

1按第行展开

++-⨯-⨯-=--n n n n D n n n .

()

()()

()

()()

()

11

1

1

11111

000000000

1(2)11000

00

1.

按第列展开

++-⨯--⨯-+⨯-+⨯-=+

-n n n n n n n n a b b a b a b D a b a a b a b

（3）21

31

131

1111102222

2002

22000

02

-++=+n n r r r r D r r . ()

()()

()

()()

()()()()()11

1

4

1111111122220

00000000

000(4)1100000000

0100

011111.

按第一行展开

第二个行列式按第一列展开

++-⨯--⨯-+-+----⨯-+-+-⨯⨯-⨯=+-=-n n n n n n n n n n n n a a a

a D a a a a a a a a a a a

9、（1）2

2222

2222

2222222214469214469

=214469214469

左边++++++++++++++++++++++++a a a a a a a b b b b b b b c c c c c c c d d d d d d d 对第i 列分开三项（i =2,3,4）,再利用

其中两列元素相同、成比例，则行列式为0，其结果为0，等于右边. （2）22223

3

3

3

1

111第一行、第二行对调左边

右边.=a

b c d

a b c d a b c d （3）用递推法去证.

从第二行起()11,2,

,1++-i i r xr n 得：

()()

()

()

()0

01

23012

120121

1

1

20

1211

1

1

2120

12101211000100010

100010-10

1

11.

按展开

-------+----+----------+-=

+++-++++--++

++-=--++

++=++

++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a x a D a x a x a a x a x a x a r a x

a x a x

a

a x

a x a x a a x a x a x a

10、（1）用数学归纳法去证.

当2=n 时，()332

2221+-=

=+-=++=-+a b ab a b D a b ab a ab b a b a b

，

当1≤-n k 时，111

20

0100,,0100

1----++--===+--+k k k k k k a b ab a b ab a b a b D D a b

a b a b

a b

当=n k 时，()()1

1

11

12--++-----=+-=+-=---k

k

k k k k k k k a b a b

a b D a b D abD a b ab a b a b

a b

，

由数学归纳法可知，对任何正整数n ，有11++-=-n n n a b D a b

. （2）用数学归纳法去证. 当2=n

时，2211

2

11

=

=-D x x x x ， 当1=-n k 时，()111

.-≤<≤-=

<∏k i

j j i k D x

x

当=n k 时，()()()()()

()

21311

1

22133112

222213*********

0--------------k i i k k k

k k k k k x x x x x x r xr x x x x x x x x x D x x x x x x x x x