2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第5节n次独立重复试验与二项分布含答案

第五节n次独立重复试验与二项分布

[考纲传真] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．

1．条件概率

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．

②如果事件A与B相互独立，那么A与–

B，

–

A与B，

–

A与

–

B也相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则

P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相互独立事件就是互斥事件．( )

(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )

(3)公式P (AB )＝P (A )P (B )对任意两个事件都成立． ( )

(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n

－k

，k ＝

0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．设随机变量X ～B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )

A.516

B.3

16

C.58

D.38

A [∵X ～

B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，∴P (X ＝3)＝

C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝5

16.故选A.] 3．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3

8，则P (A )等于( ) A.316 B.1316

C.34

D.1

4

C [由P (AB )＝P (A )P (B |A )，得38＝1

2P (A )， ∴P (A )＝3

4.]

4．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．

81125 [P ＝C 230.620.4＋C 330.63

＝81125.]

5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．

0.38 [设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A –B ＋–A B ，

∴P (A –B ＋–A B )＝P (A –B )＋P (–A B ) ＝P (A )P (–B )＋P (–

A )P (

B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]

1．从1,2,3,4,52个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.14

C.25

D.12

B [法一：P (A )＝

C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25

＝1

10.由条件概率计算公式，得P (B |A )

＝P (AB )P (A )

＝1

1025

＝14. 法二：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个． 事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝

n (AB )n (A )＝1

4

.] 2．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( )

A.13

B.15

C.19

D.320

A [因为“A 和

B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个第一个出场的概率相等，故“

C 第一个出场”的概率是1

3.]

3．(2019·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

0.72 [设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9，根据条件概率公式得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]

，这是求条件

【例1】某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0

分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为2

3，

3

4，

3

5，他们出线与未出线是相互独立的．

(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．

[解](1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，

则P(D)＝1－P(–

A

–

B

–

C)＝1－

1

3×

1

4×

2

5＝

29

30.

(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

则P(ξ＝0)＝P(–

A

–

B

–

C)＝

1

3×

1

4×

2

5＝

1

30；

P(ξ＝1)＝P(–

A

–

B

–

C)＋P(

–

A

–

B

–

C)＋P(

–

A

–

B

–

C)＝

2

3×

1

4×

2

5＋

1

3×

3

4×

2

5＋

1

3×

1

4×

3

5＝

13

60；

P(ξ＝2)＝P(AB –

C)＋P(A

–

B C)＋P(

–

A BC)＝

2

3×

3

4×

2

5＋

2

3×

1

4×

3

5＋

1

3×

3

4×

3

5＝

9

20；

P(ξ＝3)＝P(ABC)＝2

3×

3

4×

3

5＝

3

10.

所以ξ的分布列为