小题不“大做”——例谈高考选择题解题策略

单 ，而 题 目 所 给 的 条 件 又 非 常 适 合 建 系 ，所 以 我 们
可以按照这一思路 来 解 答 本 题．建 立 如 图 ２ 所 示 的平面直角坐 标 系，设 犘（狓，狔），则犘犃→ ＝ （－狓，
槡３ －狔），犘→犆 ＝ （１－狓，－狔），犘犅→ ＝ （－１－狓， －狔），犘犃→·（犘犅→＋犘→犆）＝２狓２＋２狔２－２槡３狔＝２狓２
（Ａ）－２ （Ｂ）－
３ ２
（Ｃ）－
４ ３
（Ｄ）－１
本题主 要 考 查 平 面 向 量 基 本 定 理 的 运 用．如
果我们直接使用平面向量的基本定理逐步推导，
很 可 能 会 陷 入 “绝 境 ”，必 须 要 另 辟 蹊 径 ．向 量 的 学 习过程告诉我们，其 坐 标 运 算 总 比 非 坐 标 运 算 简
一个“选”字，尽 量 减 少 书 写 解 题 过 程，要 充 分 利
用题干和选项两方 面 提 供 的 信 息，依 据 题 目 的 具
体特点灵活选择解法，以 便 快 速 智 取，要 避 免 “小
题 大 做 ”．这 是 解 选 择 题 的 基 本 策 略 ．
１ 妙用数形结合思想，巧解选择题
每年的高考命题都十分重视对数学思想方法
实 现 “小 题 ”不 “大 做 ”之 目 的 ．
（ ） ＋２狔
－
槡３
２
２
－
３ ２
≥－
３ ，于 是 问 题 得 以 解 答 ． ２
其实，这一解答过程 还
不是最简单的．作为一 道选 择题，要想在短时间内快 速
解答，就 必 须 找 到 “绝 招 ”：
如图２，设 犅犆 的 中 点 为 原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点 犗， 则 有犘犅→ ＋犘→犆 ＝
图２
２犘犗→，犘犃→ · （犘犅→ ＋犘→犆）＝ ２犘犃→·犘犗→，要使 得犘犃→·犘犗→ 最 小，则犘犃→ 与犘犗→
例１ （２０１７年全国 Ⅱ 卷文１２）过抛物线犆：
狔２ ＝４狓 的焦点犉，且斜率 为槡３ 的 直 线 交 犆 于 点
犕 （犕 在狓 轴上方），犾为犆 的准线，点 犖 在犾上，且 犕犖 ⊥犾，则 犕 到直线 犖犉 的距离为（ ）．
（Ａ）槡５ （Ｂ）２槡２ （Ｃ）２槡３ （Ｄ）３槡３
覆 盖 面 广 、综 合 性 强 等 特 点 ．考 生 能 否 快 速 、准 确 、 简捷地解选择题已 成 为 高 考 成 功 与 否 的 关 键．从 高 考 的 选 拔 性 功 能 来 讲 ，得 分 才 是 硬 道 理 ，而 快 速
是 赢 得 时 间 获 取 高 分 的 必 要 条 件 ．要 想 快 速 、准 确 地 解 答 选 择 题 ，就 必 须 根 据 选 择 题 的 特 殊 性 ，突 出
·５８· 中学数学月刊 ２０１８年第６期
小题不“大做”
———例谈高考选择题解题策略
杨 生 冬 （宁 夏 平 罗 中 学 ７５３４００）
选择题是当前高考数学试卷中最基本的题 型，不但题 目 多，而 且 所 占 分 值 比 例 大，具 有 知 识
的夹角应为钝角或１８０°，故点 犘 一定在以 犃犗 为
直径的圆内．而 这 个 圆 内 只 有 犃犗 的 中 点 是 最 特
殊的 一 个 点，即 犘 应 该 是 犃犗 的 中 点．此 时
２犘犃→·犘犗→ ＝２·槡２３·槡２３·ｃｏｓ１８０°＝－３ ２，正确选
项一目了然．
例３ （２０１７年全国 Ⅱ 卷理９）若双曲线 犆：
作为 选 择 题 的 压 轴 题，
本题给考生的感觉是一定很
难，所 以 很 多 考 生 在 解 答 时
都会运 用 “直 线 方 程 与 抛 物
线方 程 联 立、消 元、求 点 犕
的坐 标，再 用 点 到 直 线 的 距
离公 式 求 解 ”这 一 方 法．而
图１
这 种 解 答 方 法 费 时 费 力 ，一 不 小 心 还 容 易 出 错 ，这
狓２ 犪２
狔２ －犫２
＝１（犪
＞
０，犫
＞０）的
一
条
渐
近
线
被
圆
（狓
２０１８年第６期 中学数学月刊 ·５９·
－２）２ ＋狔２ ＝４所截得的弦长为２，则犆 的离心率 为 （ ）．
（Ａ）２ （Ｂ）槡３ （Ｃ）槡２ （Ｄ）２３槡３
对于 圆 与 直 线 的 问 题，大 部分学生的解法都是利用圆心 到直线的距 离 来 找犪 和犫 的 关 系，再 求 离 心 率．如 果 我 们 能 结 合题 目 所 给 条 件，画 出 相 应 的
图形，通 过 对 图 形 的 观 察 就 不 难得出答 案 了．如 图 ３，过 圆 心
图３
犃 作渐近线的垂线，垂足为犅，则犗犃＝２，犗犅＝１，
∠犃犗犅
＝６０°，所
以渐
近线
的
斜 率犫 犪
＝槡３，则犆
的
槡 离心率犲＝
犫２ １＋犪２
＝２．如果按这样的方 法来解
答 ，绝 对 可 以 在 １ 分 钟 内 通 过 口 算 得 到 正 确 答 案 ，
２槡３，犖犉 ＝ 槡犖犅２ ＋犅犉２ ＝４．所以点 犕 到直线
犖犉 的距离就是正三角形 犕犉犖 的 高，即 ２槡３．这
一解答过程中的绝大部分计算都无需动笔就可以
完 成 ，既 节 省 时 间 ，正 确 率 又 高 ．
例２ （２０１７年全国 Ⅱ 卷理１２）已知 △犃犅犆
是边长为 ２ 的 等 边 三 角 形，犘 为 平 面 犃犅犆 内 一 点，则犘犃→·（犘犅→ ＋犘→犆）的最小值是（ ）．
就犯了“小题大做”之忌．怎 么 解 答 简 单 呢？ 如 图 １，过点 犕 作狓 轴的垂线，垂足为 犃，由题意可知， ∠犕犉犃 ＝６０°，设 犉犃 ＝犿，则 犕犉 ＝２犿，犕犃 ＝
槡３犿，故点 犕 的 坐 标 为（１＋犿，槡３犿），代 入 抛 物
线方程可得 犿 ＝２，从而有 犕犉 ＝犕犖 ＝４，犕犃 ＝
的 考 查 ，尤 其 是 数 形 结 合 思 想 ．有 不 少 选 择 题 的 解 答过程都蕴含着这 一 思 想 方 法．如 果 我 们 能 在 平 时的训练过程中注 意 挖 掘 题 目 隐 藏 的 条 件，适 时
选用 数 形 结 合 法，就 可 以 避 免 “小 题 大 做 ”．在 ２０１７ 年 的 高 考 试 题 中 就 不 乏 这 样 的 题 目 ．