2021年九年级中考数学 几何专题：多边形与平行四边形(含答案)

初中数学教学资料
2021中考数学 几何专题：多边形与平行四边形
一、选择题
1. 如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于点E ，连接BE ，若▱ABCD 的周长为28，则△ABE 的周长为 ( )
A .28
B .24
C .21
D .14
2. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A ．对角线垂直且相等
B ．四边都互相垂直
C ．四个角都相等
D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形
3. 如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC△AB ，
E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( ) A . 3 cm B . 4 cm C . 5 cm D . 8 cm
4. 如图，正五边形
ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的
坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( ) A . (2，－3) B . (2，3) C . (3，2) D . (3，－2)
5. (2020·潍坊)如图，点
E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且
1
2
DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则□ABCD 的周长为（ ）
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A 21 B. 28 C. 34 D. 42
6. 如图为矩形
ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的
内角和分别为a 和b ，则a+b 不可能是
A ．360°
B ．540°
C ．630°
D ．720°
7. (2020自贡)如图，在平行四边形
ABCD 中，AD ＝2，AB ，∠B 是锐角，
AE ⊥BC 于点E ，F 是AB 的中点，连结DF 、EF ．若∠EFD ＝90°，则AE 长为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
8. （2020·海南）如图，在□ABCD
中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为( )
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25
9. （2020·临沂）△△△P △△△△S △
ABCD △△△△△△PAD ∆△△△△1S △PBC
∆△△△△2S △△△ △
F
E
D
C
B
A
.
A.122S S S +>
B.122S S S +<
C.212
S
S S += D.21S S +△△△△P △△△△△
10. （2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，
交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题 11. 如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH = .
12. 如图，在平行四边形□ABCD 中，2,AB ABC =∠的平分线与BCD ∠的平分线
交于点E ，若点E 恰好在边AD 上，则22BE CE +的值为 ．
13. 如图，在
ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE=EF=CD ，∠ADF=90°，
∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为__________．
E
D
C
B
A
14. 如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为________．
15. 如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD的周长为__________．
16. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则△A3A7A10＝________°.
三、解答题
17. 如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE.
求证：AF△CE.
18. 如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D 落在点G处，折痕为EF.
求证:(1)∠ECB=∠FCG;
(2)△EBC≌△FGC.
19. 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使1
3
BE DE =
，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．
20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形
OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、
C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；
（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？
21. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．
图1
C
A
E
D
B
F
2021中考数学几何专题：多边形与平行四边形
-答案
一、选择题
1. 【答案】D[解析]因为平行四边形的对角线互相平分，OE⊥BD，所以OE垂直平分BD，所以BE=DE，从而△ABE的周长等于AB+AD，即▱ABCD的周长的一半，所以△ABE的周长为14，故选D.
2. 【答案】C
【解析】A．矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
B．矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
C．矩形的四个角都相等，正确；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
3. 【答案】B【解析】在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，BO＝DO，∵平行四边形ABCD的周长为26 cm，∴AB＋BC＝13 cm，又△△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，∴AD－AB＝BC－AB＝3 cm，解得AB＝5 cm，BC＝8 cm，又AB△AC，
E是BC的中点，∴AE＝BE＝CE＝1
2BC＝4 cm.
4. 【答案】C【解析】点A(0，a)，∴y轴过点A，点C、D纵坐标相同，∴CD 与x轴平行，∵正五边形是轴对称图形，∴点E和点B关于y轴对称，∴点E 的坐标为(3，2)．
5. 【答案】B
【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵
1
2
DE
AE
，DE=3，∴AE=6.
O
E
F
L
H
N
M
D
C
B
A
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB ∥CD,∴△DEF ∽△AEB, ∴
DE DF
AE AB =,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD 的周长为28.故选B.
6. 【答案】C
【解析】一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案， 只有630不能被180整除，所以a+b 不可能是630°．故选C ．
7. 【答案】
B
【解析】本题考查了平行四边形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等知识． 解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DQ ∥BC ，∴∠Q ＝∠BEF ，
∵AF ＝FB ，∠AFQ ＝∠BFE ，∴△QFA ≌△EFB （AAS ），∴AQ ＝BE ＝x ， ∵∠EFD ＝90°，∴DF ⊥QE ，∴DQ ＝DE ＝x +2，∵AE ⊥BC ，BC ∥AD ，∴AE ⊥AD ，
∴∠AEB ＝∠EAD ＝90°，∵AE 2＝DE 2﹣AD 2＝AB2﹣BE2，∴（x +2）2﹣4＝6﹣x 2，
整理得：2x 2+4x ﹣6＝0，解得x ＝1或﹣3（舍弃），∴BE ＝1， ∴AE ，因此本题选B ．
8. 【答案】A
【解析】 在R t △ABG 中，AG 6.∵四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠ADE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，则CE ＝BC －BE ＝15－10＝5.又∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝12，则△ABE 的周长为32.∵AB ∥DF ，∴△ABE ∽△CFE ，∴△ABE 的周长：△CEF 的周长＝BE ：CE ＝2：1，∴△CEF 的周长为16.
9. 【答案】C
【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与PAD ∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：
2111(2
1222)AMND MbCN AMND MbCN S
S S S S S S =+++==.
10. 【答案】由
AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，
∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABF ＝∠CBG ，
∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG ＝∠G ， ∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ， ∴CG ＝CD +DG ＝3k ， ∵AB ∥DG ， ∴△ABE ∽△CGE ， ∴
＝
＝
＝，
故选：C ．
二、填空题
11. 【答案】4 [解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH 的面积等于▱PGCF 的面积. ∵CG=2BG ，∴BG ∶BC=1∶3，BG ∶PF=1∶2. ∵△BPG ∽△BDC ，且相似比为1∶3， ∴S △BDC =9S △BPG =9.
∵△BPG ∽△PDF ，且相似比为1∶2， ∴S △PDF =4S △BPG =4. ∴S ▱AEPH =S ▱PGCF =9-1-4=4.
12. 【答案】16
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD ∥BC ，AB ∥
CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∠AEB=∠EBC ，∠DEC=∠ECB.又∵BE 、CE 分别是∠ABC 与∠DCB 的平分线，∴∠ABE=∠EBC ，∠DCE=∠ECB ，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB ，∠DCE=∠DEC ，∴AB=AE=2,DC=DE=2,2222416.BC BE CE =+==
13. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ， ∵AE=EF ，∠ADF=90°， ∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=
1
2
AF=AE=EF ， ∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，
∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，
∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．
14. 【答案】50°
【解析】本题考查了平行四边形的性质．∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∠EAD ＝40°，∴∠EBD ＝40°．∵CE ⊥AB ，∴∠BCE ＝50°．故答案为50°．
15. 【答案】16
【解析】∵ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴BO=DO=
1
2
BD ，BD=2OB ，∴O 为BD 中点， ∵点E 是AB 的中点，∴AB=2BE ，BC=2OE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∴CD=2BE ． ∵△BEO 的周长为8，∴OB+OE+BE=8，
∴BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16， ∴△BCD 的周长是16，故答案为16．
16. 【答案】75
【解析】△多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆△O ，
∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝1
2×150°＝75°.
三、解答题
17. 【答案】
证明：△四边形ABCD是平行四边形，
解图
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝△2，
又△BF＝DE，(1分)
∴BF＋BD＝DE＋BD，
即DF＝BE.(2分)
∴△ADF≌△CBE(SAS)．(3分)
∴∠AFD＝△CEB，
∴AF∥CE.(5分)
18. 【答案】
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD.
由折叠可知:∠A=∠ECG，
∴∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF，
∴∠ECB=∠FCG.
(2)由折叠可知:∠D=∠G，AD=CG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，AD=BC，
∴∠B=∠G，BC=GC.
又∵∠ECB=∠FCG，∴△EBC≌△FGC.
19. 【答案】
法1：如图2，取BD之中点O，由O引OM AF
∥交DF于M，再由C引CG FE
∥交BD于G．
∵AB CD =，ABE CDG ∠=∠，BAE DCG ∠=∠， ∴ABE CDG ∆∆≌，BE DG =，则O 为EG 的中点， ∴EO OG =． 又∵13
DG BE DE ==， ∴13
EO OG DE ==，
即G 、O 是DE 的三等分点． ∵CG OM AF ∥∥，
∴C 、M 是DF 的三等分点，有2CF CD =． 而CD AB =，∴2CF AB =．
法2：如图3，连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 、BD 的中点，取AF 的中点R ，连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 、BD 的中点，取AF 的中点R ，连接OR ，则12
OR CF =∥．
∵OR CD AB ∥∥，
∴ABE ROE ∠=∠，BAE ORE ∠=∠．
又∵BE OE OD +=，11()3
3
BE DE OE OD ==+，
由此可得12BE OD =，13
OE DE =，
∴BE OE =，ABE ROE ∆∆≌， ∴AB OR =．
即1
2
AB OR CF ==，∴2CF AB =．
法3：如图1，∵AB DF ∥，
∴
1
3AB BE DF DE ==， 即3DF AB =． 又∵AB CD =，
∴3CF DF CD AB AB =-=-，
即2CF AB =．
20. 【答案】
图2
F
B
D E A
C M
O
G 图3
F
B
D E A
C
R
O
（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43
y x =．
（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502
t ＜≤．
在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43
PM t =．
在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65
AE t =．
于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153
S PE PM t t =⋅=+．
②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532
t ＜≤．
因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223
S PF PM t t =⋅=-+．
③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163
t =．
因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633
t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-．
所以16322
S MQ PM t =⋅=-+．
图2 图3 图4 （3）①当502
t ＜≤时，222162160(20)15
3
15
3
S t t t =+=+-．
因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大， 所以当52
t =时，S 最大，最大值为856
．
②当532
t ＜≤时，2232812822()3
3
9
S t t t =-+=--+．
因为抛物线开口向下，所以当83
t =时，S 最大，最大值为1289
．
③当1633
t ＜≤时，16322
S MQ PM t =⋅=-+．
因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83
t =时，S 最大，最大值为1289
．
考点伸展
第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时16133
2
t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322
S MQ PM t =⋅=-．
图5
21. 【答案】
方法一：设N H M L F E ，，，，，分别为AB BC CD DA AC BD ，，，，，的中点，要证明EF LH ，，及MN 三线共点．因为LF DC ∥且12
LF DC =， 所以EF DC ∥且1
2
EF DC =，
LF EH ∥且LF EH =，
从而四边形EHFL 为平行四边形，故LH 与EF 互相平分．
设LH 与EF 的交点为O ，则LH 经过EF 中点O （当然也是LH 中点）．同理，MN 也过EF 中点O ．所以，EF ，LH ，MN 三线共点于O ． 说明：本题证明的关键是平行四边形EHFL 的获得（它是通过三角形中位
线定理来证明的）．
由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例．
方法二：应用中点公式法
可设()11A x y ，
，()()()223344B x y C x y D x y ，，，，， 那么AC 线段的中点坐标为131322x x y y F ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，，BD 线段的中点坐标为242422x x y y E ++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 那么EF 线段的中点坐标为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 同理可得：MN LH ，的中点坐标也为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以可知：EF ，LH ，MN 三线共点于O。