综合法证明不等式

7.a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号.
第二张：记作§6.3.3 B
［例2］(1)设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:
8abc≤(1-a)(1-b)(1-c)≤ .
(2)设a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证:
abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)
（6） ,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号；
（7)a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号.
今天，我们在上一节课学习“公式法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.
Ⅱ.讲授新课
（简述“综合法”证明不等式的基本思想）
2.a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;
3. ,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号;
4.ab≤ ,(a,b∈R);ab≤( )2,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号;
5. ≥2,(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;
6. ,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号;
(6)a3+b3+c3≥3abc(a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号.
●教学难点
“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.
●教学方法
引导、探索、综合、归纳四步教学法.
●教具准备
投影片三张
第一张：记作§6.3.3 A
综合法证明不等式的常用关系
1.a2≥0或(a±b)2≥0;
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
［师］观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）
不等式的证明教案
●教学目标
(一)教学知识点
综合法证明不等式.
(二)能力训练要求
1.理解综合法证明不等式的意义.
2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.
(三)德育渗透目标
掌握综合法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.
［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做综合法.
（关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明）
下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.
［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：
(3)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1+ )(1+ )≥25.
(4)设x>0,y>0,求证:(x2+y2) >(x3+y3) .
第三张：记作§6.3.3 C
课后练习：
1.证明下列不等式:
(1)a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2
(2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a,b,c∈R+)
●教学重点
1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.
2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知) B1 B2 … Bn B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.
我们要掌握下面重要的不等关系:
(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;
(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;
(3) ,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号;
(4)ab≤ ,(a,b∈R);ab≤( )2,(a,bFra Baidu bibliotekR+),当且仅当a=b时取“=”号;
(5) ≥2,(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号；
由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
［生乙］（证法二）
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)
=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2
=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)
∵a,b,c为不全相等的正数.
(3)(a+b+c)( )≥9(a,b,c∈R+)
2.制造一个容积为V(定值)的圆柱形容器,试分别就容器有盖及无盖两种情形,求:怎样选取底半径与高的比,使用料最省?
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.
(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)
［生甲］（证法一）
∵a>0,b2+c2≥2bc
∴由不等式的性质定理4，得
a(b2+c2)≥2abc.①
同理b(c2+a2)≥2abc,②
c(a2+b2)≥2abc.③
因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.
3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:
(1)a2≥0或(a±b)2≥0.
(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.
(3) ,对a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”号.
(4)当a,b同号时有 ≥2,当且仅当a=b时取“=”号.
(5) (a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号.
2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.
∴a2b+b2c+c2a>3 =3abc
ab2+bc2+ca2>3 =3abc
由不等式的性质定理3的推论，得
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
［师生共析］1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.