船舶流体力学习题答案

习题5

已知2,2,2,x y z v y z v z x v x y =+=+=+求：

(1)涡量及涡线方程；（2）在z=0平面的面积dS=上的涡通量。 解：（1）

()()()(21)(21)(21)y y x x z z i j k

y z z x x y i j k i j k

∂∂∂∂∂∂Ω=-+-+-∂∂∂∂∂∂=-+-+-=++νννννν 所以 流线方程为 y=x+c1,z=y+c2

(2) 2J 2*0.5*0.00010.0001/wnds m s ===⎰

设在（1，0）点上有0Γ=Γ的旋涡，在（-1，0）点上有0Γ=-Γ的旋涡，求下列路线的速度环流。

2222(1)4;(2)(1)1;(3)2,20.5,0.5x y x y x y x y +=-+==±=±=±=±的方框。

（4）的方框。

解：（1）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以c

20s

vdl wnds ==⎰⎰Ñ

（4）由斯托克斯定理可知：因为涡通量为0，所以c

0vdl -

=⎰Ñ

如题图所示，初始在（0，1）、（-1，0）、（0，1）和（0，-1）四点上有环量Γ等于常值的点涡，求其运动轨迹。

解：取其中一点（-1，0）作为研究对象。

42222cos 45cos 4534CA BA BA A CA BA BA v v v v v v v τππ

π

τπ

====++=

由于四个涡相对位置将不会改变，转动角速度为：

3434v w ar v wt t

τπτ

π=

===

用极坐标表示为r=1, 34t τθπ

=

同理，其他点的轨迹与之相同。

如题图所示有一形涡，强度为，两平行线段延伸至无穷远，求x 轴上各点的诱导速度。 解：令（0，a ）点为A 点，（）为B 点 在OA 段与OB 段

1222222212(cos90)

4(cos 0)

42()()

2x v x a x

v xa a x v v v x a x xa

τπτπτ

π=

++=++∴=+=++

习题六

平面不可压缩流动的速度场为 （1）,;x y v y v x ==- (2) ,;x y v x y v x y =-=+ (3) 2

2

,2;x y v x y v xy y =-=--

判断以上流场是否满足速度势和流函数存在条件，进而求出。 解：

V 0

(v )

v y x x y

φϕ∇⨯=∂-∂=∂∂存在

存在

（1）φ存在

v (v )

2y x x x

y

φ∂∂-

=-∴∂∂

(v )v 0......0y x

v x y

φ∂-∂==∴∂∂ 22v v 2

y x x y dx dy ϕ+=-+=⎰+c

（2）v (v )

2(v )v ()1....1y

x y x

x y x y x y y

φϕ∂∂-

=∴∃

∂∂∂-∂∂--===-∴∃∂∂∂

（3）

v (v )

0y x x

y

φ∂∂-

=∴∃∂∂

3222v v x y dx dy x φ=+=⎰/3+x /2-xy -y /2+c

（4）

(v )v 2 1....21y x

x x x y

∂-∂=+=+∂∂ ϕ∴∃

32-v v y x dx dy y x ϕ=+=-⎰/3+x y +y +c

证明函数f=xyzt 是速度势函数，而且流场不随时间变化。

证：f=xyzt

21)02)()0dx dy dz dx dy dz f yzt xzt yxt yz xz yx

φφ∇=∇∇=∴==⇒==∴是速度势函数流线方程

流场不随时间变化

有一种二维不可压缩无旋流动，已知v x kxy =，k 为常数，求v y 。 解：

2222v (v )

0v v (v )

v 0v v v ()y x y y y x y y y x

y

kx kx cy

x

x y

ky ky cx

y

k x y c

∂∂∴-

=∂∂∂∴=∴=+∂∂∂∴+=∂∂∂∴=-∴=+∂∴=-+Q Q 无旋不可压

已知速度势，求复势和流函数： （1）22

x

Ux x y Φ=+

+； （2）22

y

Ux x y Φ=+

+；

（3）22

22

()ln ()x a y x a y -+Φ=++；

解：

22

2222

22

222222221)1/()()2)?i /()()()3)ln ln Re ()m m w i x

Ux x y w Uz z z yi y i U iy I Uyi Uy z z x y x y y

Ux x y w Uz z

iz xi x

i U iy I Uyi Uy z z x y x y x a y x a y ϕφϕ

ϕϕϕϕ∃=+Φ=++∴=+-=+=+⇒=-++Φ=+

+∴=+=+=+⇒=+

++-+Φ==++g g 按题意，应有为均匀流动，叠加一偶极子为均匀流动，叠加一偶极子旋转9022

22()ln Re()

2ln

ln ()ln ()ln

m m z a z a z a

w z a

x a

I z a I z a x a

ϕ--+-∴=+-=--+=+

分析如下流动是由那些基本流动组成： 解：（1）匀直流 点涡 偶极子 （2） 点源 点汇 两点涡 （3）两源一汇

幂函数W ,n ,n

Az A πππππ=式中为实常数，=/a,/2,0

2

2

W(z)=(1+i)ln(z 1)(23)ln(4)1/i z z ++-++ 求（1）沿圆周2

2

x y +=9的速度环量Γ；（2）通过该园的体积流量