式即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力

Fz Fcos
Fy F sin
2.内力计算：
M y Fcos (l x)
M z Fsin(l x)
3. 应力计算： M y z
Iy
Mz y
Iz
利用叠加原理得x 截面上C 点处的正应力为
Mzy Myz
(a.1)
Iz
Iy
上述分析计算中，式中各物理量均可取绝对值，而各项应
在计算时不考虑剪力的作用。
一、横向力与轴向力共同作用
z y
m
O x
C(y,z)
m l
Fz
F
C x
Fx
1.外力分解
max

My Iy
z

Mz Iz
y
[ ]
（a.3）
例题1 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知
q=0.5 kN/m，l=4 m，=30°，容许应力[]=10 MPa，试校核
该梁的强度。
q
A
B
l
解：
M max

1 8
ql 2
1kN.m
120
q
z
M
z m ax

1 8
(q cos )l 2
My

Fz l 4

(5.2
kN) (4 4
m)

5.2
kN m
对工字钢，
max

Mz Wz
My Wy


Wz 大约在6～10之间，现设为8，则由上式得 Wy
max

Mz Wz
My Wz / 8
170106
Pa
解出
Wz 0.36 10 3 m3 360 cm3
力的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。
y
z+
mx
+
-
+
my
z y( y z )
4．强度计算
图示矩形截面梁的危险截面显然在固定端截面处，而危险点
则在角点 D1 和 D2 处。危险点的最大应力与强度条件为
max

My Wy
Mz Wz


对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最 大应力一定发生在角点处。而对于没有外凸角点的截面，需 要先求截面上中性轴的位置。根据中性轴定义，中性轴上各
三、工程实例
q
F
W
F
(a)
(b)
B
F3 F4
(c)
2、双向弯曲
具有双对称截面 的梁，它在任何一 个纵向对称面内弯 曲时均为平面弯曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外 力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲 计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
1.外力分解：
点处的正应力均为零，令 y0 , z0 代表中性轴上任意点的坐标，
由式（a.1）令 0 ，即得中性轴方程为
M z y0 M y z0 0
Iz
Iy
（a.2）
My z Mz y
Iy
Iz
上式表示中性轴为通过截面形心的直线。
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y
M max cos 866 N.m
80
M
y m ax

1 8
(q sin )l 2
M max sin 500 N.m
q
q
A
B
l
120
M
z m ax

1 8
(q
cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
80
M
y m ax

1 8
(q sin )l 2
答疑课程：工程力学《二》 2017-04-15
目录
组合变形的概念与实例 双向弯曲 拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
1、组合变形的概念和实例
一、组合变形的概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形, 则构件的变形称为组合变形。
二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法
叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与 外力之间成线性关系。
查25a工字钢 Wz 402 cm3
Wy 48.3 cm3
验算：
max

19.3103 N m 402 106 m3

5.2 103 N m 48.3106 m3
156106
Pa=156
MPa
max [ ]
故可选25a工字钢。
如果 0 ，即平面弯曲时，读者可以自己计算得出
max 49.8 MPa ,可见斜弯曲时最大应力远大于平面
弯曲的最大应力，这是因为 Wy 与 Wz 相比小很多的缘故。
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例题3 求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。
A
P2=1.6 kN z
P1=1 kN
z
18cm
B
1m
1m y
y 9cm
解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点，
y0 I z M y I z
式中， 为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲 平面弯曲
中性轴将横截面分为两部分，一部分受 拉应力，一部分受压应力。作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边相 切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应 力和压应力为最大的点。将危险点的坐 标代入（a.1）式，即可求得横截面上的 最大拉应力和最大压应力。危险点的应 力状态为单向应力状态或近似当作单向 应力状态，故其强度条件为
为 170 MPa ，试为该梁选择工字钢型号。
解： Fz F sin (20 kN) sin15o 5.2 kN Fy F cos (20 kN)cos15o 19.3 kN
Mz

Fy l 4

(19.3
kN) (4 4
m)
19.3
kN m
M max

1 8
ql 2
1kN.m
M max sin 500 N.m
max

M zmax Wz

M ymax Wy

866 6 8122

500 6 12 82
8.42MPa

此梁安全。
例题2 工字形截面简支梁，跨长为 L 4m，作用在跨中的 集中力 F 20 kN，力的作用线与横截面铅直对称轴之间的 夹角为 15 o ，并通过截面的形心。已知钢的许用应力
二者大小相等。
固端截面： M Z 1.6kN.m, M y 2kN.m
max
MZ Wz

My Wy

6M z bh2
6M y hb2

6 1600 9 182

6 2000 18 92

11.52MP
a
3、拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
在外力作用下同时发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲两种 基本变形，称为拉弯组合变形。