等比数列的概念及通项公式

(2)2，2，2，2，……；
是, q=1
(3) 3，-3，3，-3，3，……； 是, q=-1
(4) 1，2，4，6，3，4，……； 不是
(5) 5, 0, 5, 0, …….
不是
等比数列中不 能存在为0的
项。
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二、等比数列的通项公式：an a1qn1
思考：如何用a1和q表示第n项an？
❖ 方法：叠加法
a5 20 4
q5 1 2
a 20 a 1q 5 551 25 2或 a 20 5 2
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随堂练习
❖ （1） 一个等比数列的第9项是 4
是 1 ，求它的第1项；
9
3
，公比
Байду номын сангаас
❖ （2）一个等比数列的第2项是10，第3项
是20，求它的第1项与第4项。
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小结
❖ 1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：
，（n ≥ 2，n ∈N）；an q(q 0)
an1
❖ 2、要会推导等比数列的通项公式：
ana1qn 1(a1q0)
用；
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，并掌握其基本应
❖ 课堂练习：练习5-4第1、2、3 附加：已知等比数列{an}的公比为q，求证
am qmn an
❖ 课后思考题：类比于等差数列{an}中的若m，n，s， t∈N+，m+n=s+t，则am+an=as+at，
G ab 即G2 ab
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an a1qn1
例1. 一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和 １８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a312 ,a418 ,
即
a1q a1q
2 3
12 18
16
解得 a 1 3
q 3 2
因此，a2 a1q136238
你能写出等比数列一个类似的性质吗？
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等比数列
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学习目标
1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
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引例：
❖ ① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1 2 4 8 16 …
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引例：
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭
.”
意思：“一尺长的木
棒，每日取其一半，
永远也取不完” 。
同一个常数
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一、等比数列的定义：
❖ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前 一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比. 数 列，这个常数就叫做等比数列的公比,公比通常用字 母q表示（q≠0）.
想一想：为什么要求q≠0？
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判定下列数列是否是等比数列？如果是请指出公比。
(1) 3，6，12，24，48，……； 是,q=2
an1.2(2)n1
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三.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列：
（1）1，(±3 ) , 9
（2）-1±，2( ) ，-4
（3）-12，(±6 )，-3
（4）1±，1( )，1
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那
么G叫做a与b的等比中项。
答：这个数列的第1项与第2项
16
分别是
与
8.
3
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an a1•qn1
思考与讨论：对于本例 中的数列，你是否发现
a1a4 与 a 2 a 3 相等
你能说出其中的道理吗 ？你能由此推导出 一个一般性的结论吗？
范例讲解
an a1qn1
例2、已知等比数列｛an｝中，a5=20,a15=5,求a20.
解：由a5=a1q4, a15=qa101q1a415 5 1
如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
则每日剩下的部分依次为：
1， 1， 1， 1，1 ， … 2 4 8 16
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引例：
❖ ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台 计算机都感染20台计算机，则这种病毒每 一轮感染的计算机数构成的数列是：
1，2 20 203，… 0， 2，
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1,2,4,8,16,32,...
(2)1，3，9，27，81， 243，… (3) 5，5，5，5，5，5，…
an13n13n1
an 51n15
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5)0.5,0.25,0.125,0.0625，... (6)1.2，-2.4，4.8，-9.6，...
an (1)n1
an0.50.5n 10.5n
①
1，1，1，1，1 ， ... 2 4 8 16
②
1,2,0 220,230,240,250,...③
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__2;
1
对于数列② ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列③ ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2__0;
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
等 a2a1d
差 数 列
a3a2 d
a4 a3 d
类比
……
+）anan1d
累乘法 a 2 q
等 比
a1
a3 q a2
数 列
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n1
共n – 1 项
ana1(n1)d
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a n q n1 a1
思考：你能写出下列等比数列的通项公式吗？
an a1qn1
(1)2，4，8，16，32，64，... an22n12n