专题 立体几何中的计算

立体几何中的计算

1、【2019年江苏数】.如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.

2、【2018年高考江苏数】.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，

BC ，那么P 到平面ABC 的距离为___________．

4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长

方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方

体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

6、【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

7、【2019若圆柱的一个底

面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

8、【2018年高考全国II 卷文数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角

为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

一、柱、锥、台和球的侧面积和体积

注意：(1)

分的处理.

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面

积与底面圆的面积之和.

二、在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.

(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个

平面上，将问题转化为平面上的最值问题.

(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两

个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.

如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.

三、方法与技巧

(1)棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋

转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.

(2)要注意将空间问题转化为平面问题.

(3)求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.

(4)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.

四、失误与防范

（1）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.

（2）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

题型一 多面体的表面积与体积

求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。

例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ．

例2、(2019南京、盐城一模）如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．

例3、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2

.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm (不计损耗)．

A

B

C P

A 1

B 1

C 1

题型二旋转体的表面积与体积

旋转体主要就是圆柱、圆锥、球等几何体，根据不同的几何体运用不同的求法。

例4、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．

例5、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．

例6、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3．