Ch6.2 复化求积公式

若f ( x) ∈ C 2 [a，b]， 则由连续函数的介值 Th ， 1 ∃ ξ ∈ ( a， ) ， ∋ b n ⇒ ∑ f ′′(η ) = f ′′(ξ ) ；
i =0 i n −1
∫
b a
nh 3 b−a f ( x) dx − Tn ( f ) = − f ′′(ξ ) = − f ′′(ξ ) ⋅ h 2 。 12 12
2 例： 用复化梯形公式计算 ∫ dx，精确至3 位 2 0 1+ x 有效数字。
1
1− 0 b−a [ f (0) + f (1)] = 1.5 ；记 hi = ； T 解：1 ( f ) = 2 i 1 h2 T2 ( f ) = [ f (0) + 2 f ( ) + f (1)] = 1.55 ； 2 2 h4 1 1 3 T4 ( f ) = [ f (0) + 2 f ( ) + 2 f ( ) + 2 f ( ) + f (1)] ≈ 1.5656 ； 2 4 2 4 h8 1 1 3 1 T8 ( f ) = [ f (0) + 2 f ( ) + 2 f ( ) + 2 f ( ) + 2 f ( ) 2 8 4 8 2 5 3 7 + 2 f ( ) + 2 f ( ) + 2 f ( ) + f (1)] ≈ 1.5695 ； 8 4 8 1 由于 T8 ( f ) − T4 ( f ) = 0.0039 ≤ ×10 − 2 ⇒ I ≈ 1.57； 2
x
f ( x) = e sin x ， ′( x) = e x (sin x + cos x) = 2e x sin( x + ) ； f 4 f " ( x) = 2e [sin( x + ) + cos( x + )] 4 4
x
π
π
π
= 2e sin( x + ) = 2e x cos x ； 2
I ( f ) − In ( f ) 设I n ( f )是 p 阶收敛的，则 lim = C， p h →0 h 则当h充分小时，有：I ( f ) − I n ( f ) ≈ Ch p ； h p 1 I ( f ) − I 2 n ( f ) ≈ C ⋅ ( ) = p [ I ( f ) − I n ( f )] ； 2 2 1 p 两边同乘2 ⇒ I ( f ) − I 2 n ( f ) ≈ p [I 2 n ( f ) − I n ( f )]； 2 −1 ⇒ 可由I n ( f )、I 2 n ( f )的误差来定I 2 n ( f )、I ( f )的误差；
二、复化Simpson公式 二、复化Simpson公式
1、公式：
n等分[a，]，a = x0 < x1 < L < xn = b，xi = a + ih ，h = b 记x
i+ 1 2
b−a ； n
=
1 ( xi + xi +1 ) ， 对各子区间[ xi ，i +1 ]用Simpson公式得： x 2
六、Romberg积分 六、Romberg积分
外推法
——利用低阶复化求积公式的线性组合来 ——利用低阶复化求积公式的线性组合来构造高阶 利用低阶复化求积公式的线性组合
1、复化梯形公式的加速：Tn ( f ) ，T2 n ( f ) ⇒ S n ( f ) ； 1 由阶的概念：I ( f ) − T2 n ( f ) ≈ 2 [T2 n ( f ) − Tn ( f )] ； 2 −1 用右端误差来修正 T2 n ( f ) ，得： 1 I ( f ) ≈ T2 n ( f ) + [T2 n ( f ) − Tn ( f )] 3 4 1 = T2 n ( f ) − Tn ( f ) = S n ( f ) ； 3 3
n −1 h7 ③ 同理，I ( f ) − Cn ( f ) = − f ( 6) (ηi ) ⇒ 当h → 0时， 11 ∑ 945 × 2 i =0 I ( f ) − Cn ( f ) 1 →− [ f (5) (b) − f (5) (a)] ⇒ 6 阶； h6 945 × 211
3、收敛阶的作用：
n −1 i =0
∫
b a
f ( x)dx = ∑
∫
xi+1 xi
f ( x) dx ≈ ∑
i =0
n −1
h [ f ( xi ) + 4 f ( x 1 ) + f ( xi +1 )] i+ 6 2
n −1 n −1 ∆ h = [ f ( x0 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( xn ) + 4 ∑ f ( x 1 )] = S n ( f ) ； i+ 6 i =1 i =1 2
n −1
∑
i =0
n −1
f ( 4 ) (ηi ) ；
若f ( x) ∈ C 4 [a， ]，则由连续函数介值Th，∃ξ ∈ [a， ]， b b 1 n −1 ( 4 ) ∋ ∑ f (ηi ) = f ( 4 ) (ξ ) ， n i =0 n h b − a ( 4) h f ( x) dx − S n ( f ) = − × ( )5 f ( 4 ) (ξ ) = − f (ξ ) ⋅ ( ) 4 ； 90 2 180 2
§6.2
复化求积公式
本节内容提要
复化求积公式
复化梯形公式、复化Simpson 公式来自百度文库复化Cotes公式
复化求积公式的阶 区间逐次二分法 Romberg积分 Romberg积分
问题的提出
由误差估计公式可知区间过大，误差亦大；为避免 误差估计公式可知区间过 公式可知区间 误差亦 可选取适当多的节点，即选取相对高阶的Newton可选取适当多的节点，即选取相对高阶的Newton-cotes 适当多 高阶的Newton 公式，但由稳定性分析又知： 会出现不稳 公式，但由稳定性分析又知：当 n ≥ 8 时，会出现不稳 定的现象；为此，考虑将区间 [a， ] 分割成若干个子区 的现象；为此， b 分割成若干个子区 间，在各个子区间上利用低阶Newton-cotes公式，然后 在各个子区间上利用低阶Newton-cotes公式， 子区间上利用低阶Newton 公式 利用积分的区间可加性得积分。 利用积分的区间可加性得积分。 区间可加性得积分
2、复化Simpson的加速：S n ( f ) ，S 2 n ( f ) ⇒ C n ( f ) ； 1 I ( f ) − S 2n ( f ) ≈ 4 [ S 2 n ( f ) − S n ( f )] ； 2 −1 1 ⇒ I ( f ) ≈ S 2 n ( f ) + [ S 2 n ( f ) − S n ( f )] 15 16 1 = S 2n ( f ) − S n ( f ) = Cn ( f ) ； 15 15
n −1
h [ f ( xi ) + f ( xi +1 )] 2
n −1 h ∆ = f ( x0 ) + 2∑ f ( xi ) + f ( xn ) = Tn ( f ) ； 2 i =1
2、误差：
(b − a) 3 η f ′′(η ) ， ∈ [a， ] ⇒ b 由T ( f )的误差：RT ( f ) = − 12 n −1 b h3 ∫ a f ( x) dx − Tn ( f ) = −∑ 12 f ′′(ηi ) i =0 h 3 n −1 =− x ∑ f ′′(ηi ) ，ηi ∈ [xi ，i+1 ]； 12 i =0
2、误差：
(b − a )5 ( 4 ) 由S ( f )的误差：Rs ( f ) = − f (η ) ， ∈ [a， ] ⇒ b η 5 90 × 2
∫
b a
1 h 5 ( 4) f ( x)dx − S n ( f ) = ∑ − × ( ) f (ηi ) ， i ∈ [ xi ，i +1 ] x η 90 2 i =0 1 h 5 = − ×( ) 90 2
复化求积公式
一、复化梯形公式
1、公式：
b−a 将 [a， ] n等分，a = x0 < x1 L < xn = b，记h = b ， n 则 xi = a + ih ，i = 0 ， ， ，n ⇒ 1 L
∫
b a
f ( x) dx = ∑
i =0
n −1
∫
xi+1 xi
f ( x) dx ≈ ∑
i =0
——误差事后估计 ——误差事后估计
五、区间逐次二分法
由复化求积公式的截断误差可知， 由复化求积公式的截断误差可知，加密节点可以提高 求积公式的精度， 困难在于：使用公式之前需给出合适 求积公式的精度，但困难在于：使用公式之前需给出合适 在于 的步长，h过大，满足不了精度；h过小，计算量过大，因 步长， 过大，满足不了精度； 过小，计算量过大， 而实用的方法是采用区间逐次二分，反复利用求积公式计 而实用的方法是采用区间逐次二分， 区间逐次二分 算，直至二分前后两次积分值的差满足精度为止。 直至二分前后两次积分值的差满足精度为止。 二分前后两次积分值的差满足精度为止
四、复化求积公式的阶
1、定义：
I( f ) − In ( f ) 设有复化求积公式 I n ( f ) ，若 lim = c， p h →0 h b−a 其中 c 为与 h = 无关的非零常数，则称该复化 h 求积公式是 p 阶收敛的。
2、常用复化公式的阶：
Tn ( f ) ，S n ( f ) ，C n ( f ) 的收敛阶分别为 2 ， ， 阶； 4 6
h 3 n −1 b−a ； 证明： 证明：① I ( f ) − Tn ( f ) = − ∑ f ′′(η i ) ， h = h 12 i =0 I ( f ) − Tn ( f ) 1 n −1 ⇒ = − h ∑ f ′′(η i ) ； 2 12 i =0 h lim h ∑ f ′′(η i ) = lim ∑ f ′′(η i ) ⋅ ∆xi
x
π
⇒ max f ′′( x) = max 2e x cos x ≤ 2e 3 ；
1≤ x ≤ 3 1≤ x ≤ 3
2 ⇒ I − Tn ( f ) ≤ 2 × 2e 3 ≤ 10 −6 ⇒ n > 4926.04 ； 3n 2 取n = 4927 ，即取 4928 个节点 ， 步长为 ； 4927 类似可对复化 Simpson 公式加以讨论得： 2 n = 31；即取32 个节点；步长为h = ； 31
1 h 5 n −1 ( 4 ) ② 同理，I ( f ) − S n ( f ) = − × ( ) ∑ f (ηi ) ； 90 2 i =0 b I ( f ) − Sn ( f ) 1 ⇒ →− f ( 4) ( x) dx， (h → 0) 90 × 25 ∫a h4 1 =− [ f ′′′(b) − f ′′′(a)] ⇒ 4阶； 5 90 × 2
b n a i =0
则 ∫ f ( x)dx ≈ ∑
h [7 f ( xi ) + 32 f ( x 1 ) i+ 90 4
1 i+ 2
+ 12 f ( x
) + 32 f ( x
3 i+ 4
) + 7 f ( xi +1 )] = Cn ( f ) ；
∆
2、误差：
∫
b a
n −1 h7 f ( x) dx − Cn ( f ) = − f ( 6 ) (η i ) ∑ 945 × 211 i =0 2(b − a ) ( 6 ) h 6 =− f (ξ ) ⋅ ( ) ， ∈ ( a， ) ； ξ b 945 4
⇒∫
b a
三、复化Cotes公式 三、复化Cotes公式
1、公式：
1 b−a 将[a， ] n等分， h = b 记 ，i = a + ih ，x 1 = xi + h ， x i+ n 4 4 x
i+ 1 2
1 3 = xi + h ，x 3 = xi + h ， = 0 ，， ， ； i 1 L n i+ 2 4 4
例： 给定∫ e x sin x dx ，要求误差小于10 −6，用复化梯
1
3
形公式计算时所需节点 数及步长分别为多少 ？
——误差事先估计 ——误差事先估计
解： I = ∫ e x sin x dx ，则 记
1
3
b−a 2 I − Tn ( f ) = − h f ′′(ξ ) 12 1 2 2 2 = − × ( ) f ′′(ξ ) = − 2 f ′′(ξ ) ； 6 n 3n
h →0 i =0 h →0 i =0 n −1 n −1
= ∫ f ′′( x) dx = f ′(b) − f ′(a ) ；
a
b
I ( f ) − Tn ( f ) 1 = − [ f ′(b) − f ′(a )] ； ⇒ lim 2 h →0 12 h ⇒ Tn ( f )是 2 阶收敛的 ；