用二分法求方程的近似解优质课件PPT
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中小学优质课件利用二分法求方程的近似解课件.ppt
f (2.5625) 0, f (2.625) > 0 x (2.5625,2.625),
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，
所以原方程的近似解为x
2.6
（2) 方程lg( x 4) 10x的根的情况是( B )
A.仅有一根
B.有一正根一负根
C.有两负根
D.无实根
方程ff(a()x)·f(b)0<的0，实则数在根区断间方(a程,b)内，函数y=f(x)至少有一个
零点，即相应的方程解f的(x)个=0在数区？间(a,b)内至少有一个实
数解.
问题2：试
求方程 ln x 2x 6 0 ln x 6 0
的解？ ln x 2x 6 0
问题3：你
能求方程
的解吗？近
1、什么是二分法？ 2、具有哪些特点的函数适合用二分
法求其零点的近似解？ 3、如何利用二分法求方程的近似解？
口诀 定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
方程
用二分法求
方程的近似解
函数
数学 源于生活
1.寻找解所在的区间 (1)图像法 (2)估算函数值法
（2.53125，2.5390625） 2.53515625
f(c)近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009
0.029 0.010 0.001
|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813
六、小结评价，作业创新
问题3：求方程 ln x 2x 6 0 的近似解 (精度0.01)
区 间(a,b)
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
B．3，4
• C．5，4
D．4，3
• 解析
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有
3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
• (2)(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ACD
• A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x 2 －2x＋1
• C．f(x)＝4x
D．f(x)＝e x －2
• 解析
f(x)＝x 2 －2x＋1＝(x－1) 2 ，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当
x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
其余选项中函数的零点两侧的函数值异号．故选A、C、D.
•
|通性通法|
•
•
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的根据是：其图象在零
中点的值
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
2.5390625
2.53515625
中点函数近似值
–0.084
0.512
0.215
0.066
–0.009
0.029
0.010
0.001
当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125| =0.007 812 5＜0.01，所以，
如何求得一般方程的根呢？
二、探究新知
视察图形，怎样求方程lnx+2x-6=0的根？
1．二分法：
对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
高中数学人教A版 必修第一册 用二分法求方程的近似解 课件
否则得反复2～4
谢谢观看
所以0 ∈（1.25，1.5）．同理可得，0 ∈（1.375，1.5），0 ∈（ 1.375 ，
1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375 ．
变式：用二分法求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令 f(x)＝ln(2x＋6)＋
4.5.2 二分法求方程的近似解
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）
方程f ( x) 0有实数根
函数y f ( x)的图象与x轴有交点
函数y f ( x)有零点
2、零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的
想一想：当 2.539 062 5 2.531 25 0.007 812 5 0.01 时，此时是否区间
内任意一点都可以作为零点的近似值？
1．二分法的定义
f(a)·f(b)<0
连续不断 且 f(a)·
_f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数
对于在区间[a，b]5,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为 0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)
的中点 1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端
点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 5<0.1，因此 1.312 5 是一个近似
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度 ε 时，便可结束计算．]
谢谢观看
所以0 ∈（1.25，1.5）．同理可得，0 ∈（1.375，1.5），0 ∈（ 1.375 ，
1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375 ．
变式：用二分法求方程 ln(2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令 f(x)＝ln(2x＋6)＋
4.5.2 二分法求方程的近似解
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）
方程f ( x) 0有实数根
函数y f ( x)的图象与x轴有交点
函数y f ( x)有零点
2、零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的
想一想：当 2.539 062 5 2.531 25 0.007 812 5 0.01 时，此时是否区间
内任意一点都可以作为零点的近似值？
1．二分法的定义
f(a)·f(b)<0
连续不断 且 f(a)·
_f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数
对于在区间[a，b]5,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为 0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)
的中点 1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端
点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 5<0.1，因此 1.312 5 是一个近似
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度 ε 时，便可结束计算．]
高等数学第三章第八节方程的近似解课件.ppt
内容小结
作图法 1. 隔根方法 二分法
二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法
一般迭代法
1 2 x
从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b)
则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
2. 二分法
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, ) f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 ( 5.67 0)
f (x)在(, )单调递增, 又
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0
f (x0 ) f (x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
(n 1,2,)
称为牛顿迭代公式
牛顿法的变形:
y
(1) 简化牛顿法
若用一常数代替 f (xn1), 即用平行
a
线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式. o
bx
例如用 f (x0 ) 代替 f (xn1), 得
故该方程只有一个实根 , [0,1] 为其一个隔根区间, 欲使
n1
1 2n1
(1
0)
103
必需 2n1 1000 , 即 n log210001 8.96
可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10
二、牛顿切线法及其变形
f (x) 满足 :
数学人教版《用二分法求方程的近似解》ppt专家课件1
.
(2)求区间(a,b)的中点 c.
(3)计算 f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若 f(c)=0(此时 x0=c),则 c 就是函数的零点;
b=c
②若 f(a)f(c)<0(此时 x0∈(a,c)),则令
;
a=c
③若 f(c)f(b)<0(此时 x0∈(c,b)),则令
.
(4)判断是否达到精确度 ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似
结合图象可知另一个交点的横坐 标在区间(6,7)上.
综上分析,知函数 f(x)=lo x+x-4 在区间(6,7)上有最大零点 x0,取区间 (6,7)的中点 x1=6.5,
数学人教版《用二分法求方程的近似 解》专 家课件1
4数.5学.2人用教二版分《法用求二方分程法的求近方似程解的-【近新似 教解材》】 专 家人课教件A版1 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共23 张PPT)
4数.5学.2人用教二版分《法用求二方分程法的求近方似程解的-【近新似 教解材》】 专 家人课教件A版1 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共23 张PPT)
【跟踪训练】 3.在用二分法求函数 f(x)的一个零点的近似值时,经
计算,f(0.64)<0,f(0.8)>0,
=0.72,f(0.72)<0,若精确度为
4数.5学.2人用教二版分《法用求二方分程法的求近方似程解的-【近新似 教解材》】 专 家人课教件A版1 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共23 张PPT)
设 f(x)=lg x-( )x+1,f(1)= >0,用计算器计算,列表如下:
零点所在区间
中点值
高中数学人教A版必修13.用二分法求方程的近似解课件(28张ppt)
高考一轮复习牛津译林版模块5.1测试英语试卷SYS201707090601一、单词拼写详细信息1. 难度：中等Different people have different (态度)when they talk about college students’ joining the army.SYS20170709060详细信息2. 难度：中等She is very ________(小心，谨慎) about giving offense to others.SYS20170709060详细信息3. 难度：中等We need a confident leader to (克服) thesedifficulties.SYS20170709060详细信息4. 难度：中等It's obvious that he is wrong. Why should you b me?.SYS20170709060详细信息5. 难度：困难When much evidence was found, the suspect could do nothing buta the crime he had committed.SYS20170709060详细信息6. 难度：中等With much noise outside, I found it hard to have my attentionf on my homework.SYS201707090602二、单项填空详细信息7. 难度：中等—I’d like to go to the movie with you, Dad.—Sorry, my son, but only the grown-ups are ________ into the cinema.A. requiredB. intendedC. supposedD. admittedSYS20170709060详细信息8. 难度：中等Though we lived in the same neighborhood for many years, I had never madehis , let alone known where he worked.A. acquaintanceB. investigationC. significanceD. recognitionSYS20170709060详细信息9. 难度：中等Knowing basic first-aid techniques will helpyou quickly to emergencies.A. replyB. applyC. contributeD. respondSYS20170709060详细信息10. 难度：中等The book has been translated into thirty languages sinceit on the market in 1973.A. had comeB. has comeC. cameD. comesSYS20170709060详细信息11. 难度：中等Although warned of danger, tourists can't help ________ photos near the cliff.A. being takenB. takingC. to takeD. takenSYS20170709060详细信息12. 难度：中等_______the early flight, we ordered a taxi in advance and got up very early.A. Catching.B. Caught.C. To catch.D. CatchSYS20170709060详细信息13. 难度：中等Sometimes I act as a listening ear for fellow students _______ what is bothering themA. to talk overB. talked overC. talk overD. having talked over。
4.5.2 用二分法求方程的近似解课件(人教版)
(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点； ②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c. (4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；
端点(中点)
x0＝－12－2＝－1.5 x1＝－1.25－2＝－1.75 x2＝－1.275－2＝－1.875
端点或中点的函数值 f(－1)>0，f(－2)<0
f(x0)＝4.375>0
18
取值区间 (－2，－1) (－2，－1.5)
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
f(x2)≈0.736>0
(－1.937 5，－ 1.906 25)
(－1.937 5，－ 1.921 875)
20
x6＝－1.937
5－1.921 2
875＝
－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－ 1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
28
当堂达标 固双基
29
1．思考辨析
[答案]
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( ) (1)× (2)×
(2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
利用二分法求方程的近似解ppt课件
因为f(6.8125)·f(6.75)<0，所以x0∈(6.75，6.8125).
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lo x+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
03
题型突破
解题通法
利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
因此，区间 0.5，1 内任意一个数都是满足精确度的近似解．
02
探索新知
如果要获得方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的
存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 = 至少有
一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
求解公式，如2 3 + 3 − 3 = 0，那么如何确定方程2 3 + 3 − 3 = 0的解呢？
间 0，1 内存在零点，
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lo x+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
03
题型突破
解题通法
利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
因此，区间 0.5，1 内任意一个数都是满足精确度的近似解．
02
探索新知
如果要获得方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的
存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 = 至少有
一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
求解公式，如2 3 + 3 − 3 = 0，那么如何确定方程2 3 + 3 − 3 = 0的解呢？
间 0，1 内存在零点，
人教A版高中数学必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解课件
快快动手吧！
借助计算器或计算机用二分法求方程 2+x 3x
=7的近似解（精确到0.1）
20:00:06
20
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
3.作业：p92 第3、5题
20:00:06
17
例题分析
例1.用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内的零点的近似解(精确度0.1)
请看下面的表格：
20:00:06
18
区间
端点的符号
中点的值 中点函数值 的符号
（2，3） f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0
(2.5,3) f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0
7
分析：如何求方程 x3+3x-1=0 的近似解 x1. （精确度0.1）
-
+
f(0)<0，f(1)>0 0<x1<1
0
1
-
+
f(0)<0，f(0.5)>0 0<x1<0.5
0
- +0.5
1
0 0.25 0.5
1 f(0.25)<0，f(0.5)>0 0.25<x1<0.5
-+
0 0.25 0.375
x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点
x0∈(c,b).
20:00:06
16
用二分法求解方程的近似解ppt课件
（4）判断是否达到精确度 ：若| a b | ，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤（2）~（4）.
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：
原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如 图，并列出它的对应值表如下.
f (0.5) 20.53 30.5 3 0 , f (x) 在 (0, 0.5) 内有零点,
f (0.75) 20.753 30.75 3 0 f (x) 在 (0.5, 0.75) 内有零点, 方程 2x3 3x 3 0 根可以是 0.635. 故选：B.
4.用二分法研究函数 f x x3 2x 1的零点时，第一次经计算 f 0 0 ，f 0.5 0 ，
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知 f (1) f (2) 0 ，说明该函数在区间(1，2) 内存在零点 x0 . 取区间 (1，2) 的中点 x1 1.5 ，用信息技术算得 f (1.5) 0.33 . 因为 f (1) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1，1.5) .
6.已知函数 f (x) 3x x 4 在区间[1, 2] 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似 值，其参考数据如下： f (1.6000) 0.200 ， f (1.5875) 0.133 ， f (1.5750) 0.067 ， f (1.5625) 0.003 ， f (1.5562) 0.029 ， f (1.5500) 0.060 ，据此可得该零点的近
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
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2021/02/01
-1 0 1 2 3
x
6
方法探究
x 2.4 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）
1
-
2
-
+
2
2.5
-+
2 2.25 2.5
-+
2
2.37
2
2.375 2.475
+
3 f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5
2021/02/01
5
探究解法
（1）不解方程，如何求方程x2-2x-1=0 的一个正的近似解（精确到0.1）?
方法：引出借助函数f(x)= x2-2x-1的图
象，能够缩小根所在的区间，并根据
f(2)<0,f(3)>0 ， 可 得 出 根 所 在 区 间 为
(2,3).
y
y=x2-2x-1
指出：用配方法求得方 程的解，但此法不能运 用于解另外两个方程。
因为2.5625，2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的
202近1/0似2/0解1 为x1≈2.6 .
10
例题处理
• 求函数 f(x ) lnx 2 x 6在区间（2， 3）内的零点.
2021/02/01
11
• 列表：
解答方式
（a，b)
(2 , 3)
中点x1 f(a) f(b) f(x1 ) 2.5 负 正 -0.084
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
2021/02/01
8
自行探究
利用计算器，求方程 lgx=3 - x的近似解.（精确到0.1）
解：画出y=lg x及y=3 -x的图象，观察图象得，方程lgx=3 - x 有唯一解，记为x，且这个解在区间（2，3）内。
设 f (x)=lgx+x -3
2021/02/01
9
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值 符号
（2，3） （2.5，3）
f(2)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(3)>0
（2）函数法
把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质 （如单调性）来判断解所在的区间。
2021/02/01
13
2、不断二分解所在的区间
若 x 1 (a ,b )不 , f(a 妨 ) 0 ,f( b 设 ) 0
（1）若
f(ab)0，由
2
f(a)0，则
x1(a,a2b)
(2.53125,2.5390625)
负正
2021/02/01
12
归纳总结
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤:
1、寻找解所在区间 （1）图象法
先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围； 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标的 范围。
用二分法求方程的近似解
2021/02/01
2006.10.30 1
请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点
发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般
至少需要检查接点的个数为
个。
上海A B C D E F G H I J K L M N O旧金山
2021/02/01
2
问题2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一
条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，
按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障
（0，1） （0，0.5）
3
3 f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5
3
f(2.375)<0，f(2.4375)>02.375<x1<27.4375
3
（2）能否简述上述求方程近似解的过程?
（3）二分法（bisection method）：象上面这种求方程 近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用 方法。 定义如下：
15
练习：
求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确到0.1) 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
2021/02/01
16
解：令f(x)=x3+3x-1, 有f(0)<0,f(1)>0,则方程的解在 0,1之间。
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值 符号
2.5
f(2.5)<0
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0
（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0
实验设计、资料查询； 是方程求根的常用方法！
2021/02/01
3
提出问题：
1.能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0(不用公式解) (3) x3+3x-1=0
2.能否求出它们的近似解？
2021/02/01
4
3.什么方法？
y=2x
y
4
1 0 12
y=4-x
x
4
4.能否找到其它的方法，使解更精确？
（2）若
f(ab)0 ，由
2
f(b)0，则 x1(a2b,b)
（3）若 f(ab)0，则
2
x1
ab 2
对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间.
2021/02/01
14
3、根据精确度得出近似解
当 x1(m,n)，且m, n根据精确度得到的近似值均为同
一个值P时，则x1≈P ，即求得近似解。
2021/02/01
(2.5,3)
2.75 负 正 0.512
(2.5,2.75)
2.625 负 正 0.215
(2.5,2.625)
2.5625 负 正 0.066
(2.5,2.5625)
2.53125 负 正 -0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 负 正 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 负 正 0.010
-1 0 1 2 3
x
6
方法探究
x 2.4 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）
1
-
2
-
+
2
2.5
-+
2 2.25 2.5
-+
2
2.37
2
2.375 2.475
+
3 f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5
2021/02/01
5
探究解法
（1）不解方程，如何求方程x2-2x-1=0 的一个正的近似解（精确到0.1）?
方法：引出借助函数f(x)= x2-2x-1的图
象，能够缩小根所在的区间，并根据
f(2)<0,f(3)>0 ， 可 得 出 根 所 在 区 间 为
(2,3).
y
y=x2-2x-1
指出：用配方法求得方 程的解，但此法不能运 用于解另外两个方程。
因为2.5625，2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的
202近1/0似2/0解1 为x1≈2.6 .
10
例题处理
• 求函数 f(x ) lnx 2 x 6在区间（2， 3）内的零点.
2021/02/01
11
• 列表：
解答方式
（a，b)
(2 , 3)
中点x1 f(a) f(b) f(x1 ) 2.5 负 正 -0.084
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
2021/02/01
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自行探究
利用计算器，求方程 lgx=3 - x的近似解.（精确到0.1）
解：画出y=lg x及y=3 -x的图象，观察图象得，方程lgx=3 - x 有唯一解，记为x，且这个解在区间（2，3）内。
设 f (x)=lgx+x -3
2021/02/01
9
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值 符号
（2，3） （2.5，3）
f(2)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(3)>0
（2）函数法
把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质 （如单调性）来判断解所在的区间。
2021/02/01
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2、不断二分解所在的区间
若 x 1 (a ,b )不 , f(a 妨 ) 0 ,f( b 设 ) 0
（1）若
f(ab)0，由
2
f(a)0，则
x1(a,a2b)
(2.53125,2.5390625)
负正
2021/02/01
12
归纳总结
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤:
1、寻找解所在区间 （1）图象法
先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围； 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标的 范围。
用二分法求方程的近似解
2021/02/01
2006.10.30 1
请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点
发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般
至少需要检查接点的个数为
个。
上海A B C D E F G H I J K L M N O旧金山
2021/02/01
2
问题2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一
条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，
按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，
也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障
（0，1） （0，0.5）
3
3 f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5
3
f(2.375)<0，f(2.4375)>02.375<x1<27.4375
3
（2）能否简述上述求方程近似解的过程?
（3）二分法（bisection method）：象上面这种求方程 近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用 方法。 定义如下：
15
练习：
求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确到0.1) 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
2021/02/01
16
解：令f(x)=x3+3x-1, 有f(0)<0,f(1)>0,则方程的解在 0,1之间。
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值 符号
2.5
f(2.5)<0
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0
（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0
实验设计、资料查询； 是方程求根的常用方法！
2021/02/01
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提出问题：
1.能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0(不用公式解) (3) x3+3x-1=0
2.能否求出它们的近似解？
2021/02/01
4
3.什么方法？
y=2x
y
4
1 0 12
y=4-x
x
4
4.能否找到其它的方法，使解更精确？
（2）若
f(ab)0 ，由
2
f(b)0，则 x1(a2b,b)
（3）若 f(ab)0，则
2
x1
ab 2
对(1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间.
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14
3、根据精确度得出近似解
当 x1(m,n)，且m, n根据精确度得到的近似值均为同
一个值P时，则x1≈P ，即求得近似解。
2021/02/01
(2.5,3)
2.75 负 正 0.512
(2.5,2.75)
2.625 负 正 0.215
(2.5,2.625)
2.5625 负 正 0.066
(2.5,2.5625)
2.53125 负 正 -0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 负 正 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 负 正 0.010